北大医学数字图像处理5.2投影定理和傅里叶重建

1、5.2 投影定理和傅里叶重建投影定理奠定了各种重建算法的基础 1。 5.2.1 投影定理在固定坐标系中,吸收体的吸收函数 的 FT 为, (y x f (, (, exp 2( F u v f x y j xu yv dxdy =+其中, 为坐标(x, y经 FT 后在频域的变量。, u v 在旋转坐标系 (旋转坐标系 相对于固定坐标系 转 动角 中,吸收体的吸收函数的 FT 为 , (yx, (y x , (y xf (, (, exp 2( F uv f xy j xu yv dxdy =+ 其中, 为旋转坐标 经傅里叶变换所得频域变量。 , uv , (y x 问题: (, (, F u

2、v F u v =是否成立? 证明:已知=y x y xcos sin sin cos ,其中 为正交方阵: cos sin sin cosT 1, A A A =1=(行列式因为吸收值应与坐标系无关,故:, ( cos sin (, sin cos ( , (y x f y x y x f y xf =+=,所以( (, (, exp 2(cos sin sin cos (, exp 2cos sin (sin cos F u v f x y j x y u x y v d xd yf x y j u v x u v y d xd y =+=+ 这里恰好是频域坐标转动 角, 即两个坐标系对应

3、坐标的关系为:cos sin sin cos u u v v =, 上式变成(, (, exp 2( F uv f x y j xu yv dxdy =+注意:上式的积分变量变化,因为 dxdy J y d xd =, J 为雅可比 行列式。但是由于 ,以正交方阵作为变换 矩阵,故=y x yxcos sin sin cos cos sin 1sin cos x yxx J x y yydxddy dxdy=又因为(, (, exp 2( F u v f x y j xu yv dxdy =+所以(, (, F uv F u v =。 意义:频域坐标 的 F 函数正好等于把频域坐标转角后(,

4、u v (, u v的 F 函数 。根据前面 5.1节内容,当旋转坐标系 相对于固定坐标系 转动角 时, x-ray 所形成的投影, (y x , (y x =sxI I y d y xf xp (ln , ( , (0 , (x p 表示测出的离散值; s 为 x-ray 穿过吸收体的长度; 为 吸收系数。该投影的傅里叶变换为, (y xf 0(, (, exp 2 (, exp 2 (, exp 20 (, (, 0 v P up xj xu dx f x y j xu dydx f x y j xu y dydx F u v F u=+=符合cos sin cos 0sin cos si

5、n u u v v v u u =,故投 影的傅立叶变换只是 (, u的函数。 这里就是图中点线对应的数据,即:空域频域固定直角坐标系 上断面的两维吸收函 数, (y x, (y x f经傅里叶变换在直角坐标系 上得到 (, u v (, F u v动坐标系 转动方 向 ,平行束投影 , (y x经傅里叶变换 坐标系 转动同样 时的转轴 上各点之值(, uv u (, 0 F u(, p x 5.2.2 n-D 坐标投影空间域 :多维函数看作向量( , , , (21K f x x x f n= 其中 K为列向量,T n n x x x x x x , , , 2121 #K = (Kf 的傅

6、里叶变换为12( (, , , n F W F w w w =K其中 频域坐标向量 Tn w w w W , , , 21 K =。所以nn n nn dx dx dx x w x w x w j xx x f w w w F 2122112121 (2exp , , , (, , , (+=可以写为( ( exp 2( F W f j W d +=K K KK K同理,傅里叶逆变换为+=W d W j W F f nKK K K K (2exp (2(1 (有向量形式的傅里叶变换对:( (W F f KK。 假如把 n 维坐标轴旋转一角度求其投影时,转动角度相当于对向 量进行正交归一变换,变

7、换矩阵 A 应满足T A A A =1, 1 (正交归一条件 , A 为行列式,记为=nn n n n n a a a a a a a a a A # 212222111211。假如把 K向量旋转一角度成为 KA 向量,记作第五章 图像重建 L = A = l1 , l 2 , 求其傅里叶变换： + , ln T F (W = = 其中 + f ( A exp j 2 W ( A d ( A f ( L exp j 2 (W L dL L = A = A 1 L = AT L dL= J d=d 频域： 进行同样的正交归一变换，即令 = AW 求傅里叶反变换 + f (L = 得到傅里叶变换对

8、 F ( exp j 2 ( L dL f ( L F ( f ( A F ( AW 说明若 f ( F (W 则存在 f ( A F ( A W ，即 f ( L F ( 。 6 第五章 图像重建 n-D 系统的投影 在 n 维系统中沿 x i 维方向上投影，就是在该方向上求积分。得 到 n1 维投影函数 p x i ( x1 , x 2 , 其傅里叶变换为 , x i 1 , x i +1 , , xn = f ( dx i Pwi ( w1 , w 2 , 表示在 wi , wi 1 , wi +1 , , w n = F (W wi = 0 = 0 处的一个切片！这是 n 维系统中沿任

9、一轴的投影。 对任意方向（非某一轴） ，同上述原理，用正交归一旋转矩阵 A, 则 F (W f ( F ( AW f ( A 即 F ( f ( L pli (l1 , l2 , , li 1 , li +1 , , ln 的 n 同理， l i 投影轴的投影 沿 1 维傅里叶变换 Pli = F ( 为多维向量的投影定理。 i =0 7 第五章 图像重建 5.2.3 傅里叶重建 极坐标的傅里叶变换 y y x x x-ray 笔形x-ray束沿与x轴成沿角的 x 轴平移，得到一组空域投影 p ( x , ，其傅里叶变换为频域过 (u , v 零点、角度为的一条直 线上的全部数据，从 0 变到

10、 1800，可求出一系列频域过零点的数 据集合。 v S u 现在从极坐标看，设采样 M 个点，即有 M 个离散数据。 原来是直角坐标 f ( x , y 的傅里叶变换 F (u , v ，现用极坐标 8 第五章 图像重建 (S, 表示 F (u , v ，对应傅里叶反变换为 f ( x, y = 其中 1 (2 2 + 0 F (S, exp j 2 ( xS cos + yS sin S u = S cos v = S sin dSd S 对应 u . 当 = 0 ，空域投影经傅里叶变换在频域得到 P (u , v = = F ( S , = = S ( S , = 0 0 0 已经表示为频域极坐标形式，而 u 相应于极轴 S，得用投影 S ( S , 重 建图像 f ( x , y 的公式，所以 f ( x, y = 1 (2 2 + 0 S ( S , exp j 2 S ( x cos + y sin S dSd 这里把从 0