圆锥曲线知识点(详实而完备)总结版

1、直线圆圆锥曲线，基础知识椭圆双曲线抛物线定义与两个定点的距离的与两个定点的距离的与一个定点和一条定和等于常数差的绝对值等于常数直线的距离相等标准方程X2 y2a b2 2 （或詁+4 J,2 2x y _1 孑卞-12 2（或占-右=1）y2 =2 px2（或 X =2p y）X =acos0（X=a sece厂2x=2 pt参数方程y =bsi n 6y= bta n8J=2 ptfx =bsi n0（或 iy =acosJ（x= b ta n0 （或 iy =asefx = 2pt（或 «2 ）2 pt隹占八'、八、（±c,0）或（0, ±c）（

2、77;c,0）或（0, ±c）（上,0）或（0,上）2 2正数a,b,c.c2 =a2 -b2c22丄门=a +bP的关系（a Ab >0）（a :>0, b :>0 ）离心率e<1ae= >1 ae =1准线2 2 aaX = ±（或 y = ±）cc2 2 aaX = ±（或 y = ±）ccX =-吕（或 y = - ）2 2渐近线bby = ± X （或 X = ± y ）aa|P F1I =a +ex）PF1=ex0 a|PF 1 =X0 埠|p F2 =a -ex0PF21 = -e

3、x0 +a（或 |PF "0+卫）2焦半径（或 |p F1I =a+ey0（|PF1I = ey0 -a,|p F2卜a-ey。）PF2I 二yy。+a）,（点P在左或卜支）统一定义到定点的距离与到定,（注:焦点要与对应的距离之比等于定值的点的集合准线配对使用）二，跟踪训练AO丄BO （如图4y ”1-1, （05广东）在平面直角坐标系 xOy中，抛物线 y=x2上异于坐标原点 0的两不同动点 A、B满足 所示）.（1）求 AOB的重心G （即三角形三条中线的交点）的轨迹方程；（n）A AOB的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由.2, （ 05广东）在平面

4、直角坐标系中，已知矩形 ABCD的长为2,宽为1, AB、AD边分别在x 轴、y轴的正半轴上，A点与坐标原点重合（如图 5所示）.将矩形折叠，使 A点落在线段DC 上.（I）若折痕所在直线的斜率为 k,试写出折痕所在直线的方程；（n）求折痕的长的最大值2=1 ( a aO )与直线I : x + y =1相交于两个不同3, (O4全国I)双曲线C：冷-y2a的点A , B. (I)求双曲线 C的离心率e的取值范围；(II)设直线I与y轴的交点为 P,且5 PA =PB，求a的值。124, (05重庆)2X2已知椭圆 G的方程为+ y =1,双曲线C2的左，右焦点分别为4Ci的左，右顶点，而C2

5、的左，右顶点分别是C1的左,右焦点。(I)求双曲线C2的方程;(II)若直线I : y =kx +罷与椭圆G及双曲线C2都恒有两个不同的交点，且I与C2的两个交点A和B满足OA OB <6 (其中0为原点)，求k的取值范围。2 2-y2=1X y25, ( 04广东)设直线I与椭圆 一+二=1相交于A, B两点，I又与双曲线X2516相交于C，D两点，C，D三等分线段AB。求直线I的方程。 三，简明提示1,2 2(I)设 G(x,y), A(X1, y1),B(X2,y2)，则消去为，2,%,丫2得 y=2x +-； 31II ) S饥B = OA OB =22J(x12 +y 12)(

6、x22 + y22) =2Jx14 +X24 +2 冷J2(x,x2)2 +2 =1 ,当 X|4 = %4 ，即=-X2 = -1时，等号成立。解：设点A落在DC上的点1(I ) AE的方程为：y = -一 xk2,E处，则折痕所在的直线是线段 AE的垂直平分线E点的纵坐标恒为1，代入得E点横坐标为k ,由：0 < k < 2，得2 < k < 0折痕的方程为：y-yA+yE2宁”心+宁(其中一2 <k <02(II)若折痕所在直线与y轴的交点的纵坐标大于1,则折痕与线段CD有交点 若折痕所在直线与直线 X = 2的交点的纵坐标小于0，则折痕与线段 AB有

7、交点对于折痕上的点(x ,y )当 x=0 时，令 0<y<1，得：0<k2<1，又一2<k<0，所以1 <k <0 即:当-1 <k <0时，折痕与线段 AD有交点当 x=2 时，令 0<y<1，得 3<(k+2)2 <5，又一2<k<0，所以一2 + J3<k<0 当2兰k兰1时，折痕与线段 DC有父点 即：当-2+J3<k<0时，折痕与BC的边有交点当-2<k<-2+J3时，折痕与线段 AB有交点 综合、。记折痕的长度为f (k )(1)当2+ J3<

8、k<0时，折痕的两个端点分别在AD、BC上f(k)=X2 -捲卜J1+ k2 =2J1 + k2当 k = 2 + 巧时，f (k )有最大值 4J2-73 = 2(J6 J2)AB、 ad 上（2） 当-1<k <2+J3时，折痕的两个端点分别在f (k )=卜2 -Yi X J1 +孑=21+k2 jh + k2 -用2j（1；k）设t = k2，gQ J1；），则 g（t）=t2 + 3t十彳+（-2+J5）<t <（1）2）对 g（t）求导数,2则：禺们丿乜-卜心皿一1）t2解 g'(t )3 0 ,得 t = 1 (舍去)或 t>-,而(2

9、 町3（< 因此：g（t）的最大值gmatt) = max *- + 旷)3 辰 打从而得到:fmax ( k )= max f ( 2 + 73), f(_1（3） 当_2 <k < _1时，折痕的两个端点分别在 AB、CD上fy2 - y1当k =-1时，f （k淳最大值 罷综合（1 ）、（2）、（3），得，当k = 2 + J3时，f （k）有最大值2（J6-J5）。r 2区 2 =3，(I)由a2，得(1 a2)x2 +2a2x2a2 =0 ，有 0 <a < 且 a h1，Ix+y =1JE = J*十1，得 e的取 -值范围为（w ,运）U （迈,S

10、；2(II)设 A(Xi,yi)B(X2,y2), P(0,1),5 5PA = 12 pb，得(" W22 -1)，2a21-a2512 X2-2a2 一1 -a2 '17消去x2，得a =。134, （I）设所求的方程为2 X2 a= 3,b22=c2-a2=1，有牛-y2 = 1 ；3r 2+ y =1(II)由 4Ly x +72有两个不同解得k24,r 2区.由4 3 '有两个不同解得Ly =lx +72-y2 =12且k <1，由OACB <6得3k2 <6，即 k2一或 k2 vl 由，得 k 的取值范围是（一1,-J）U （-一，-丄

11、）U（，一）U（ p3,1）。 3k -1153V15322 31155,解：首先讨论I不与X轴垂直时的情况，设直线 I的方程为y=kx+b，如图所示，I与椭圆、双曲线的交点为:y= kx + b2 2A(X1, y1), B(X2 ,y2),C(X3, y3), D(X4 ,y4)依题意有 AC =DB,AB =3CD，由 x2 y2得I + 丄=1.25 162 2 2(16+25k )x -2bkx + (25b -400) =0.(1).为+x2_ 50bk_ 216 + 25k由丿y/kX/b 得(1k2)x2 2bkx(b2 +1)=0.(2) lx -y =1若k = ±

12、;1，则与双曲线最多只有一个交点，不合题意，故k H ±1X3+X4 二単1 -k2AC = DB = X3 X1 =X2 X4= X1 + X2 =X3 +X450bk 2bk , ,心 c二一2=2 二 bk =0二 k = 0或b =016 + 25k21 -k2(i)当 k =0时,由(1)得 X1,2 = ±5M6-b2,由得 X3,4 =±Jb2 +14由AB =3CD= xx3(x -x3), 即10 j16-b2 =6jb2 +1 =4故I的方程为y = 土1613b-16201(ii)当 b=0 时，由(1)得 X1 2，由(2)得 X3 4 =± .j16 + 25k2j1-k2616由AB =3CD= X2 -为=3(& X3)即= k = ± Jl6 + 25k2 Jl-k22540故1的方程为八±25x再讨论1与X轴垂直的情况.设直线1的方程为X=c，分别代入椭圆和双曲线方程可解得,y1,2