排列组合习题-(含详细答案).

1、圆梦教育中心排列组合专项训练1.题 1 (方法对比，二星 )题面： (1)有 5 个插班生要分配给3所学校， 每校至少分到一个，有多少种不同的分配方法？(2) 有 5 个数学竞赛名额要分配给3所学校，每校至少分到一个名额，有多少种不同的名额分配方法？解析： “名额无差别 ”相同元素问题(法 1)每所学校各分一个名额后，还有2 个名额待分配，可将名额分给 2 所学校、 1 所学校，共两类： C32C31(种 )(法 2 挡板法 )相邻名额间共 4 个空隙，插入 2个挡板，共：C426 (种)注意： “挡板法 ”可用于解决待分配的元素无差别，且每个位置至少分配一个元素的问题 .(位置有差别，元素无

2、差别 )同类题一题面：有 10 个运动员名额，分给7 个班，每班至少一个,有多少种分配方案？答案： C96详解：因为 10 个名额没有差别，把它们排成一排。相邻名额之间形成 9 个空隙。在 9 个空档中选6 个位置插个隔板，可把名额分成7 份，对应地分给7 个班级，每一种插板方法对应一种分法共有C96 种分法。同类题二题面：求方程 X+Y+Z=10 的正整数解的个数。答案： 36.详解：将 10 个球排成一排，球与球之间形成9 个空隙，将两个隔板插入这些空隙中（每空至多插一块隔板），规定由隔板分成的左、中、右三部分的球数分别为x、y、 z之值 , 故解的个数为 C92=36 （个）。2.题 2

3、 (插空法，三星)题面：某展室有9 个展台，现有3 件展品需要展出，要求每件展品独自占用1 个展台，并且 3 件展品所选用的展台既不在两端又不相邻，则不同的展出方法有_种；如果进一步要求3件展品所选用的展台之间间隔不超过两个展位，则不同的展出方法有_ 种 .答案： 60 ， 48同类题一题面：6 男 4 女站成一排，任何2 名女生都不相邻有多少种排法？答案： A 66·A 47种 .详解：任何 2 名女生都不相邻，则把女生插空，所以64先排男生再让女生插到男生的空中，共有 A6·A7种不同排法同类题二题面：有 6 个座位连成一排，现有3 人就坐，则恰有两个空座位相邻的不同坐

4、法有()A36 种B 48 种C72 种D96 种答案： C.详解：恰有两个空座位相邻，相当于两个空位与第三个空位不相邻， 先排三个人， 然后插空， 从而共 A 33A 24 72 种排法，故选 C.3题 3 ( 插空法，三星 )题面： 5 个男生到一排12 个座位上就座， 两个之间至少隔一个空位1没有坐人的7 个位子先摆好，2( 法 1 插空 ) 每个男生占一个位子，插入7 个位子所成的 8 个空当中，有：A85 =6720 种排法 .(法 2)15 个男生先排好：A55 ；2 每个男生加上相邻的一个座位，共去掉 9 个位置， 当作 5 个排好的元素，共有 6 个空，剩下的3 个元素往里插空

5、，每个空可以插1个、2个、3个元素，共有： C632C62C61 种，综上：有 A55 ( C632C62C61 )=6720 种 .同类题一题面：文艺团体下基层宣传演出，准备的节目表中原有4 个歌舞节目，如果保持这些节目的相对顺序不变，拟再添两个小品节目，则不同的排列方法有多少种？答案： 30。详解：记两个小品节目分别为A 、 B。先排 A 节目。根据A 节目前后的歌舞节目数目考虑方法数，相当于把4 个球分成两堆，有种方法。这一步完成后就有5 个节目了。再考虑需加入的B 节目前后的节目数，同理知有种方法。故由分步计数原理知，方法共有（种）。同类题二题面：(2013 年开封模拟 )2 位男生和

6、3 位女生共5 位同学站成一排，若男生甲不站两端，3 位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数是()A60B48C 42D 36答案： B.详解：第一步选2 女相邻排列C23·A 22，第二步与男女排列 A2，第三步男生甲插在中间，1 种插法，第四步男 212221种不同排法男生插空 C4，故有 C3·A 2·A 2·C4 484.题 4( 隔板法变形，三星)题面： 15 个相同的球，按下列要求放入4 个写上了 1、2、 3、 4 编号的盒子，各有多少种不同的放法?(1)将 15 个球放入盒子内，使得每个盒子都不空；C143364(2)将 15 个

7、球放入盒子内，每个盒子的球数不小于盒子的编号数；(3)将 15 个球放入盒子内，每个盒子不必非空；(4)任取 5 个球，写上1-5 编号，再放入盒内，使每个盒子都至少有一个球；(5)任取 10 个球，写上1-10 编号，奇数编号的球放入奇数编号的盒子，偶数编号的球放入偶数编号的盒子解析：(2)先将 2、3、4 号盒子分别放入1、2、3 个球，剩下的9 个球用挡板法，C83 =56(3)借来 4 个球，转化为19 个球放入盒子内，每个盒子非空， C183816(4)不能用 “挡板法 ”，因为元素有差别 .(法 1)必有一个盒子有2 个球， C52 A44240 ；(法 2)先选 3 个球，分别排

8、到4 个盒子中的3 个里，剩下的盒子自然放2个球.C53 A43240；(法 3) A54C41480 ，会重！需要除2！重复原因： 1 号盒子放1、5 号球，先放1后放 5与先放5、后放 1 是一样的！(5)( 法 1) 每个球都有 2种选择，共有210种方法；(法 2)奇数号的球有1、3、5、7、 9，共 5 个，可以在 1、3 号两个盒子中选一个放入，共有： C55C54C53C52C51C5025 种放法，同理放偶数号的球也有25种方法，综上共有 210种方法 .同类题一题面：某车队有7 辆车，现要调出4 辆按一定顺序出去执行任务要求甲、乙两车必须参加，且甲车要先于乙车开出有 _种不同

9、的调度方法(填数字 )答案： 120.详解：先从除甲、乙外的 5 辆车任选2 辆有 C25 种选法，连同甲、乙共 4 辆车，排列在一起，先从4 个位置中选两个位置安排甲、乙，甲在乙前共有C2种，最后，安排其他两辆42222车共有 A 2种方法，故不同的调度方法为C5·C4·A2 120种同类题二题面：我国第一艘航母 “辽宁舰 ”在某次舰载机起降飞行训练中 , 有 5 架舰载机准备着舰 ,如果甲、乙两机必须相邻着舰,而丙、丁两机不能相邻着舰,那么不同的着舰方法有（）A 12B 18C 24答案： C.详解：分三步 :把甲、乙捆绑为一个元素A ,有 A22 种方法 ; A 与戊

10、机形成三个“空”,把丙、丁两机插入空中有 A32 种方法 ;考虑 A 与戊机的排法有 A22 种方法 .由乘法原理可知共有 A22 A32 A22 24 种不同的着舰方法 .故应选 C5. 题 5(相同与不同，三星 )题面：某同学有同样的画册2 本，同样的集邮册3 本，从中取出4 本赠送给4 位朋友每位朋友1 本，则不同的赠送方法共有 ()A 4 种B10 种C18 种D20 种同类题一题面：(2013 ·京高考北 )将序号分别为1,2,3,4,5 的 5 张参观券全部分给4 人，每人至少1 张，如果分给同一人的2张参观券连号，那么不同的分法种数是_答案： 96.详解：按照要求要把序

11、号分别为1,2,3,4,5 的 5张参观券分成 4 组，然后再分配给 4 人，连号的情况是1和 2,2和3,3 和 4,4 和 5，故其方法数是4A 44 96.同类题二题面：3 位男生和 3 位女生共 6 位同学站成一排，若男生甲不站两端， 3 位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数是（）A. 360B. 288C. 216D. 96答案： 288种 .详解：分析排列组合的问题第一要遵循特殊元素优先考虑的原则， 先考虑女生的问题， 先从 3 个女生中选两位，有 C32 种方法，然后再考虑顺序，即先选后排，有A22 种方法；这样选出两名女生后，再考虑男生的问题，先把三个男生任意排列，有

12、A32 中不同的排法，D 48然后把两个女生看成一个整体，和另一个女生看成两个元素插入 4 个位置中。有 A42 种不同的排法，共有 A22 C32 A33 A42 种不同的排法。然后再考虑把男生甲站两端的情况排除掉。甲可能站左端，也可能是右端，有 C12 种不同的方法，然后其他两个男生排列有 A22 种排法，最后把女生在剩余的三个位置中排列，有 A32 种不同的排法。共A22C32C21A22 A32 种不同的排法， 故总的排法为A22C32A33A42 A22 C32 C21 A22 A32 =288 种不同的方法。.题 6(组合数的性质，二星)题面： 5 个男生 3 个女生，分别满足下列

13、条件，各有多少种方法？(1)选出 3 人参加 A 活动；(2)选出 5 人参加 B 活动；(3)选出 4 人参加一项活动，女生甲必须参加；(4)选出 4 人参加一项活动，女生甲不能参加.答案：同类题一题面：从 5 名男医生、 4 名女医生中选 3 名医生组成一个医疗小分队，要求其中男、女医生都有，则不同的组队方案共有（）A. 70种B.80 种C. 100 种D. 140种答案： A.详解：分为 2 男 1 女，和 1 男 2 女两大类，共有C52 C41C51C42 =70 种同类题二题面：男运动员6 名，女运动员4 名，其中男女队长各1 人 .选派 5 人外出比赛 .在下列情形中各有多少种

14、选派方法？（ 1）男运动员 3 名，女运动员 2 名；（ 2）至少有 1 名女运动员；（ 3）队长中至少有 1 人参加；（ 4）既要有队长，又要有女运动员.答案：（ 1）120 种（ 2） 246 种.详解：（ 1）第一步：选 3 名男运动员，有 C 36 种选法 .第二步：选 2 名女运动员，有 C 24 种选法 .共有 C 36 ·C 24 =120 种选法 .（ 2） 至少 1 名女运动员包括以下几种情况：1女 4男，2女3男，3女2男，4女1男.由分类加法计数原理可得总选法数为C14 C 46 +C 24 C 36 +C 34 C 62 +C 44 C16=246 种.题 7

15、 (选和排，二星)题面：从 4 名男生和3 名女生中选出3 人，分别从事三项不同的工作，若这3 人中有且只有1 名女生，则选派方案共有多少种？法一：先选后排，C31C42 A33法二：边选边排，(C13 A31 )A42同类题一题面：将 4 名教师分配到3 所中学任教，每所中学至少1名教师，则不同的分配方案共有()A12 种B24 种C36 种D48 种答案： C.详解：先分组再排列：将4 名教师分成3 组有 C24种分法，再将这三组分配到三所学校有A 33种分法，由分步乘法计数原理，知一共有C24 ·A 3336 种不同分配方案同类题二题面：甲、乙、丙3 人站到共有7 级的台阶上，

16、若每级台阶最多站2 人，同一级台阶上的人不区分站的位置，则不同的站法种数是()A 258B 306C 336D 296答案： C.详解：根据题意，每级台阶最多站2 人，所以，分两类：第一类， 有 2 人站在同一级台阶， 共有 C23A 27种不同的站法；第二类，一级台阶站 1 人，共有 A 37种不同的站法 根据分类加法计数原理，得共有 C23 A27 A 37 336(种 )不同的站法3题一 ( 合理分类，二星)题面：若从1，2， 3， ， 9 这 9 个整数中同时取4 个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有()A 60 种B63 种C65 种D66 种同类题一题面：只用 1,2,3 三个

17、数字组成一个四位数，规定这三个数必须同时使用，且同一数字不能相邻出现，这样的四位数有 ()A6 个B9个C18 个D36 个答案： C.详解：注意题中条件的要求，一是三个数字必须全部使用，二是相同的数字不能相邻，选四个数字共有 C13 3(种 )选法，即 1231,1232,1233 ，而每种选择有 A22×C23 6(种 )排法，所以共有 3×6 18(种 )情况，即这样的四位数有 18 个同类题二题面：由 1、 2、 3、 4、 5、6 组成没有重复数字且1、 3 都不与5 相邻的六位偶数的个数是 ()A 72B 96C 108D 144答案： C.详解：分两类：若21

18、221 与 3 相邻，有 A 2·C3A 2A 3 72(个 )，若 1与 3 不相邻有 A33 ·A 33 36(个 )故共有 72 36 108 个题 8题面： 5 个男生 3 个女生，分别满足下列条件，各有多少种方法？(1) 选出 4 人参加一项活动，女生甲必须参加；(2) 选 3 人参加数学竞赛，至少有一名男生.(法 1)分类： 1 名、 2 名、 3名男生：C51C32C52 C31C5355 ；(法 2)间接法 C83C33C831 55.(法 3)1先取 1 名男生； 2 再在剩下的7人中取 3人；C51C725 76105 ？2同类题一题面：将甲、乙、丙、丁

19、四名学生分到三个不同的班，每个班至少分到一名学生，且甲、乙两名学生不能分到同一个班，则不同分法的种数为A.18B.24C.30D .36答案： C.详解：用间接法解答：四名学生中有两名学生分在一个班的种数是 C42 ，顺序有 A33 种，而甲乙被分在同一个班的有A33种，所以种数是C42 A33A3330同类题二题面：甲、乙两人从 4 门课程中各选修 2 门，则甲、乙所选的课程中至少有 1 门不相同的选法共有（）A.6B.12C.30D.36答案： C.详解：可以先让甲、乙任意选择两门，有C42 C42 种选择方法，然后再把两个人全不相同的情况去掉，两个人全不相同，可以让甲选两门有 C42 种

20、选法，然后乙从剩余的两门选，有 C22 种不同的选法， 全不相同的选法是 C42 C22 种方法，所以至少有一门不相同的选法为C42 C 42 C42 C22 =30 种不同的选法。题 9 (组合数性质，三星)某班分成五个小组，分别有5,6,7,8,9 名同学，现从该班挑选2 名同学参加比赛，且这两名同学必须来自同一小组，共有多少种不同的方案？同类题一题面：将甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同的班，每个班至少分到一名学生，且甲、乙两名学生不能分到同一个班，则不同分法的总数为（）A. 18B. 24C. 30D. 30答案： C.详解：将甲、乙、丙、丁四名学生分成三组，则共有C42 种不同的分法

21、，然后三组进行全排列共A33 种不同的方法；然后再把甲、乙分到一个班的情况排除掉，共A33 种不同的排法。所以总的排法为 C42 A33A33 =30 种不同的排法。同类题二题面：将 5 名实习教师分配到高一年级的3 个班实习，每班至少 1名，最多 2 名，则不同的分配方案有（A） 30 种（B） 90 种（C） 180 种（D） 270 种答案： B.详解：将 5名实习教师分配到高一年级的3 个班实习，每班至少 1名，最多 2 名，则将 5 名教师分成三组， 一组 1 人，另两组都是 2 人，有 C51C4215种方法，再将 3 组分A22到 3个班，共有15 A3390种不同的分配方案，选 B.题 10(组合的识别，四星)题面： (1) “渐升数 ”是指每个数字比它左边的数字大的正整数 (如 1458),则四位 “渐升数 ”共有多少个？(2)5 个男生 3 个女生排成一排，自左至右，男、女生分别都从高到矮排 (任意两人身高不同 )，有多少种不同排法？(法 1)8 个位置中选5 个排男生，剩下3 个位置排女生，C85C83 ，注意：男生位置选定以后，女生顺序一定，只对应一种排法 .(法 2 除序 )A88C85 .A55 A33(3)3,3,3,4,4,5,5,5,5 能组多少个不同的九位数？多重排列除序C93C62C4