高中数学竞赛专题复习学案14讲第9讲直线

1、第9讲 直 线一、知识要点1、直线的倾斜角的范围是，倾斜角为时，斜率不存在，讨论直线问题时，不可忽视斜率不存在的情形。经过两点的直线的斜率为2、直线方程的各种形式：（1）点斜式： （2）斜截式：（3）两点式：（4）截距式：（5）一般式：，其中A，B不全为零。 3、关于两直线平行与垂直的判断：（1） 设直线的斜率存在，分别为 若不重合，则（2） 设直线，则与相交；，且或4、夹角与距离设直线的斜率存在，分别为且夹角不是若的夹角是，则点到直线的距离为两平行线间的距离为5、直线系与直线平行的直线系方程为与直线垂直的直线系方程为经过直线的交点的直线系方程为，其中不包括直线二、例题精析例1、若点和都在直线

2、上，则（ ）（A）点和点都在上； （B）点和点都不在上；（C）点在上，点不在上；（D）点不在上，点在上；训练1、已知直线和的交点为P（3，5），求经过两点的直线方程。训练2、不论为何实数，直线恒过定点 。例2、过点P（0，1）作一直线，使它被两条已知直线和所截得的线段恰好以P为中点，求直线的方程。训练3、直线过点P（1，2），且A（2，3）、B（4，-5）到的距离相等，则直线的方程是 。训练4、求与直线3x+4y+12=0平行，且与坐标轴构成的三角形面积是24的直线l的方程。例3、已知ABC的顶点A(3, -1)，AB边上的中线所在直线的方程为6x+10y-59=0，B的平分线所在直线的方程为

3、：x-4y+10=0，求边BC所在直线的方程。训练5、在中，BC边上的高所在直线的方程为，的平分线所在的直线方程为，若点B的坐标为（1，2），求点A和点C的坐标。例4、已知线段PQ，P（-1，1），Q（2，2），直线与PQ的延长线相交，则的取值范围是什么？训练6、 若直线mx+y+2=0与线段AB有交点，其中A(-2, 3)，B(3,2)，求实数m的取值范围。例5、已知直线和点P（6，4），在直线上求一点Q，使过PQ的直线与以及轴在第一象限内围成的三角形的面积最小。训练7、经过点作直线，分别交轴、轴的正向于A、B，（1）、求取得最小值时直线的方程；（2）当的面积最小时，求直线的方程（O为原点）

4、。例6、平面上整点（纵、横坐标都是整数的点）到直线的距离中的最小值是（ ）（A） （B） （C） （D）训练8、已知 x+y-4=0，则的最小值是 。训练9、函数的最小值是 。例7、已知平面上两点A（4，1），B（0，4），在直线上找一点M，使|MA|-|MB|最大，求M的坐标及最大值。训练10、有一条光线从点A（-3，5）射到以后，再反射到一点B（2，15），求这条光线从A到B的长度。训练11、直线y=x关于直线x1对称的直线方程是_ _。例8、求方程表示的图形所围成的区域的面积。训练12、由方程确定的曲线所围成的图形的面积是（ ）（A）1 （B）2 （C） （D）4例9、已知函数，求集合有

5、四个不相等的实根。训练13、已知函数，若方程恰有两相异实根，求的取值范围。例10、已知平面内点满足不等式，求的最小值。训练14、若点是区域内的动点，求函数的最大值。三、巩固练习（一）、选择题1、设全集，则等于（ ）（A） （B） （C）（2，3） （D）2、若直线(m2-1)x-y+1-2m=0不过第一象限，则实数m取值范围是（ ）（A）-1<m （B）m1 （C）<m<1 （D）m13、过点（1，3）且垂直于直线的直线方程为（ ）（A）（B）（C）（D）4、点P在直线x+y-4=0上，O为原点，则|OP|的最小值是（ ）（A）2 （B） （C） （D）5、已知两定点A（2，

6、-3）、B（-3，-2），过点P（1，1）且斜率存在的直线与线段AB相交，则直线的斜率的取值范围是（ ）（A）或 （B） （C） （D）6、若直线经过点（1，1），且与两坐标轴所围成的三角形面积为2，则直线的条数为（ ）（A）1 （B）2 （C）3 （D）4（二）、填空题7、过点A（2，-3），且在坐标轴截距相等的直线方程是_。8、若当时，函数的值有正也有负，则实数的取值范围是 。9、不论取何实数，直线恒过定点 。10、直线的倾斜角的取值范围是 。（三）、解答题11、在菱形ABCD中，A（-4，7），C（6，-5），又BC边所在直线过点P（8，17），求：（1）AD边所在直线的方程；（2）对角

7、线BD所在直线的方程。12、已知ABC中，顶点A（2，1），B（-1，-1），C平分线所在直线方程是，求顶点C的坐标。13、一光线从轴正向上一点P发出，被直线反射到达点后又被轴反射，反射光线与直线平行，求的周长和面积（Q为上的反射点）。14、预算用2000元购买单价为50元的桌子和20元的椅子，希望使桌椅的总数尽可能的多，但椅子数不少于桌子数，且不多于桌子数的1.5倍，问桌、椅各买多少才行？第9讲 直 线 参考答案例1、解：选A。由N在上，得，即，所以在上，又M在上，则，于是又，所以上式化为，即，可知点也在上。训练1、解法1、由得，因，否则，与两直线的题设矛盾，故，于是直线方程为，即，即解法2

8、、由P（3，5）在两直线上，得，即均满足方程故A，B都在直线上，而经过A，B的直线是惟一的，于是直线AB的方程为训练2、答案：（-4，3）例2、解法1：由题设易知直线的斜率存在，可设，设其与的交点坐标分别为， ； 因为P（0，1）是的中点，所以 解得，故解法2：设与的交点坐标分别为，则可知直线经过两点（0，1）和（-4，2）。可求出其方程为。训练3、或训练4、解法一：先用“平行”这个条件设出l 的方程为3x+4y+m=0再用“面积”条件去求m，直线l交x轴于，交y轴于由，得，代入得所求直线的方程为：解法二：先用面积这个条件列出l的方程，设l在x轴上截距离a，在y轴上截距b，则有，因为l的倾角为

9、钝角，所以a、b同号，|ab|=ab，l的截距式为，即48x+a2y-48a=0又该直线与3x+4y+2=0平行，代入得所求直线l 的方程为例3、解法1：设B(a, b)，B在直线BT上，a-4b+10=0 又AB中点在直线CM上，点M的坐标满足方程6x+10y-59=0 解、组成的方程组可得a=10，b=5 B(10, 5)，又由角平分线的定义可知，直线BC到BT的角等于直线BT到直线BA的角，又 ，BC所在直线的方程为即2x+9y-65=0解法2：如上求出B（10，5），设A关于BT对称的点为，可知在直线BC上，由解得，进而可求出BC所在直线的方程为2x+9y-65=0。训练5、解：由题意

10、知，A是BC边上的高与的平分线的交点。由，得，故点A的坐标为（-1，0）。又的平分线为轴，故，于是AC的方程为。又BC边上的高所在直线的斜率为，故，于是BC的方程为由，解得，故点C的坐标为（5，-6）。例4、解法1：直线的方程，即经过点M（0，-1），过点M作直线，显然，的斜率为。过M、Q作直线，则的斜率为，如图所示，与PQ的延长线相交的直线应夹在与之间，即（为的斜率）。于是解法2：直线PQ的方程为，即，解方程组，当时，得，即直线与直线PQ的交点的坐标。欲使交点位于线段PQ的延长线上，必须且只需，或者，解这两个不等式，均有又时，方程组无解，故的取值范围是训练6、解：直线mx+y+2=0过一定点

11、C(0, -2)，直线mx+y+2=0实际上表示的是过定点(0, -2)的直线系，因为直线与线段AB有交点，则直线只能落在ABC的内部，设BC、CA这两条直线的斜率分别为k1、k2，则由斜率的定义可知，直线mx+y+2=0的斜率k应满足kk1或kk2， A(-2, 3) B(3, 2) -m或-m 即m或m例5、解：设Q点的坐标为，则PQ的方程为又直线PQ交轴于，则有即点M的坐标为从而即时，S有最小值。故所求点Q的坐标为（2，8）训练7、（1）设直线的方程为：，显然k不存在时的直线不符合题意。可得，当且仅当时取等号，所求直线的方程为（2）解法一：设所求直线方程为由题意知，即，故，当且仅当，即时

12、取得最小值，从而，所以直线的方程为。解法2：过M点分别作轴、轴的垂线MD、ME，设，则当，即时，的面积取最小值4，此时OA=4，OB=2，直线的方程为。例6、解：选B。设整点为，则它到直线的距离为。由于，故是5的倍数，于是有当时，所以所求最小值为训练8、； 训练9、例7、解：设点B（0，4）关于的对称点，则由，得，故延长AC与直线相交，交点即为所求的点M，此时|MA|-|MB|=|MA|-|MC|=|AC|=。设N为上任一点，则|NA|-|NB|=|NA|-|NC|，当且仅当N与M重合时取等号。直线AC的方程为，即由解得故点M的坐标为（2，5）时，|MA|-|MB|最大，最大值为。训练10、解

13、：由于直线的斜率是，过A作直线，则的方程是。由直线的方程解得这两条直线的交点为C（0，1）。设与A关于对称，则C为的中点，由中点坐标公式求得的坐标为（3，-3）。如果光线在上的反射点是P，则P在直线上，那么光线从A到B的长为训练11、例8、解：把代入已知方程仍得，因此，已知方程的图形关于轴对称，为此，只需求其一半，即求所围成的面积即可。作图可求出其面积为240，故原方程所围成的面积为480。训练12、答案：B例9、解：作出的图象，方程有四个不相等的实根，就是直线与函数的图象有四个不同的交点。设直线与函数的图象有三个公共点，令它的斜率为，则。由方程组令得或，当时，方程两根，不符合题意；当时，方程两根，符合题意。故训练13、答案：例10、解：由有或满足不等式组的对应点的区域是如图所示的阴影部分，的几何含义是区域内点P到原点的距离。取最小值时，可能是O到的距离，也可能是O到的距离，加以比较即可。O到的距离为；O到的距离为。所以的最小值为故的最小值为训练14、解：的最大值即通过区域的直线的纵截距的最大值，当时，；当时，。巩固练习一、选择题1、B；2、D；3、A；4、C；5、A；6、C二、填