数学选择性必修二第五章5.2.3简单复合函数的导数

1、5.2.3简单复合函数的导数【学习目标】L进一步运用导数公式和导数运算法则求函数的导数2了解复合函数的概念，掌 握复合函数的求导法则.知识梳理梳理教材夯实基础” '知识点复合函数的导数1 .复合函数的概念一般地，对于两个函数尸加)和=g(x),如果通过中间变量， 可以表示成X的函数，那 么称这个函数为函数和=g(x)的复合函数，记作经&).思考 函数,=1喳('+1)是由哪些函数复合而成的？答案 函数y=log2(x+l)是由J，=log2及=x+l两个函数复合而成的.2 .复合函数的求导法则一般地，对于由函数y=&/)和=g(x)复合而成的函数j，=/9(x)

2、,它的导数与函数)，=角，)， =g(x)的导数间的关系为J，' x=M x，即T对x的导致等于，对的导数与对x的导 数的乘积.思考辨析 判断正误-1 . y=cos 3x 由函数=8$ "，=3x 复合而成.(J )2 .函数危)=sin(2x)的导数为，(.x)=cos 2x.( X )3 .函数危)=e"-i的导数为/ (x)=2e，L( 4 )题型探究振究重点提升素养N一、求复合函数的导数例1求下列函数的导数:(1)?，=(1-3a)4：(2)y=cos(x2)；(3)j-=log2(2x+l)：(4)y=e3v 2.角不(1)令=1-31，则",

3、所以y' =4x= - 3.所以x=yf / *=12 5=12(1 3x 产令 u=x2,则 y=cos u9所以 V x=yf uiif x= _sin u 2x= 2xsin(x2).(3)设 y=log2，=2x+l,22则 jJ=Q=(2x+i)in2-(4)设y=e", =3x+2,则 M =©)' (3x+2)'= 3e=3e3/2反思感悟(1)求复合函数的导数的步骤(2)求复合函数的导数的注意点：分解的函数通常为基本初等函数：求导时分清是对哪个 变量求导：计算结果尽量简洁.跟踪训练1求下列函数的导数：(win 2 (xl)hi 2&#

4、39;)3,="r=：1-2x(2),v=51og2(lx)：(3)y=sm(2x+j).J解 a)y=(i-2x”,设2,=12x,口贝" x= Q '(1-2。= (l-2xp.(2)函数7=51og2(lx)可看作函数y=51og2和"=l-x的复合函数,所以 V x=yf u n' x=5(logM' (1x)'-55(3)设丁=$111，u=2x+y则 y=(sin)=cos z/-2=2cos2x+jj.二、复合函数与导数的运算法则的综合应用例2求下列函数的导数:d)y=In 3x(2»=刊1+/：(3

5、87;=xcos(2x+3)sin(2x+解(l)V(ln3x); =X(3xy =?(In 3x)' e”一(In 3x)(e")'"In 3x 1 >x1 xlii 3x (2)yf =(r/l+2' =/ 护彳+式/彳)'=g+许 (14-2x1+x2h7n-x2(3)y=xln(l+x).解（1）方法一 ？=y方法二 yf =2sin |cos| j2 Y Y=pm geos g1 . 2=pm(2)vr = (sin3x+siii x3)1= (sin3x)z +(smx3)f=3surxcos x+cos x3 -3x2=3

6、siirxcos x+ 3x2cos x3.(3)yf =x' ln(l+x)+xln(l+x)r=皿1+、）+志.三、与切线有关的综合问题例3 （1）曲线y=ln（2rT）上的点到直线2x-y+3=0的最短距离是（）A# B. 2y5 C. 3小 D. 0答案A解析设曲线y=ln（2x1）在点（xo，yo）处的切线与直线2xy+3=0正行.2x-r"KT2解得Xo=, .o=lii(2-l)=O,即切点坐标为(1,0).即曲线y=ln（2x1）上的点到直线2xy+3=0的最短距离是小.（2）设危）=ln（x+l）+mTl+ax+6（a, 6£R, a, b 为常数

7、），曲线），刁&）与直线），=|、在（0、0） 点相切.求。，b的值.解由曲线y=«v）过（0。点，可得 lnl + l+b=O,故 6= - 1.由兀。=111。+1)+1+4+6,得 / (、)=*+#”则/ (0) = l+3+a=|+a,即为曲线y=危)在点(0、0)处的切线的斜率.由题意，得|+a=,故a=0.反思感悟(1)求切线的关键要素为切点，若切点已知便直接使用，切点未知则需先设再求.两 直线平行与垂直关系与直线的斜率密切相关，进而成为解出切点横坐标的关键条件.(2)在考虑函数问题时首先要找到函数的定义域.在解出自变量的值或范围时也要验证其是否 在定义境内.跟

8、踪训练3 (1)已知函数&)=知等为常数，e=2.71828是自然对数的底数)，曲线y=危)在点(1,犬1)处的切线与x轴平行，则k的值为答案1 lnx+左 解析由兀r)=-/- .,口 “1fcx-xliix得/ ('尸G，x£(°，+8) 由于曲线丁= 危)在点(1,犬1)处的切线与x轴平行，所以/ (1)=0,因此左=1.(2)设曲线=*在点(0,1)处的切线与直线x+2y+1 = 0垂直，则a=.该切线与坐标轴围 成的面积为 .1-42案答解析 令y=)，则曲线y=产在点(0,1)处的切线的斜率为了(0), 又切线与直线x+2y+l=0垂直，所以/

9、(0)=2.因为x)=e»,所以/ (x) = (ea)r =ex(ax)f =。产，所以/ (0)=ae0=a,故。=2.由题意可知，切线方程为yl=2x,即2xy+l = 0.令x=0得y=l；令炉=0得=一随堂演练基础巩固学以致用1 .(多选)函数y=(小 1)”的复合过程正确的是()A. y=i乙 i/=x2lB. y=(1)", u=x2C. y=f t=(x2l)nD. t=x2lyy=f答案AD2 .函数=(2 0208x)3的导数y'等于()A. 3(2 020-8x)2B. -24xC. -24(2 020-8x)2D. 24(2 020-8x)2

10、答案c解析 j=3(2 020 - 8x)2 X (2 020- 8x), = 3(2 020-8x)2X(-8) = -24(2 020-8x)2.3 .函数y=x2cos 2x的导数为()A. yf = 2xcos 2x-x2sin 2xB. y ' = 2xcos 2x-2x2siii 2xC. yr =x2cos 2x2xsin 2xD. yf = 2xcos 2x+2r2sm 2x答案B解析 y' = (x2)f cos 2x+x2(cos 2x)f= 2xcos 2x+x2(shi 2x) (2%)'= 2xcos 2x2x2sin 2x.4 .已知危)=l

11、n(3x-l),则/ (1)=.答案|解析,:f (x)=3l1，(1)=3=2-5 .曲线y=ln(2x)在点(L0)处的切线方程为.答案 x+y-l=01 1解析 V y =7= T,'2x x2 y' |x-i=占=-1,即切线的斜率是左=一1,又切点坐标为(1,0).，=11(2)在点(1,0)处的切线方程为7=一(1),即 x+y1 = 0.课堂小结1 .知识清单：(1)复合函数的概念.(2)复合函数的求导法则.2 .方法归纳：转化法.3 .常见误区：求复合函数的导数时不能正确分解函数：求导时不能分清是对哪个变量求导; 计算结果复杂化.课时对点练注重双基强化落实基础巩

12、固1 .(多选)下列函数是复合函数的是()A. y=x3-1+lB. 尸cos(x+C.尸/D y=(2x+3)4答案BCD解析 A不是复合函数，B, C, D均是复合函数，其中8由)=8$，=x + 复合而成;C由y=£, =lnx复合而成;D由y=i咒=2%+3复合而成.2 .函数y=xln(2x+5)的导数为(xA ln(2x+5)-yj7TB. 35)+熹D 2x4-5C. 2xln(2x+5)答案B 解析 Vy=xlii(2x+5),_/ =ln(2x+5)+7.3 .函数的导数为(A. J，' =3x2ec<>$Ar+x3ecosXB. yr = 3x

13、2ecosxx3eCO5xsiiixC. yf =3x2ecosX-x3e$inXD. y' =3x2ec<nx+x3eC0SXsmx答案B解析 J，' =(N)' e3"+x3(ec6x)' =3A-2eC0iX+x3eC05X(cos.x)/ =3x2eCOiX-x3eCOiXsmx.4.曲线y=xexF在点(1,1)处切线的斜率等于()A. 2e B. e C. 2 D. 1答案C解析，=xex I)，'=e'/看I ；k=jJ 卜1=6。+6。=2,故选 C.5 .已知直线j，=x+l与曲线y=ln(x+。)相切，则。的值

14、为()A. 1 B. 2 C. - 1 D. 2答案B解析设切点坐标是(X0, AO+1),j j依题意有俨+no+l=ln(xo+)，由此得 Xo+l=O, X0= L 67 = 2.6 .函数y = sin 2xcos 3x的导数是.答案 yr =2cos 2xcos 3x_3sin 2xsin 3x解析 Vy= sin 2xcos 3.x,=(siti 2x) cos 3x+sin 2x(cos 3x)' =2cos 2xcos 3x3sin 2rsiii 3r7 .已知函数危)的导函数为/ (x),若向=f仁)sin3x+cos3x,则f (1)=.答案3小解析,:a=f (x

15、)sin 3a J-cos 3x,冗一 9=/ 7 二9兀一 37T-3=|r ®-3X 2 *解得， 0=3机8 .点尸是兀r)=(x+l)2上任意一点，则点尸到直线=、-1的最短距离是，此时点尸的 坐标为.答案¥ (T 9解析 与直线y=x1平行的危)=(x+l的切线的切点到直线y=x1的距离最短.设切点为(Xo，yo),则/ (xo)=2(x0+l)=l, /.x0=I，vo=1.即，一；，目到直线y=x-l的距离最短.1 1 ,一厂厂I 7虚"一叱二1)2 + F - 8 -9.求下列函数的导数：(l),y=ln(ex4-x2)：(2)y=10»

16、'3：(3)v=sm4x+cos 4x.解(1)令 =/+2,则 y=ln u.11e*' + 2xV x=y' /=7©+炉)'=7(ex+2x)=-jj.(2)令=2x+3,则y=10，：.yf x=yf u/ x=10M ln 10 (2x+3)r =2X1031nl()(3) */y=sin4x+cos4x=(sin2x+cos2%)22siii2 x cos2 x= 1 ysiir 2x= 1 (1 cos 4x) =1+1cos 4x./.>>z =sin4x.10.曲线y=e汕x在点(0,1)处的切线与直线/平行，且与/的距离

17、为皿，求直线/的方程. 解 Vy=esm=esinXcos x, y' |x-o=l.曲线y=e2在点(0,1)处的切线方程为yl=x, 即 x-y+l = 0.又直线/与xj，+1=0平行，故直线/可设为xy+加=0.由班得加=t或3直线 7 的方程为 X1'1=0 或 X>>4-3 = 0.牙综合运用11.曲线y=e?+l在点(0,2)处的切线与直线>=0和丁=围成的三角形的面积为()A.1 B.5 C., D. 1答案A解析 依题意得V =e况(-2)=-2e汽y' |x-o=2e 2 0=2.所以曲线y=e +1在点(0.2)处的切线方程是y2

18、=2x,即y=-2x+2.在坐标系中作出直线y=2x+2, y=0与y=x的图象，如图所示.因为直线产一2x+2与尸x的交点坐标是停，I),直线y=-2x+2与x轴的交点坐标是(L0), 所以结合图象可得，12 1这三条直线所围成的三角形的面积为X IX京412.(多选)已知点尸在曲线丁=干上，a为曲线在点尸处的切线的倾斜角，则a的取值可 以是()71 c兀 - 3兀 e 7兀 a4 b5 cT D. y答案CD4 解析因为J，=K，444所 以 yr ( y .*>= 2x I 9 Y_7=.(Q +1)- e+2eY +1 X+工 +) ev因为>0,所以eX+5>2(当

19、且仅当x=0时取等号)，所以j/ G-1.0), 所以 tail 1,0). 又因为a£0,兀)， 所以a£胃，兀)13.设函数五x)=cosN1x+9)(0v8V7t),若危)+/ (x)是奇函数，则夕=.竺案- 口第6解析/ (x)= -V3sm(V3x+),工危)+/ (x) = COS(/x+(p)y3sin(小x+夕).令 g(x) = cos(小x+9)一小sin(yx+G,其为奇函数，g(°)=°，即 cos 夕一让sin。=0, 色. tan 9=卞'又0<0<兀，->=i14 .己知危)为偶函数，当x<0时，/)=11(一x)+3x,则曲线y=7(x)在点(1, 一3)处的切线 方程是.答案 y=-2x-1解析 设 x>0,则一xVO,犬-x)=lnx3x,又小)为偶函数，所以危)=lnx3x,f (x)=：3, f =2, 人所以切线方程为y=-2xl.拓广探究15 .