直线与圆地位置关系

1、标准实用直线与圆、圆与圆的位置关系1判断直线与圆的位置关系常用的两种方法(1) 几何法：利用圆心到直线的距离d 和圆半径 r 的大小关系d<r ? 相交； dr ? 相切； d>r ? 相离>0? 相交判别式(2) 代数法：20? 相切b 4ac<0? 相离 知识拓展 圆的切线方程常用结论(1) 过圆x2y2r2上一点 (0，y0) 的圆的切线方程为0x 0 r2.P xxy y(2) 过圆 ( x a)2 ( y b)2r 2 上一点 P( x0， y0) 的圆的切线方程为( x0 a)( x a) ( y0 b)( y b) r 2.(3) 过圆 x222外一点 M

2、( x00002. y r，y ) 作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x x y y r2圆与圆的位置关系设圆 O1： ( x a1)222( y b1) r 1( r 1>0) ，2y b2)22r 2>0).圆 O2：( x a2) (r 2(方法几何法：圆心距d 与 r 1，r 2的关系代数法： 联立两圆方程组成方程组位置关系的解的情况外离d>r 1r 2无解外切d r 1 r 2一组实数解相交| r r|< d<r r2两组不同的实数解121内切d |r 1 r 2 |( r 1 r 2)一组实数解内含0 d<| r 1r 2|( r 1 r 2

3、)无解 知识拓展 常用结论(1) 两圆的位置关系与公切线的条数：内含：0 条；内切： 1 条；相交： 2 条；外切： 3 条；外离：4 条(2) 当两圆相交时，两圆方程 ( x2，y2 项系数相同 ) 相减便可得公共弦所在直线的方程【思考辨析】判断下面结论是否正确 ( 请在括号中打“”或“×” )文案大全标准实用(1)“ k 1”是“直线 x y k0与圆 x2y2 1 相交”的必要不充分条件(× )(2)如果两个圆的方程组成的方程组只有一组实数解，则两圆外切( ×)(3)如果两圆的圆心距小于两圆的半径之和，则两圆相交( ×)(4)从两圆的方程中消掉二次

4、项后得到的二元一次方程是两圆的公共弦所在的直线方程( × )(5)过圆 O： x2y2 r 2 上一点 P( x0， y0) 的圆的切线方程是x0x y0y r 2.()(6)过圆 O： x2 y2r 2 外一点 P( x0，y0) 作圆的两条切线，切点分别为A， B，则 O， P，A， B 四点共圆且直线的方程是0 0 r2.( )ABx xy y1圆 ( x 1) 2( y 2) 2 6 与直线 2x y 50 的位置关系是 ()A相切B相交但直线不过圆心C相交过圆心D相离答案B2 (2013 ·安徽 ) 直线 x 2y 550 被圆 x2 y2 2x 4y 0 截得的

5、弦长为()A1B2C4D4 6答案C3两圆交于点 A(1,3) 和 B( m,1) ，两圆的圆心都在直线cxy 0 上，则 mc 的值等于 _2答案32 2 4(2014 ·重庆 ) 已知直线 xy a 0 与圆心为 C的圆 x y 2x 4y4 0 相交于 A，B 两点，且 AC BC，则实数 a 的值为 _题型一直线与圆的位置关系例 1 已知直线 l ： y kx 1，圆 C： ( x 1) 2 ( y1) 2 12.(1) 试证明：不论 k 为何实数，直线 l 和圆 C总有两个交点；(2) 求直线 l 被圆 C截得的最短弦长思维点拨直线与圆的交点个数即为直线方程与圆方程联立而成

6、的方程组解的个数；最短弦长可用代数法或几何法判定文案大全标准实用(1) 若直线 axby 1 与圆 x2 y2 1 相交，则 P( a， b)()A在圆上B在圆外C在圆内D以上都有可能(2)(2014 ·江苏 ) 在平面直角坐标系xOy中，直线 x 2y 3 0 被圆 ( x 2) 2 ( y 1) 2 4 截得的弦长为 _255答案(1)B(2)5题型二圆的切线问题例 2(1) 过点 P(2,4)引圆 ( x 1) 2 ( y 1) 2 1 的切线，则切线方程为_ ；(2) 已知圆 C：( x 1) 2 ( y 2) 2 10，求满足下列条件的圆的切线方程与直线 l 1： x y

7、40 平行；与直线 l 2： x 2y 40 垂直；过切点 A(4 ， 1) (1) 答案 x 2 或 4x 3y 4 0(2013 ·江苏 ) 如图，在平面直角坐标系xOy中，点 A(0,3) ，直线 l ：y 2x4. 设圆 C的半径为 1，圆心在 l 上(1) 若圆心 C也在直线 y x 1 上，过点 A 作圆 C的切线，求切线的方程；(2) 若圆 C上存在点 M，使 | MA| 2| MO|，求圆心 C的横坐标 a 的取值范围题型三圆与圆的位置关系例 3(1) 已知两圆 C1：x2 y2 2x10y 24 0， C2： x2 y2 2x 2y 80，则两圆公共弦所在的直线方程

8、是 _ (2) 两圆 x2 y2 6x 6y 48 0 与 x2y2 4x 8y 44 0 公切线的条数是_(3) 已知 O的方程是x2 y2 2 0， O的方程是x2 y2 8x 10 0，若由动点P 向 O和 O所引的切文案大全标准实用线长相等，则动点P 的轨迹方程是 _3答案(1) x 2y 4 0 (2)2(3) x 2(1) 圆 C1： x2 y2 2y 0， C2：x2 y2 23x 6 0 的位置关系为()A外离B外切C相交D内切(2) 设 M ( x，y)| y2a2 x2，a>0 ，N ( x，y)|(x1) 2 ( y3) 2 a2，a>0 ，且 M N ? ，

9、求 a 的最大值和最小值(1) 答案D(2)故 a 的取值范围是 22 2,22 2 ， a 的最大值为222，最小值为22 2.高考中与圆交汇问题的求解一、与圆有关的最值问题典例： (1)(2014·江西 ) 在平面直角坐标系中，A， B分别是 x 轴和 y 轴上的动点，若以AB为直径的圆 C与直线 2x y 40相切，则圆 C面积的最小值为 ()4B.3A. 545C(6 25) D. 4(2)(2014 ·北京 ) 已知圆 C： ( x 3)2 ( y 4)21和两点 A( m,0) ， B( m， 0)( m>0) ，若圆 C 上存在点 P，使得 APB 90

10、°，则 m的最大值为 ()A7 B6 C5 D4答案 (1)A(2)B二、圆与不等式的交汇问题典例： (3) 设 m，n R，若直线 ( m 1) x ( n 1) y2 0 与圆 ( x 1) 2( y 1) 2 1 相切，则 m n 的取值范围是 ()A1 3，13B( ， 13 1 3， )C2 22，222D ( ， 222 2 22， )(4)(2014 ·安徽 ) 过点 P( 3， 1) 的直线 l 与圆 x2 y21 有公共点，则直线 l 的倾斜角的取值范围是()文案大全标准实用A. 0，B. 0，63D. 0，C. 0，36答案 (3)D(4)DA 组 专项

11、基础训练(时间： 45 分钟)1 (2014 ·湖南 ) 若圆 C1： x2 y2 1 与圆 C2： x2 y2 6x 8ym 0外切，则 m等于 ()A21 B 19 C 9 D 11答案C2 (2013 ·福建 ) 已知直线 l过圆 x2 ( y3) 2 4 的圆心，且与直线x y 1 0 垂直，则 l 的方程是 ()A xy 2 0B xy 2 0C xy 3 0D xy 3 0答案D3若圆1： 2y2 2 290( R) 与圆2： 2y22 2 10 ( R) 内切，则ab的最大值为 ()C xax aaC xby bbA. 2B2C4D2 2答案B4(2013 &

12、#183;山东 ) 过点 P(3,1) 作圆 C：( x1) 2 y2 1 的两条切线， 切点分别为A，B，则直线 AB的方程为 ()A 2x y 30B 2xy 3 0C 4x y 30D 4xy 3 0答案A22相交于 A， B 两点，当b2 5已知直线 y kx b 与圆 O： x y 11k时， OA· OB等于 ()A1 B2 C3 D4答案A6若直线yx b 与曲线 y 34x x2有公共点，则b 的取值范围是 _ 答案1 22 b 37 (2014·上海 ) 已知曲线：4y2，直线l： 6，若对于点(0) ，存在C上的点P和l上的QC xxA m,使得 0，则

13、的取值范围为 _APAOm答案2,3文案大全标准实用8若圆 x2 y2 4 与圆 x2 y2 2ay 60 ( a>0) 的公共弦长为23，则 a_.答案129已知以点C( t ， t )( t R， t 0) 为圆心的圆与x 轴交于点 O， A，与 y 轴交于点 O， B，其中 O为原点(1) 求证： OAB的面积为定值；(2) 设直线 y 2x 4 与圆 C交于点 M， N，若 | OM| | ON| ，求圆 C的方程(1) S 1142| OA| ·| OB|2× | t | × |2 t | 4，OAB即 OAB的面积为定值(2) 圆 C的方程为 (

14、 x2) 2 ( y1) 2 5.10已知矩形ABCD的对角线交于点P(2,0) ，边 AB所在直线的方程为x 3y 60，点 ( 1,1) 在边 AD所在的直线上(1) 求矩形 ABCD的外接圆的方程；(2) 已知直线 l ：(1 2k) x (1 k) y 5 4k 0( kR) ，求证：直线 l 与矩形 ABCD的外接圆恒相交，并求出相交的弦长最短时的直线 l 的方程解(1) 矩形 ABCD的外接圆的方程是( x 2) 2 y2 8.文案大全标准实用(2) 故 l 的方程为 y 2 21( x3) ，即 x2y 70.B 组专项能力提升(时间： 25 分钟)11若直线l：ykx 1 (k

15、<0)与圆 ： 24 y22y 3 0 相切，则直线l与圆： (x2) 2y23 的位C xxD置关系是 ()A相交B相切C相离D不确定答案 A12设曲线 C的方程为 ( x 2) 2 ( y 1) 2 9，直线 l 的方程为 x 3y2 0，则曲线上的点到直线l 的距离7 10为的点的个数为 ( ) 10A 1B 2C 3D 4答案B13 (2013 ·江西 ) 过点 ( 2，0) 引直线l与曲线y12相交于、B两点，O为坐标原点，当的面xAAOB积取最大值时，直线l 的斜率等于 ()333A. 3B 3 C±3 D 3答案B14在平面直角坐标系xOy中，圆 C的方程为x2 y2 8x15 0，若直线 y kx 2 上至少存在一点，使得以该点为圆心，1 为半径的圆与圆C有公共点，则k 的最大值是 _答案4315 (2014 ·重庆 ) 已知直线 ax y 20 与圆心为 C 的圆 ( x 1) 2 ( y a) 2 4 相交于