2015年广东高考理科数学试题及答案

1、2015广东高考理科数学试题及答案绝密启用前试卷类型：A2015年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（理科）、选择题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.）1、若集合A.1,4B.1,C. 0D.2、若复数z i 3 2i （i是虚数单位）A.2 3iB. 2 3iC.2iD. 3 2i3、卜列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是（A.y .1 x21B. y x - xC. y4、袋中共有15个除了颜色外完全相同的球，其中有10个白球，5个红球.从袋中任取2个球，所取的2个球中恰有1个白球,1个红球的概率为（）A.521bUC

2、21D. 15、平行于直线2x y1 0且与圆x25相切的直线的方程是（A.2x y 50或2xB. 2xC.2x y 50或2xD.2x第14页共14页4x5y6、若变量x,y满足约束条件3x2y的最小值为（A.B. 23C. 631D. 一57、已知双曲线2 y b21的离心率5 -,且其右焦点为F2 5,0 ,则双曲线C的方程 422B.土 工 191622C.土 上 116922D.上工1348、若空间中n个不同的点两两距离都相等，则正整数n的取值（B.至多等于4D.大于5二、填空题（本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分.）（一）必做题（1113题）_49、在JX1的

3、展开式中，x的系数为.10、在等差数列an中，若a3a4a5a6a725,则a?a8.11、设C的内角，C的对边分别为a,b,C.若aJ3,sin工，C,26则b.12、某高三毕业班有40人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，那么全班共写了条毕业留言.（用数字作答）13、已知随机变量服从二项分布n,p,若30,D20,则p.（二）选做题（14、15题，考生只能从中选作一题）14、（坐标系与参数方程选做题）已知直线l的极坐标方程为2sinJ2,点的4极坐标为2五乙,则点到直线l的距离为.415、（几何证明选讲选做题）如图1,已知是圆的直径，4, C是圆的切线，切点为C,C1.过圆心作C的平

4、行线，分别交C和C于点D和点，则D.三、解答题16 .（本小题满分12分）在平面直角坐标系xoy中已知向量ir22rm(-,-),n(sinx,cosx),x(0,)若mn,求tanx的值；(2)若m与；的夹角为求x的值.17 .（本小题满分12分）某工厂36名工人年龄数据如下表工A短号好说1卑於i.5年备。耳J如ID1927券14J44nJI30稣加加*血a藻-St越*,1rs再223731蒯5磐工4J23.u3242fiKJ4U53T冲步35n*5TITM163工。*“1UnA259（1）用分成抽样法从36名工人中抽取容量为9的样本，且在第一分段里用随机抽样法抽到的年龄数据为44,列出样本

5、的年龄数据；（2）计算（1）中样本的均值x和方差s2;（3） 36名工人中年龄在xs和xs之间有多少人？所占百分比是多少（精确到0.01%）?18 .（本小题满分14分）如图2,三角形pdc所在的平面与长方形ABC新在的平面垂直，PDPC4,AB6,BC3,点E是CD的中点，点F、G分别在线段ABBC上，且AF2FB,CG2GB.(1)证明：PEFG；(2)求二面角PADC的正切值；(3)求直线PA与直线FG所成角的余弦值19 .(本小题满分14分)设a1,函数f(x)(1x2)exa(1)求f(x)的单调区间；(2)证明f(x)在(，)上仅有一个零点；(3)若曲线yf(x)在点P处的切线与x

6、轴平行，且在点M(m,n)处的切线与直线OP平行，(O是坐标原点)，证明：m3=1.20 .(本小题满分14分)已知过原点的动直线l与圆J:x2y26x5。相交于不同的两点AB.(1)求圆a的圆心坐标；(2)求线段AB的中点M的轨迹C的方程；(3)是否存在实数k,使得直线l:yk(x4)与曲线C只有一个交点？若存在，求出k的取值范围；若不存在，说明理由.21 .(本小题满分14分)数列入满足：A2a2nan3n2-2,nN*.(1)求a3的值；求数列an的前n项和Tn；(3)令b1a,bnTn1(123.-n)an(n2),证明：数列bn的前n项和Sn满足Sn22lnn2015广东高考数学（理

7、）试题（答案及评分标准仅供参考）1、A2、D3、A4、C5、D6、C7、B8、C9、610、1011、112、156013、 2 /均任工=40：314、5、215、8216、_._/V5解：(1)因为和一汽.fVrlil?Jin=SJHr-cji.r=0.22即&in jt = cos x i 日一工亡sin xx =COS3：C2）易求得卜卜,足卜if.V = 1正 siTIM-五所以河嗫解得:5jtx =.12若用与E的夹角为£,Mcos=3-4t=-33网W化筒为士 sinjv-cus.Y -yfl(Csin，一二I4j因为工造。，也.斫以I2,】o1&本小题

8、满分14分)(1)证明:因为FD=FC点£为DC1中点，所以/£_。匚.又因为平面FDC1平面MAr。，交线为OC,所以FE，平面月3co.又FCu平面4BCD.所以尸E_FG,(2)解：由11>知PE-AD.因为四边形目6C。为长方形,所以D_LD，又因为尸EPIDC听以MD一平而FQC而FWu平面RDF.所以上。尸。.由二面角的平面角的定义.可知上RD匚为二面角F-HD-C的平面角.在施APDE中,小=心卧-左=行,所以匕门/尸。(7="=先.DE3从而二面角尸-HD-C的正切值为学.3解：连结".因为葛三卷所以巾易求得dC=mJ?iPA=Jp

9、D-DA2=S.所以直线PU与直线FG所或用等于直线94与直线用U所成角.即/打C.在心水"卞，zPAC=+ACPQ2=.2PAAC25所以直线户&与直线FG所成角的余弦值为华.19一(本小题满分14分)解：(1)函数八X)的定义域为上因为尸(彳)=2工.，+(|./)/=旨+2父+1.=(工+1/之01所以函数/(X：在&上单调递增“即(冷的单调递漕区间为代，无单请递减区间.(2因为口>1,所以0)=1-口c0,/(Inct)=(1-ln:afea-ti=aln:a>0.且柏口>0.满足f(0卜/(lti“cO由(1)知，/(“)在在上单调递增，故

10、在比|上仅有一个零点.CS）设点由撷童.尸（公）=（.|人=0,解得工与二一1所以丹=（1十年）或一以二:一以，即尸点的坐标为-】一。）所以卜3=白2.由趣意可将，尸（M）=（m-1）3*=0,e"要证明；屁F-i,只需要证明:德+品只需要证明:（掰+i，口一二=（梅-1第，e只需要证明：加G'xJ林造函数：A（x）=-x-l（x/?）!牙（M）=F-l,当工0时.川（主）0,即M工）在（一Go）上单调速减：当工。时，A（xof即，“，）在（6+止）上单调递甯.所以画数H6有最小值M0）二°即“工）.必所以丁7-120.故加+1%）故原不等式证明成立.20.（本小题

11、满分14分）解:C1）圆G的方程/.丁-6父+5=。化为（父-盯+/=4,所以圆心坐标为（3,0）.法LC代数法）设月（如Mh见勺,必）（跖W马）的中点JF（如下）其中/丙+ M y十外2702由题意可知：直然/的斜率必存在，设为,=比.将上述方程代入圆弓的方程，化但评（一）卡-6超-"0.i = 36 20|l十门由题意,可得：*fi.百+巧=7Li+r所以上=_代入直线，的方程，得,小=担十上1 ri *1 +1I * /国珀工. 9 薪 _90+:）_ 9因为/ +优=士+2 =2 =/ , = 3% （1十L）+/西由解得；0r 1所以:姓3.法2；（点差厘）设/（即此）泮（

12、工”尤1）*尸七），AU叼中点U （%）其中与二三"工 2将a8的坐标代入圆匚的方程，得:x-J61+5=0工JFJiJx；-y；一砾+5=0由一得（$7）（$+七-6）+（）-丹乂Y+乃）=0.整理得:M-g工r一工，一6-:F一七比+/因为。工H出四点均在直线,上.所以匚£=&,餐覆JD所以；区=_江匚，以下同法L凡2M(3)由(2)知，曲线C是在区间:工W3的一段圆弧，如图，。右芈/可，-芈卜尸3%直线上过定点G(40).联立直线上的方程与曲线C的方程，整理得：(1+/)/-(3+“士卜讨6=0.令判别式A = k解得二Jt = =- 4由求根公式解得交点的量

13、坐标为“一结合图像可以判断,当宜线£在隹出任上运动时不包括口,E两点)，要与曲线f只有一个支点,!L满足片 鼻 Mr,£比心 £ jJ； 一；，j，2L(本小题满分14分)解t(1)当#=1时，a.=11当打=2时,珥+2对=2.解.得士外=9一当拧=2时,a.20二+3鼻=?.口之得：鼻二g(2)当司*2时，r+2/+pi1)也.+M4I=4.一斗；16j.nIfT5-J.%-况-/J-l)a._=4一WLZ得,na-,听以西二.!(/?>2“2四】町2斤、/经检验，%=1也适合上式，所以/=5(内£N,)._当割之2时，当=；，所以数列4是以1

14、为苜项.；为公比的等比数列,&T工?当门=|时,§=|<2个21nl显然成立.当拄=2时，尻=1叶工=2-1=2+21口3<2+21ii2也成立.44令工二2n+5（H之1）,数列q的和为凡.mii o 792门 7 此则用= + +1 J1 1工7H、J-X_Fil_E£j79 加7R 7阚式相减得；?=二十2x上 工= Z + 2x2Ln9 2 -9所以当 m3 3时.5, < l +-I1 - + -4*33 2丹十9 7 9-I1'(13 2门十9坦，< 口打构造函数了（工）二¥32kiK（H*3）,尸二3二二二,2）0.3XA1AX"in_所以/X，）在3,比）上单调递减，从而丈）M/（3）=Y-9-Mn3n2（l-g?）E0.tl-2Inn<0i所以ZV2十工hifi.综上，满足工v2*21n小界=”.（以上胆莓若在疑司或搭演，敬酒指出！）挣占2时R=日】:二+1+1+4一1-+122)23123广整(1n只需证明211H11<2+21口内，制已阎“I2往下周逐项比较也行，定和分也行川17-f本小题满分12分）解：（1）由已知,将3B名工人分为4组，每组抽