高一数学课程第2讲-函数的解析式、定义域和值域

1、寒假课程高一数学第二讲 函数的解析式、定义域和值域一、知识梳理1 .函数的概念设集合A是一个非空的数集，对 A中的任意数x,按照确定的法则 f ,都有唯一确定的数 y与它对 应，则这种对应关系叫做集合 A上的一个函数.记作 y f(x), x A .函数的本质含义是定义域内任一x值，必须有且仅有惟一的 y值与之对应.函数的定义域与值域：函数的定义中，自变量x取值的范围叫做这个函数的定义域；所有函数值构成的集合y y f (x), x A叫做这个函数的值域.确定一个函数的两个要素：定义域，对应法则.函数好比数的加工厂，定义域是加工范围，值域是产品系列，f是加工手段.2 .函数的表示法：列表法，图

2、象法，解析法.图象法和解析法是考查的重点.3 .映射的概念设A, B是两个非空的集合，如果按照某种对应法则f ,对A中的任意一个元素 x ,在B中有一个且仅有一个元素 y与x对应，则称f是集合A到集合B的映射.这时，称y是x在映射f作用下的象，记作 f (x),于是y = f (x) , x称作y的原象.映射f也可记为 f:A B x f(x)其中A叫做映射f的定义域，由所有象 f(x)构成的集合叫做映射 f的值域.二、方法归纳求函数的解析式的一般方法：配凑法、换元法、待定系数法、特殊值法等等.求函数的定义域的一般原则：分母不为零，偶次根下的式子不负，零的零次哥没意义，零和负数无对 数，等等.

3、求函数的值域的常见方法：直接法、配方法、换元法、判别式法、数形结合法、反函数法、单调性法判断某“对应法则”是否为 A-B的映射，主要表现为“一对一”及“多对一”的两种特殊对应；应特别注意：A中任一元素在B中应有象，且象唯一； B中可以有空闲元素，即 B中可以有元素没有原 象.三、典型例题精讲1寒假课程高一数学【例1】如果f(x 1) x2 5x 4,那么f(x)=.解析：方法一(配凑法) f (x 1) x2 5x 4= (x 1 1)2 5(x 1 1) 4,22. f(x) = (x 1)2 5(x 1) 4 = x2 7x 10.方法二(换元法)设x 1 t,则x t 1,于是 f(t)

4、 (t 1)2 5(t 1) 4=t2 7t 10,2即 f (x) = x 7x 10 .技巧提示：(1)凑配法：若已知 f(g(x)的表达式，需求f(x)的表达式，可把g(x)看成一个整体， 把右边变为由g(x)组成的式子，再将 g(x)统一换为x ,求出f(x)的表达式.(2)换元法：已知f(g(x)的表达式，需求f (x)，我们常设t g (x)，从而求得x g 1(t),然后代入f(g(x)的表达式，从而得到 f(t)的表达式，即为f(x)的表达式.用凑配法和换元法求 f(x)的解析式时，不单是关注对应法则的变化，还需要考虑定义域的变化.又例：已知f(2x 1) 4x 1 , 1 x

5、 3,求函数f (x).错解分析：.l f(2x 1) 4x 1 = 2(2x 1) 3, f(x) = 2x 3, 1 x 3.定义域是函数的一个要素，没有考虑定义域的变化，所求函数出错.解析：: f (2x 1) 4x 1 = 2(2x 1) 3,又. 1 x 3,有 1 2x 1 5, ，f (x) = 2x 3, 1 x 5.a >0, awi, x >0),求 f (x)的表达式. .a 1再例：已知函数f(x)满足f (loga x) = -f (x -) a 1 x错解分析：令 t loga x ,于是 a > 1, t>0； 0 a 1, t<0.

6、将x at代入，得 f(t) = Fa(at a t), a 1. a ， x x、f(x)=(aa ) (a>1, x>0； 0 a 1, x<0).a 1在 a >0, aw, x>0 的条件下，loga x t R.解析：令 t loga x , t R 将x a 代入，得 f (t) =，a(at a t) 'a 1a x xf (x) = (aa ) (a>0, a 0, x R).a 1【例2】已知二次函数f(x) = ax2 bx c满足f(1) f( 1) f(0)1,求f(x)的表达式.解析：由 f(1) a b c, f( 1)

7、a b c, f(0) c.1 ,a 2f(1) f( 1) f(0)1得 b -f(1) f( 1) 并且 f(1), f( 1), f(0)不能同日等于 1 或一1,c f(0)所以所求函数为：f(x)=2x21 或f (x) = 2x21或 f(x)=x2x 1或 f (x) = x2 x1 或 f (x) =x2 x 1 或 f (x)= x2 x 1 .技巧提示：待定系数法：若已知 f(x)的结构时，可设出含参数的表达式，再根据已知条件，列方程 或方程组，从而求出待定的参数，求得 f (x)的表达式.又例：已知一次函数f(x)满足3f(x 1) 2f (x 1) = 2x 17,求f

8、 (x)的表达式.2b,解析：设 f(x)=kx b,则 3f (x 1) = 3kx 3k 3b, 2f (x 1)= 2kx 2k由 3f (x 1)2 f(x 1) = 2x 17,得 kx 5kb 2x 17. k2比较系数及常数项，得，k 2, b 7.5k b 17f (x) = 2x 7.再例:如果函数f (x)2 x a(b,c N + )满足 f(0)=0, f (2) =2,且 f ( 2) v bx c1 - 一、.求函数f (x)的解析式.解析：依题意，得a 04 a2b ca 02b cf(x)2xbx 2b 21044b 2 b e n+, . 2b 1 0, b又

9、由f( 2) 一. b = 1 或 b = 2.2又2b c = 2,故当b = 1时，c = 0,不符合题意;2x当 b=2 时，c = 2.f (x) (x 1).2x 2【例3】 已知f(x)满足对任意x R,x 0,有 2f (x) f(1) 2x .求 f (x).x解析：: 2f (x) f (1) x2x1 2f xf(x)由，得f(x)技巧提示：若已知以函数为元的方程形式,2.3x若能设法构造另一个方程， 组成方程组，再解这个方程组,求出函数元，称这个方法为消元法.又例：设f (x)满足f (0) = 1，并且f (xy) f (x) y(2xy 1)对任意实数x、y都成立，求

10、f(x)的解析式.解析：方法一：由f (0) =1,f (x y) f(x) y(2x1)f (0) f (x) x(2x x1)f (x)1- f (x) = x2方法二：令x = 0,得f(y) f(0) y( y 1)(y)2( y) 1,f(x) = x2技巧提示:赋值法：在求某些函数的表达式或求某些函数值时,有时把已知条件中的某些变量赋值,使问题简单明了,从而易于求出函数的表达式.【例4】求函数y ln(x 1)v9 x2的定义域.解析：这个函数是两项之和，由第一项有:2由第二项有：9 x 0,取两者之交集，得所求函数的定义域为(1,2)(2,3 .技巧提示：求函数的定义域就是要使函

11、数有意义，目前我们知道：分母为零无意义，负数开偶次方无 意义，零的零次哥没意义，零和负数的对数无意义等等.求函数的定义域往往需要解不等式或不等式组； 使函数有意义就要使函数的每一部分都要有意义，所以通常需要求数集的交集.4 x又例：(1)函数f x log3 x 1的定义域是x 1函数ylog 2（3x32)的定义域是解析：(1)要使函数f(x)有意义，必须有4x0 x 4x 1 0 ,即 x 1x 1 0 x 1应填：（1,1） （1,4.(2)要使函数有意义，必须有10g2（3x 2）0,3，2/20 3x 2 1 ,即一x 1.应填：（一,1.33e x 0再例：函数y e的定义域是x2

12、 -得f(lnx)的定义域为1,e.应填：1,e .技巧提示：函数yf(x)的定义域为0,2 ,意思是f只能对0,2中的数作用，也就是对0,2中的数f才有意义.函数f(lnx)要有意义，必须 f又1nx能作用，所以必须 0 1nx 2 .又例：已知函数 f (x) vmx2 mx 1的定义域是全体实数，则 m的取值范围是()A . 0< m < 4 B. 0<m < 1 C. m >4 D. 0<m <42 m 0 » m 0镐斛分析： 由mx mx 1 >0对全体实数都成立，得，即 20 m 4m 0m的取值范围是0v mw4故选A.

13、解析：由mx2 mx 1 >0对全体实数都成立，得0 x 1解析：这是分段函数，其定义域应是各段函数定义域的并集，应填：(，1【例5】 若y f(x)的定义域为0,2 ,则f(lnx)的定义域是 .02解析：由0 1n x 2,有e x e当m = 0时，1 >0,对全体实数都成立;m 0m2 4m 0m的取值范围是 0wmw4故选B.技巧提示：这是求函数的定义域的逆问题，即给定函数的定义域，求参数的取值范围.此问题转化为 不等式恒成立问题，但要注意二次函数的二次项系数为字母时的分类讨论.再例：已知函数f(x)(a2221)x2 (a 1)x 的定义域为R,求实数a的取值范围. a

14、 1222斛析：由题息知x R时，(a 1)x (a 1)x 0恒成立.a 1(1)当 a2 1 0 且 a 10 时，有 a =1,此时 f (x) = 1,显然对x R时，(a2 1)x2，,、2 c(a 1)x 0恒成立.a 1a2 1 0(2)当a2 10时，有(a 1)92,解不等式组得1 a 9.4(a11 0综上知，当x R时，使得f(x)有意义的a的取值范围是1, 9.【例6】 求函数y 2 x x24x的值域.解析：本题中含有二次函数可利用配方法求解，为便于计算不妨设f(x)x2 4x( f(x) 0),配方得 f(x) (x 2)2 4(x 0,4).利用二次函数的相关知识

15、得f(x) 0,4 ,从而得出所求函数的值域为y 0,2技巧提示：配方法能解决与二次函数有关的函数的值域问题.本题可以直接配方，得y 2 x x24x = 2 V4 (x 2)2 ,然后经分析得所求函数的值域为y 0,2 ,因此，有时直接分析也能得到函数的值域.又例：求yx2 4 2的值域.解析：由绝对值知识及二次函数值域的求法易得x2 4 0,x2 422,，二 y2,2x x再例：求函数y -的值域.x2 x 1解析：观察分子、分母中均含有 x2 x项,可先变形后再采取分析法.22x x x-2x x 1 x(xz 1、2 z(x 2)2 >Q 有(x2)23 3>4 40V1

16、4W一,/123 3(x -)-24技巧提示:判别式法：1n3(x -)224所求函数的值域为<0,3,1 (x1.< 1, 123)24配方法、分析法、配方分析法都是解决含x2项的函数值域问题的重要方法.本题亦可采用2, x x将y -重新整理为关于x的二次方程，得（yx x 121)x (y 1)x y 0,这个关于x的二次方程有解，y 1且判别式4( yl)y >o,所求函数的值域为3,1 【例7】已知函数y2x2axx2 1bb的值域为1,3,求b的值.解析：由题意知x R,把原函数变形为(y2)x2ax y0时，满足题意;0时，因x R,所以2a2 4(y 2)(y

17、b)0,即4y24(b 2)y 8b a2 04(b 2)y 8b0的两个实根,寒假课程高一数学由韦达定理解得a2, b 2.技巧提示：这是求函数的值域的逆问题，即在给定函数值域的条件下求参数的值.解决此问题的关键 在于把求值域的问题和解一元二次不等式的问题联系起来，最后通过比较同解不等式的系数，列方程求出 参数的值.x2 2x a 又例：已知f(x) = , x 1,x求函数f (x)的最小值;1 一(1)当 a = 一时,2(2)若对任意X1,f (x) >0恒成立，试求实数 a的取值范围.解析：(1)当a =f (x)=x2 2x a1x 2x2=(反2 2 72,函数工在x2x1

18、,上是增函数，2在x1,上是增函数，于(& T2x)2>(1 T2)2i 丘f (x) = (Vx22A . 2B. 4C. 6D. 712一 a(2) f (x) >0 即为 x x2 >0,1,2_.x 2x恒成立.而当x 1,时,x2 2x(x1)四、课后训练6、1.已知f(x )f(8)B.2.已知函数f (n)=3(nff(n10), 5)(n其中10),f(8)等于(寒假课程高一数学3 .若函数f(x)= mx (x)在定义域内恒有 f (f (x) = x ,则m =() 4x 34A.3B. -C.- -D. - 32224 . (1)已知f(x)的定

19、义域为 2,2 ,求f(x 1)的定义域；f (x a)的定义域.(2)已知f(x)的定义域为 0,1 ,求函数F (x) f (x a)一kx 75 .已知函数f(x) 的定义域是 R,求实数k的取值范围.kx2 4kx 3,1 x6 .已知函数 f (x) = log 21 x(1)求证：f(x1) f(x2) fex1-x)； 1 x1x2. a b.1(2)若 f() = 1, f( b),求 f(a)的值.1 ab2- 2x 4x 7心7 .求函数y 2的值域.x 2x 38 .求函数y 2x 3 J13 4x的值域.一 ax x 1.9 .求函数y =( x > 1且a &g

20、t;0)的最小值.x 110 .求函数y= Jx J1 x 的最大值和最小值.五、参考答案122 ,f(8) log21 .答案：D解析：由 f (x6) log2 x ,知 x 0,令 x6 8 ,得 x2 .答案：D解析：f (8)= f( f (13) = f (10)=7,故选 D.3 .答案：A解析:f (x)=mx4x 3f(f(x) =mx4x 3mx=x ,整理比较系数得m = 3.4 34x 322一24 .解析：(1)令 2 X2 1 2,得 1 x2 3,即 0 x2 3,因此 0 | x | 33 ,从而 <3 x 33 ,故函数的定义域是x| 73 x 33.(

21、2)因为f(x)的定义域为0,1 ,即0 x 1 .故函数F(x)的定义域为下列不等式组的解集,0 x a 1 . a x 1 a,即0 x a 1 a x 1 a即两个区间a,1 a与a,1 a的交集，比较两个区间左、右端点，知1_(|)当 - a 0时，F(x)的定义域为x| a x 1 a；1_ 一(ii)当0 a 5时，F(x)的定义域为x|a x 1 a；11(iii)当a 或a 时，上述两区间的交集为空集，此时F(x)不能构成函数.22.2. 八 一5.解析：要使函数有意义，则必须kx 4kx 3 wo恒成立,因为f(x)的定义域为R,即方程kx2 4kx 3 0无实根.23当kwo时，需 16k4 3k 0恒成立 解得0 k 4当k = 0时，方程变为3=0恒无实根.,，一3综上k的取值范围是0k3.46.解析：(1)证明:1 x1f(x1)f(x2) log2 1 x11 x2 logrr 入21 x1 x2 xx2、log2(1 x1 x2 xx2)；XiX21 Xi X21 X1X2又 f (-) log2(1 X1X21X1X21 X1X2log2(1X1X