高中数学常用结论和方法点拨（北师大版）必修4第一、三章 三角

1、三角部分 1. 角的定义：一条射线绕着它的端点旋转，开始位置和终止位置所构成的图形叫角.2.任意角：按逆时针方向旋转得到任意大小的正角，按顺时针方向旋转得任意大小的负角，不作任何旋转为零角.放在坐标系中：顶点在原点，始边与x轴非负半轴重合.2.为终边上任意一点（不与原点重合），设.大小有关的比值“”为角的正弦函数，表示为 ，同理 ，.，.正负号都是取原角所在象限原函数的符号！1.同名公式：角“”可化为角的同名函数， 2.余名公式：角“为奇数）”可化为角的余名函数，（确定“原角”所在象限时，不论的大小均视为锐角）1.角可利用，等关系及右图帮助记忆.2.特殊角三角函数值表01803600010-1

2、-010-1-0101-1-01-1-0六.和、差、倍、半公式的证明可借助解析法，其余公式均可通过角的不同代换来完成.2.记住“”，“”各公式的结构特征，仔细辨析等式两端函数名称、次数、符号、角度的变化规律，并注意公式的活用和逆用.3.常用形式： ， ；，；.另外，注意角的常用组合如：，等.七.弧度、角度制及相关公式正切线一个周角=（弧度），（弧度）；弧长，.正弦线 对于（万能形式）求定义域，值域，最值，单调区间，周期性，奇偶性，对称轴，对称中心等，均可以通过观察分析函数图象或三角函数线的特性得以解决. 还应注意：l 用任意角三角函数定义可直接推出：基本关系式、诱导公式、特殊角三角函数值、三角

3、函数的符号乃至于和角公式等，故须熟记和深刻理解“定义”及其含义；l “万能形式”：是求值域、周期、单调区间、对称轴、对称中心等性质的必要形式；l 求值域的必要形式有三种：万能形式；对于函数式中含有及 的函数，可利用化为含有的复合函数求值域；类似于同时含有和的函数可化成以为自变量的二次函数而求之.l 解读图题时，当由求值时，一般地，若点是图像由正到负的零点，取，若图像是由负到正的零点，取0. l 当时，；当时，；当时，； 当时，；当时，；当时，.l “左加右减”的函数图象变换规律是对自变量自身而言的；周期变大，变小；振幅增大，增大.l 作形如图像的顺序是先依次令=，然后算出对应的和的数值表，再依

4、次描出点，最后连线.1.直角三角形： 应用锐角三角函数定义，勾股定理，面积公式等即可解决；如果有一个锐角为，则三边之比为；若有一个锐角为，则三边之比为.2. 正三角：边长为的正三角形的高为，半径为，边心距为，面积为；正三角形内任意一点到各边的距离之和等于一边上的高（定值）.熟记这些关系对解决有关问题帮助很大. 3. 斜三角形：在正确应用正、余弦定理的同时还应充分利用以下结论：.中，,成等差数列，大边对大角，两边之和大于第三边等.当已知两边及其一边的对角解三角形可能产生多解时，设第三边为未知数，用余弦定理列出方程，通过判断该方程正根的情况来确定三角形解的情况会更简单些.当一个等式的两边或分式的分

5、子、分母都是边（角的正弦）的齐次式时，可以把边与对应角的正弦互换（正弦定理的应用）.注意比例的性质在正弦定理中的应用.面积，（其中为半周长，为内切圆半径）.的顶点在坐标原点，始边在轴的非负半轴上，终边经过点，求的值.解析：，=.，若是第三象限的角，且，求的值.解析：=，又，且在第三象限，故.4. 已知，且.求.解：由，得，由，得，又，由，=，.5. 在中，若，则=_.解析：，根据等比性质得 =，又，原式=2.5. 已知函数，（）求图像的对称中心；（）求在区间上的最大值和最小值； （）的图像是由经过怎样的平移得到的？解析： =， = =（）由=，得，故所求对称中心是，.（）由，得，当，即时，；当

6、，即时，.（）把图像向左平移，再把所得图象上各点的纵坐标扩大到原来的2倍（横坐标不变），再将所得图象向上平移3个单位而得到.十二.练习题精选的值为 （ ）【B】 2.给出下列四个命题：【】 使得；设，则，必有；设，则函数是奇函数；设，则.其中正确命题的序号为 （把所有满足要求的命题的序号都填上）3.函数的最小正周期为 .【】三角函数检测题一. 填空题：1.= .终边上一点，则最小正值为 .，角的终边经过点，那么= .，则= .，它的周长是，则该扇形中心角的弧度数是 .，则= .在第三象限，则角的终边必在 象限.，则= .9. 已知，则 .，则= .= .，则= .的值域是 .的定义域是 .的单

7、调递增区间和图像的对称中心分别是 和 .，则的大小关系是 .二.解答题：. 求的最小正周期；求在区间上的取值范围. ，（其中）图像的一个最低点，与轴的一个交点为，如图. 求的解析式； 当时，求的最大值. ，. （1）当时，求的最大值和最小值； （2）求的范围，使在区间上是单调函数.20. 设关于的函数的最小值为，求的取值范围. （单位：米）是时间（单位：小时）（）的函数，记为.已知某日海水深度的数据如下：/小时03691215182124/米经长期观察，的曲线可近似地看成函数的图像.（1）试根据以上数据，求出函数的振幅、最小正周期和表达式；（2）一般情况下，船舶航行时，船底离海底的距离米时认为是安全的（船舶停靠时，船底只需不碰海底即可）.某船吃水深度（船底离水面的距离）为米，如果该船希望在同一天内安全进出港，请问，它至多能在港内停留多长时间（忽略进出港所需时间）？参考答案一.填空题： 1.；2.；3.；4.；5.2；6.；7. ；8.；9. 或；10.3；11.；12.2；13.；14.；15.，；16.二.解答题： 17.解：（1），. （2）由，得，故在上的取值范围是.18.解：（1）由图像可以看出， ，所以，. 将代入，得， 故. （2）， ，故当时，.19. 解：（1）当时， ，又，当时，；当时，.（2），要使在区间上是单调函数，只需或，即