确定带电粒子在磁场中运动轨迹地方法

1、实用标准文案确定带电粒子运动轨迹的方法。一、对称法带电粒子如果从匀强磁场的直线边界射入又从该边界射出，则其轨迹关于入射点和出射点线段的中垂线对称，且入射速度方向与出射速度方向与边界的夹角相等（如图1）;带电粒子如果沿半径方向射入具有圆形边界的匀强磁场，则其射出磁场时速度延长线必过圆心（如图2）。利用这两个结论可以轻松画出带电粒子的运动轨迹，找出相应的几何关系。例1.如图3所示，直线MN上方有磁感应强度为B的匀强磁场。正、负电子同时从同一 点0以与MN成30 °角的同样速度v射入磁场（电子质量为 m，电荷为e），它们从磁场 中射出时相距多远？射出的时间差是多少？解析：正、负电子的半径和

2、周期是相同的。只是偏转方向相反。先确定圆心，画出半径和轨迹（如图4），由对称性知：射入、射出点和圆心恰好组成正三角形。所以两个射出点相2枷,2T 4沏加距s=2r=，由图还看出经历时间相差-，所以解此题的关键是找圆心、 精彩文档找半径和用对称。例2如图5所示，在半径为r的圆形区域内，有一个匀强磁场。一带电粒子以速度V。从M点沿半径方向射入磁场区，并由N点射出，0点为圆心。当/ MON = 120。时，求：带电粒子在磁场区的偏转半径R及在磁场区中的运动时间0'即为带电粒子作圆周运动时圆弧轨道的圆心，如图6所示。由图中的几何关系可知，圆弧 MN所对的轨道圆心q*故带电粒子运动周期:60、二

3、血角为60 °, 0、0'的边线为该圆心角的角平分线，由此可得带电粒子圆轨道半径为R=r/tan30 ° ='，带电粒子的轨道半径可表示为：存 2耐 2屈乳I =r酹 弘，带电粒子在磁场区域中运动的时间、旋转圆法在磁场中向垂直于磁场的各个方向发射速度大小相同的带电粒子时，带电粒子的运动轨迹是围绕发射点旋转的半径相同的动态圆（如图7），用这一规律可快速确定粒子的运动轨迹。例3如图8所示，S为电子源，它在纸面 360 °度范围内发射速度大小为3，质量为m， 电量为q的电子（q<0），MN是一块足够大的竖直挡板，与 S的水平距离为L，挡板左侧 精彩

4、文档充满垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为mv/qL，求挡板被电子击中的范围为多大？解析：由于粒子从同一点向各个方向发射，粒子的轨迹为绕S点旋转的动态圆，且动态圆的每一个圆都是逆时针旋转，这样可以作出打到最高点与最低点的轨迹，如图9所示，最高点为动态圆与MN的相切时的交点P，最低点为动态圆与MN相割，且SQ为直径时Q为最低点，带电粒子在磁场中作圆周运动，由洛仑兹力提供向心力，由门 得：R 二空二 L肚 ，Q为直径，贝U: SQ=2L，SO=L，由几何关系得：0Q暑卿曹二®P为切点，所以0P= L，所以粒子能击中的范围为+ 1 '-''oa例4. （201

5、0全国新课程卷）如图10所示，在0« A 0 wyw -范围内有垂直于xy平面向 外的匀强磁场，磁感应强度大小为Bo坐标原点O处有一个粒子源，在某时刻发射大量质 量为m、电荷量为q的带正电粒子，它们的速度大小相同，速度方向均在 xy平面内，与ya轴正方向的夹角分布在090 °范围内。己知粒子在磁场中做圆周运动的半径介于-到a 之间，从发射粒子到粒子全部离开磁场经历的时间恰好为粒子在磁场中做圆周运动周期的精彩文档四分之一。求最后离开磁场的粒子从粒子源射出时的:(1)速度大小；(2)速度方向与y轴正方向夹角正弦。解析：设粒子的发射速度为v,粒子做圆周运动的半径为R,由牛顿第二定

6、律和洛仑兹力vqvB 公式得:R，解得:a从0点以半径R (- vRva)作“动态圆”，如图11所示，由图不难看出，在磁场中运动时间最长的粒子，其轨迹是圆心为C的圆弧，圆弧与磁场的边界相切。设该粒子在磁场T71I _中的运动时间为t,依题意 ：，所以/ OCA =【。设最后离开磁场的粒子的发射方向与 y轴正方向的夹角为a由几何关系得:a = R-_ .no ,.再加上- I < “ 1、缩放圆法带电粒子以大小不同，方向相同的速度垂直射入匀强磁场中，作圆周运动的半径随着速度的变化而变化，因此其轨迹为半径缩放的动态圆（如图12），利用缩放的动态圆，可以探索出临界点的轨迹，使问题得到解决。9图

7、-】2例5.如图13所示，匀强磁场中磁感应强度为 B，宽度为d，一电子从左边界垂直匀强磁场 射入，入射方向与边界的夹角为 9,已知电子的质量为 m,电量为e,要使电子能从轨道 的另一侧射出，求电子速度大小的范围。K-13用一14r+rcos0=d解析：如图14所示，当入射速度很小时电子会在磁场中转动一段圆弧后又从同一侧射出， 速率越大，轨道半径越大，当轨道与边界相切时，电子恰好不能从另一侧射出，当速率大 于这个临界值时便从右边界射出，设此时的速率为 V。，带电粒子在磁场中作圆周运动，由 几何关系得：电子在磁场中运动时洛伦兹力提供向心力：，所以：Bed® =联立解得，所以电子从另一侧射

8、出的条件是速度大于m:例6. （2010全国II卷）如图15所示，左边有一对平行金属板，两板的距离为d,电压为U , 两板间有匀强磁场，磁感应强度为Bo，方面平行于板面并垂直纸面朝里。 图中右边有一边 长为a的正三角形区域EFG（EF边与金属板垂直），在此区域内及其边界上也有匀强磁场， 磁感应强度大小为B,方向垂直纸面向里。假设一系列电荷量为 q的正离子沿平行于金属 板面、垂直于磁场的方向射入金属板之间，沿同一方向射出金属板间的区域，并经EF边中点H射入磁场区域。不计重力。1）已知这些离子中的离子甲到达边界 EG后，从边界EF穿出磁场，求离子甲的质量；2） 已知这些离子中的离子乙从 EG边上的

9、I点（图中未画出）穿出磁场，且GI长为3a/4， 求离子乙的质量；3）若这些离子中的最轻离子的质量等于离子甲质量的一半，而离子乙的质量是最大的，问磁场边界上什么区域内可能有离子到达？解析：由题意知，所有离子在平行金属板之间做匀速直线运动，则有：qvBo=qU/d，解得离子的速度为：v=U/B od （为一定数值）虽然离子速度大小不变，但质量 m改变，结合带电离子在磁场中做匀速圆周运动的半径公式R=mv/qB分析，可画出不同质量的带电离子在磁场中的运动轨迹，如图16中的动态1）由题意知，离子甲的运动轨迹是图17中的半圆，半圆与EG边相切于A点，与EF边垂直相交于B点，由几何关系可得半径：R甲=a

10、cos30 tan 15=（ J）a,石 3严班Q从而求得离子甲的质量 m甲= 2）离子乙的运动轨迹如图18所示，在AEIO2中，由余弦定理得:，解得r乙=a4，从而求得乙离子的质量adqBBm乙=-（+（尹2能-切血60。图"7圈“18（3）由半径公式R=mv/qB可知R*m,结合（1） （2）问分析可得： 若离子的质量满足 m甲/2 <m< m甲，则所有离子都垂直EH边离开磁场，离开磁场的位置到H的距离介于R甲到2R甲之间，即 若离子的质量满足 m甲<m< m乙，则所有离子都从EG边离开磁场，离开磁场的位置介= （1 _ 于A到I之间，其中AE的距离AE=

11、 -，IE距离IE= -。精彩文档四、临界法 以题目中的“恰好”“最大” “最高”“至少”等词语为突破口，借助半径 r和速度v以 及磁场B之间的约束关系进行动态轨迹分析， 确定轨迹圆和边界的关系，找出临界点，然 后利用数学方法求解极值，画出临界点的轨迹是解题的关键。例7.长为L的水平极板间，有垂直纸面向内的匀强磁场，如图 19所示，磁感应强度为B， 板间距离也为L，两极板不带电，现有质量为 m电量为q的带负电粒子（不计重力）从左 边极板间中点处垂直磁感线以水平速度 v射入磁场，欲使粒子打到极板上，求初速度的范 围。解：由左手定则判定受力向下，所以向下偏转，恰好打到下板右边界和左边界为两个临 界

12、状态，分别作出两个状态的轨迹图，如图 20、图21所示，打到右边界时，在直角三角形OAB中，由几何关系得一解得轨道半径J电子在磁场中运动时洛伦兹力提供向心力:因此.打在左侧边界时，如图21所示，由几何关系得轨迹半径qv2B = ?n电子在磁场中运动时洛伦兹力提供向心力，qBL 5qBL所以打在板上时速度的范围为I： <v< 1-<例8.如图22, 一足够长的矩形区域abed内充满磁感应强度为B，方向垂直纸面向里的匀强磁场，现从矩形区域ad边中点0射出与Od边夹角为30 °，大小为的带电粒子，已知粒子质量为m,电量为q, ad边长为L，ab边足够长，粒子重力忽略不计。求：1）试求粒子能从ab边上射出磁场的V。的大小范围；2）粒子在磁场中运动的最长时间和在这种情况下粒子从磁场中射出所在边上位置的范围。解（1）画出从0点射入磁场的粒子运动轨迹的动态圆， 能够从ab边射出的粒子的临界轨 迹如图23所示，轨迹与dc边相切时，射到ab边上的A点，此时轨迹圆心为0“，则轨道半径r=L，由1得最大速度<。轨迹与ab边相切时，射到ab边上的B点，此时轨迹圆心为。2,则轨道半径d=L/3，由厲得最小速度张。qBL qB