圆锥曲线专题——直径问题解析版

1、圆锥曲线总结一一直径问题解析版J221.已知离心率为罟的椭圆拿+器=1(a>b>0)的一个焦点为F，过F且与x轴垂 直的直线与椭圆交于A, B两点，AB|= 竽.求此椭圆的方程;(2)已知直线y= kx+ 2与椭圆交于C, D两点，若以线段CD为直径的圆过 点E(- 1,0)，求k的值.解：(1)设焦距为2c,&字晋,a2二b2+ c2,，由题意可知号=¥，1, a=V3,椭圆的方程为3+yJ 1-将尸kx+ 2代入椭圆方程，得(1 + 3k2)x2 + 12kx + 9 = 0,又直线与椭圆有两个交点，所以= (12k)2-36(1 + 3k2)>0, 解

2、得k2> 1.设 C(xi, yi), D(X2, y2).卍12k9则x1+3 -7+泵，心齐黍，若以cd为直径的圆过E点,则 PB -ED = 0,即(xi + 1)(x2 + 1) + yiy2= 0,而 yiy2 = (kxi + 2)(kx2 + 2)= k2xiX2 + 2k(xi + X2)+ 4,则(x1 + 1)(x2 + 1) + y1y2=(k2 + 1)x1X2 + (2 k + 1)(x1 + X2) + 59 k2+112k 2k+1"e 7、卄2二 1 + 3k2-1 + 3k2+ 5二°，解得 k二7,满足">1-x2y

3、12.椭圆C：a2+詁=1(a>b>0)的离心率为2其左焦点到点P(2,1)的距离为屮0.(1)求椭圆C的标准方程.(2)若直线I: y= kx+ m与椭圆C相交于A, B两点(A, B不是左、右顶点),且以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点.求证：直线I过定点，并求出该定点的 坐标.解：(1)因为左焦点(c,0)到点P(2,1)的距离为屮0, 所以P 2+ C 2+ 1 =同，解得c= 1.c 1又e= c =1解得a= 2,a 2所以 b2= a2 c23. 所以所求椭圆C的方程为x4+彳=1.(2)证明：设 A(xi, yi), B(x2, y2).y= kx+ m, 由乡+拿1

4、,消去 y,得(3 + 4灼/ + 8mkx + 4(m2 3) = 0, = 64m2k2 16(3 + 4k2)(m2 3)> 0,化简，得 3 + 4k2 m2>0.古8mk4 m2 3所以 X1 + x2=3+k2, x1x23 + 4k2.yiy2 = (kxi + m)(kx2 + m)22 3m2 4 k2=K X1X2 + mk(X1 +X2)+ m =3+2""因为以AB为直径的圆过椭圆右顶点 D(2,0),则 kAD kBD= 1 ,所以 X2y=-1,所以 y1y2 + X1X2 2(X1 + X2)+ 4= 0,十冲 3 m2 4k2 4

5、 m2 316mk 小所以 3+ 4k2 + 3 + 4k2 + 3 + 4k2+ 4 = 0.化为 7m2 + 16mk + 4k2= 0,2k解得 m1 = 2k, m2=-，满足 3 + 4k2 m2>0.当m= 2k时，I: y= k(x2),直线过定点(2,0)与已知矛盾；2k22当m=时，I: y= k x 7，直线过定点7，0 -2综上可知，直线I过定点7, 0 .3. 已知椭圆C:拿+ b2= 1(a>b>0)的离心率为晋，且椭圆C上的点到一个焦点 的距离的最小值为V3-承.(1) 求椭圆C的方程；(2) 已知过点T(0,2)的直线I与椭圆C交于A, B两点，

6、若在x轴上存在一点E,使以AB为直径的圆过E点，求直线I的斜率k的取值范围.解：(1)设椭圆的半焦距长为c,c =亜则由题设有a" 3，a c=,解得a=书，c=72,vb2= 1,故椭圆C的方程为彳+ x2= 1.(2)由已知可得，直线I的方程为 尸kx+2,以AB为直径的圆与x轴有公共占八、设 A(x1, y”, B(x2, y2), AB 中点为 M(xo, yo),将直线I: y= kx+ 2代入£ + x2= 1,得(3+ k2)x2 + 4kx + 1 = 0,则= 12k2 12>0,4k1x1 + x2=3+?，x1x2=亍.X1 + x2 2k6x0

7、=丁=3+?，y0=kx0+2=3+?，|AB|=y 1 + k2 X1 + X22 4x1X23+ k23+ k2& 12k2- 12> 0,6 1 哪Bl，解得k4> 13即 k勾13或 k<- 4T3.4. 已知VABC中，点A, B的坐标分别为(一羽,0), (2 0),点C在X轴上方.(1)若点C坐标为(、匹，1),求以A, B为焦点且经过点C的椭圆的方程；3过点P(m,0)作倾斜角为4冗的直线I交(1)中曲线于M , N两点，若点Q(1,0)恰在以线段MN为直径的圆上，求实数 m的值.2 2解(1)设椭圆方程为拿+器=1, c=(2,2a= AC| + |

8、BC|= 4, b=/2,22椭圆方程为X4 +2=1.(2)直线l的方程为y= (x- m),令 M(X1, y”, N(X2, y2),x2 + J 1 由方程组42，y= x m得 3x2 4mx + 2m24 = 0,4mX1 + x2 = , 即22m2 4X1X2=3若Q恰在以MN为直径的圆上,则 x*=-1,则 m2+ 1 -(m+ 1)(x1 + X2)+ 2x1X2= 0,3m2 4m 5= 0，解得 m= 2 319将 m 值代入 = 8m2 + 48>0. m= 2±3195. 椭圆M :笃令1 (a b 0)的离心率为斗2，且椭圆上一点与椭圆的两个 焦点

9、构成的三角形周长为6 42 .(I)求椭圆M的方程；(n)设直线I与椭圆M交于a,b两点，且以ab为直径的圆过椭圆的右顶点C，求证直线I过定点。解：()因为椭圆M上一点和它的两个焦点构成的三角形周长为 6 4貶,所以 2a 2c 6 4/2，又椭圆的离心率为琴，即 c2J2所以C242 Ta，02所以b 1，椭圆M的方程为9(2):不妨设直线AB的方程xkym.x ky m,由x22XT y消去x得(k21,229)y 2kmy m设 A(Xi,yi)，B(X2, y2)，2 km口，y1y2m29k29因为以ab为直径的圆过点C ,所以ULULun由 CA (x1 3,y1),CB得(X13

10、)(x2 3) ym将 x1 ky1 m, x2 ky2(X23,y2)，0.m代入上式,得(k2 1)丫2 k(m 3)( y1 y?) (m12 或m5将代入上式，解得muur uuuCA CB3)20 .3 (舍).1212所以m 上（此时直线AB经过定点D（r,O），与椭圆有两个交点），552 2.6.已知椭圆笃 爲 1（a b O）经过点（O,J3），离心率为1，左右焦点分别为a2 b22Fi( c,0),F2(c,0).1若直线l:ym与椭圆交于A,B两点，与以FiF2为直径的圆交于c,D两点，且满足IcDjrJ3，求直线I的方程.4解：（1）由题意可得a2y23解得a 2,b 爲

11、c2椭圆的方程为4由题意可得以F1F2为直径的圆的方程为X2 y21圆心到直线I的距离为d 由d 1，即斗四1，可得|m| v52|CD | 2J1 d22J14m设 A(xi, yj, B(X2,y2)y联立 2X41X22y3整理得X2mxm2可得：X1X22X1X2m|AB| / ( 1)27m24(m23)m2q|AB| 5 巧|CD|(4 m2J5 4m2解方程得m，且满足|m|逅2直线I的方程为y7.如图Fi, F2为椭圆C:2 X2 ab 0）的左、右焦点，D, E是椭圆的两个顶点，椭圆的离心率e牙，dEF2的面积为1 丁若点M（x0,y0）在椭圆C 上,则点N（p¥）

12、称为点M的一个 椭圆”直线l与椭圆交于A，B两点，A，B两(1)求椭圆C的标准方程;(2)问是否存在过左焦点Fi的直线I ,使得以PQ为直径的圆经过坐标原点？若存在，求出该直线的方程；若不存在，请说明理由解：由题意，e茸，即-a43TDEF21字，即扣c)b 1F 222/冃又 a b c 得: a2,b椭圆C的标准方程:y21.(2)当直线I的斜率不存在时，直线I的方程为xJ3x联立x24V3x2 ，解得 y 1yx431， y 2不妨令A/3,)，B( J3,)2 2，所以对应的“椭点”坐标P(衆)，Q(2 273 1T, 2)-" 1而OP OQ 丄 02所以此时以PQ为直径的圆不过坐标原点.y k(x2x 2T y当直线I的斜率存在时，设直线I的方程为y k(x V3)消去 y 得，(4k2 1)