中考冲刺数学专题——动态几何问题

1、2012中考冲刺数学专题动态几何问题【备考点睛】动态几何问题，是以几何知识和具体的几何图形为背景，渗透运动变化的观点，通过点、线、形的运动，图形的平移、翻折、旋转等把图形的有关性质和图形之间的数量关系位置关系看作是在变化的、相互依存的状态之中，要求对运动变化过程伴随的数量关系的图形的位置关系等进行探究。对学生分析问题的能力，对图形的想象能力，动态思维能力的培养和提高有着积极的促进作用。动态几何问题，以运动中的几何图形为载体所构建成的综合题，它能把几何、三角、函数、方程等知识集于一身，题型新颖、灵活性强、有区分度，受到了人们的高度关注，同时也得到了命题者的青睐，动态几何问题，常常出现在各地的中考

2、数学试卷中。动态几何问题通常包括动点问题、动线问题、面动问题，在考查图形变换（含三角形的全等与相似）的同时常用到的不同几何图形的性质，以三角形、四边形为主，主要运用方程、函数、数形结合、分类讨论等数学思想。【经典例题】类型一、利用函数与方程的思想和方法将所解决图形的性质直接转化为函数或方程。例题1 如图，已知中，厘米，厘米，点为的中点（1）如果点P在线段BC上以3厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，与是否全等，请说明理由；若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使与全等？（2）若点

3、Q以中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时出发，都逆时针沿三边运动，求经过多长时间点P与点Q第一次在的哪条边上相遇？解答：AQCDBP（1）秒，厘米，厘米，点为的中点，厘米又厘米，厘米，又， ，又，则，点，点运动的时间秒，厘米/秒（2）设经过秒后点与点第一次相遇，由题意，得，解得秒点共运动了厘米，点、点在边上相遇，经过秒点与点第一次在边上相遇例题2 如图，在梯形中， 动点从点出发沿线段以每秒2个单位长度的速度向终点运动；动点同时从点出发沿线段以每秒1个单位长度的速度向终点运动设运动的时间为秒（1）求的长（2）当时，求的值（3）试探究：为何值时，为等腰三角形解答：（1） 如图，过

4、、分别作于，于，则四边形是矩形 在中，在中，由勾股定理得， （图）ADCBKH（图）ADCBGMN（2）如图，过作交于点，则四边形是平行四边形由题意知，当、运动到秒时，又即解得，（3）分三种情况讨论：当时，如图，即当时，如图，过作于解法一：由等腰三角形三线合一性质得ADCBMN（图）（图）ADCBMNHE在中，又在中，解得解法二：即当时，如图，过作于点.（图）ADCBHNMF解法一：（方法同中解法一）解得解法二：即综上所述，当、或时，为等腰三角形例题3 (湖北武汉) 如图，拋物线y1=ax2-2ax+b经过A(-1，0)，C(2，)两点，与x轴交于另一点B； (1) 求此拋物线的解析式；PMQ

5、ABOyx (2) 若拋物线的顶点为M，点P为线段OB上一动点(不与点B重合)，点Q在线段MB上移动，且ÐMPQ=45°，设线段OP=x，MQ=y2，求y2与x的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围； (3) 在同一平面直角坐标系中，两条直线x=m，x=n分别与拋物线交于点E，G，与(2)中的函数图像交于点F，H。问四边形EFHG能否为平行四边形？若能，求m，n之间的数量关系；若不能，请说明理由。PMQABOyxN解答： (1) 拋物线y1=ax2-2ax+b经过A(-1，0)，C(0，)两点，a= -，b=，拋物线的解析式为y1= -x2+x+。 (2) 作MNAB，

6、垂足为N。由y1= -x2+x+易得M(1，2)，N(1，0)，A(-1，0)，B(3，0)，AB=4，MN=BN=2，MB=2，OEFGHxy ÐMBN=45°。根据勾股定理有BM 2-BN 2=PM 2-PN 2。 (2)2-22=PM2= -(1-x)2j，又ÐMPQ=45°=ÐMBP， MPQMBP，PM2=MQ´MB=y2´2k。由j、k得y2=x2-x+。0£x<3，y2与x的函数关系式为y2=x2-x+(0£x<3)。 (3) 四边形EFHG可以为平行四边形，m、n之间的数量关系

7、是 m+n=2(0£m£2，且m¹1)。点E、G是抛物线y1= -x2+x+分别与直线x=m，x=n的交点，点E、G坐标为 E(m，-m2+m+)，G(n，-n2+n+)。同理，点F、H坐标为F(m，m2-m+)，H(n，n2-n+)。 EF=m2-m+-(-m2+m+)=m2-2m+1，GH=n2-n+-(-n2+n+)=n2-2n+1。 EFHG是平行四边形，EF=GH。m2-2m+1=n2-2n+1，(m+n-2)(m-n)=0。 由题意知m¹n，m+n=2 (0£m£2，且m¹1)。 因此，四边形EFHG可以为平行四

8、边形，m、n之间的数量关系是m+n=2 (0£m£2，且m¹1)。例题4 如图，在矩形ABCD中，BC=20cm，P，Q，M，N分别从A，B，C，D出发沿AD，BC，CB，DA方向在矩形的边上同时运动，当有一个点先到达所在运动边的另一个端点时，运动即停止已知在相同时间内，若BQ=xcm()，则AP=2xcm，CM=3xcm，DN=x2cm（1）当x为何值时，以PQ，MN为两边,以矩形的边（AD或BC）的一部分为第三边构成一个三角形；（2）当x 为何值时，以P，Q，M，N为顶点的四边形是平行四边形；（3）以P，Q，M，N为顶点的四边形能否为等腰梯形?如果能，求x的值

9、；如果不能，请说明理由解答：（1）当点P与点N重合或点Q与点M重合时，以PQ，MN为两边，以矩形的边（AD或BC）的一部分为第三边可能构成一个三角形当点P与点N重合时，（舍去）因为BQ+CM=，此时点Q与点M不重合所以符合题意当点Q与点M重合时，此时，不符合题意故点Q与点M不能重合所以所求x的值为 （2）由（1）知，点Q 只能在点M的左侧，当点P在点N的左侧时，由，解得当x=2时四边形PQMN是平行四边形当点P在点N的右侧时，由， 解得当x=4时四边形NQMP是平行四边形所以当时，以P，Q，M，N为顶点的四边形是平行四边形 （3）过点Q，M分别作AD的垂线，垂足分别为点E，F由于2x>x

10、，所以点E一定在点P的左侧若以P，Q，M，N为顶点的四边形是等腰梯形， 则点F一定在点N的右侧，且PE=NF，即解得由于当x=4时， 以P，Q，M，N为顶点的四边形是平行四边形，所以,以P，Q，M，N为顶点的四边形不能为等腰梯形 类型二、根据运动图形的位置分类，把动态问题分割成几个静态问题，再将几何问题转化为函数和方程问题例题5 已知：等边三角形的边长为4厘米，长为1厘米的线段在的边上沿方向以1厘米/秒的速度向点运动（运动开始时，点与点重合，点到达点时运动终止），过点分别作边的垂线，与的其它边交于两点，线段运动的时间为秒（1）线段在运动的过程中，为何值时，四边形恰为矩形？并求出该矩形的面积；（

11、2）线段在运动的过程中，四边形的面积为，运动的时间为求四边形的面积随运动时间变化的函数关系式，并写出自变量的取值范围解答：（1）过点作，垂足为则，当运动到被垂直平分时，四边形是矩形，即时，四边形是矩形，秒时，四边形是矩形，（2）当时， 当时， 当时， 点评：此题关键也是对P、Q两点的不同位置进行分类。QABCDlMPE例题6（湖北咸宁）如图，直角梯形ABCD中，ABDC，动点M以每秒1个单位长的速度，从点A沿线段AB向点B运动；同时点P以相同的速度，从点C沿折线C-D-A向点A运动当点M到达点B时，两点同时停止运动过点M作直线lAD，与线段CD的交点为E，与折线A-C-B的交点为Q点M运动的时

12、间为t（秒）（1）当时，求线段的长；（2）当0t2时，如果以C、P、Q为顶点的三角形为直角三角形，求t的值；（3）当t2时，连接PQ交线段AC于点R请探究是否为定值，若是，试求这个定值；若不是，请说明理由ABCDQPElM解答：（1）过点C作于F，则四边形AFCD为矩形，此时，RtAQMRtACF即，（2）为锐角，故有两种情况：当时，点P与点E重合此时，即，当时，如图，此时RtPEQRtQMA，由（1）知，而， 综上所述，或（3）为定值当2时，如图，ABCDMQRFP由（1）得， 四边形AMQP为矩形 CRQCAB【技巧提炼】解这类问题的基本策略是：1动中觅静：这里的“静”就是问题中的不变量、

13、不变关系，动中觅静就是在运动变化中探索问题中的不变性2动静互化：“静”只是“动”的瞬间，是运动的一种特殊形式，动静互化就是抓住“静”的瞬间，使一般情形转化为特殊问题，从而找到“动”与“静”的关系3以动制动：以动制动就是建立图形中两个变量的函数关系，通过研究运动函数，用联系发展的观点来研究变动元素的关系总之，解决动态几何问题的关键是要善于运用运动与变化的眼光去观察和研究图形，把握图形运动与变化的全过程，抓住变化中的不变，以不变应万变。具体做法是：第一， 全面阅读题目，了解运动的方式与形式，全方位考察运动中的变与变的量及其位置关系；第二， 应用分类讨论思想，将在运动过程中导致图形本质发生变化的各种

14、时刻的图形分类画出，变“动”为“静”；第三， 在各类“静态图形”中运用相关的知识和方法（如方程、相似等）进行探索，寻找各个相关几何量之间的关系，建立相应的数学模型进行求解。另外，需要强调的是此类题型一般起点低，第一步往往是一个非常简单的问题，考生一般都能拿分，但恰恰是这一步问题的解题思想和方法是本题基本的做题思想和方法，是特殊到一般数学思想和方法的具体应用，所以考生在解决第一步时不仅要准确计算出答案，更重要的是明确此题的方法和思路。【体验中考】1.（中考预测）已知一个直角三角形纸片，其中如图，将该纸片放置在平面直角坐标系中，折叠该纸片，折痕与边交于点，与边交于点（1）若折叠后使点与点重合，求点

15、的坐标；（2）若折叠后点落在边上的点为，设，试写出关于的函数解析式，并确定的取值范围；（3）若折叠后点落在边上的点为，且使，求此时点的坐标 xyBOA xyBOA xyBOA2（中考预测）如图，抛物线与x轴交于A、B两点（A点在B点左侧），直线：y=x+b与抛物线交于A、C两点，与y轴交于点Q (1) 求Q、C 两点的坐标.(2) 点G是抛物线上的动点，在抛物线上是否存在点F，使得以Q、C、F、G四点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出F点坐标，若不存在，说明理由。（连年出现平行四边形存在性的判断问题，但总是有两个点在坐标轴上，预测会出现没有两个点在同一坐标轴上的问题）3. （中考预测）

16、如图，已知直线与直线相交于点C，、分别交轴于A、B两点矩形DEFG的顶点D、E分别在直线、上，顶点都在轴上，且点与点重合（1）求的面积； （2）求矩形的边与的长； （3）若矩形从点B出发，沿轴以每秒1个单位长度的速度向点A平移，设移动时间为秒，矩形与重叠部分的面积为，求关于的函数关系式，并写出相应的的取值范围 ADBEOCFxy（G）4. （中考预测） 如图，在平面直角坐标系内，已知点A（0，6）、点B（8，0），动点P从点A开始在线段AO上以每秒1个单位长度的速度向点O移动，同时动点Q从点B开始在线段BA上以每秒2个单位长度的速度向点A移动,设点P、Q移动的时间为t秒(1) 求直线AB的解析

17、式；(2) 当t为何值时，APQ与AOB相似？ (3) 当t为何值时，APQ的面积为个平方单位？5. （中考预测） 如图1，在平面直角坐标系中，已知点，点在正半轴上，且动点在线段上从点向点以每秒个单位的速度运动，设运动时间为秒在轴上取两点作等边（1）求直线的解析式；（2）求等边的边长（用的代数式表示），并求出当等边的顶点运动到与原点重合时的值；（3）如果取的中点，以为边在内部作如图2所示的矩形，点在线段上设等边和矩形重叠部分的面积为，请求出当秒时与的函数关系式，并求出的最大值（图1）（图2）6（2010江苏无锡）如图，已知点，经过A、B的直线以每秒1个单位的速度向下作匀速平移运动，与此同时，点

18、P从点B出发，在直线上以每秒1个单位的速度沿直线向右下方向作匀速运动设它们运动的时间为秒（1）用含的代数式表示点P的坐标；（2）过O作OCAB于C，过C作CD轴于D，问：为何值时，以P为圆心、1为半径的圆与直线OC相切？并说明此时与直线CD的位置关系7（2010 河北） 如图，在直角梯形ABCD中，ADBC，AD = 6，BC = 8，点M是BC的中点点P从点M出发沿MB以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动，到达点B后立刻以原速度沿BM返回；点Q从点M出发以每秒1个单位长的速度在射线MC上匀速运动在点P，Q的运动过程中，以PQ为边作等边三角形EPQ，使它

19、与梯形ABCD在射线BC的同侧点P，Q同时出发，当点P返回到点M时停止运动，点Q也随之停止设点P，Q运动的时间是t秒(t0)（1）设PQ的长为y，在点P从点M向点B运动的过程中，写出y与t之间的函数关系式（不必写t的取值范围）（2）当BP = 1时，求EPQ与梯形ABCD重叠部分的面积（3）随着时间t的变化，线段AD会有一部分被EPQ覆盖，被覆盖线段的长度在某个时刻会达到最大值，请回答：该最大值能否持续一个时段？若能，直接写出t的取值范围；若不能，请说明理由 8（2010云南楚雄）已知：如图，与轴交于C、D两点，圆心的坐标为（1，0），的半径为，过点C作的切线交于点B（4，

20、0）（1）求切线BC的解析式；（2）若点P是第一象限内上一点，过点P作A的切线与直线BC相交于点G，且CGP120°，求点的坐标；（3）向左移动（圆心始终保持在上），与直线BC交于E、F，在移动过程中是否存在点，使得AEF是直角三角形？若存在，求出点 的坐标，若不存在，请说明理由答案：1. 【答案】（1）如图，折叠后点与点重合，则.设点的坐标为.则.于是.在中，由勾股定理，得，xyBOADC图xyBOBDC图xyBOBDC图即，解得.点的坐标为. （2）如图，折叠后点落在边上的点为,则.由题设，则，在中，由勾股定理，得.，即 由点在边上，有，解析式为所求.当时，随的增大而减小，的取值

21、范围为. （3）如图，折叠后点落在边上的点为，且.则.又，有.有，得. 在中，设，则.由（2）的结论，得，解得.点的坐标为. 2.【答案】(1) 令，解得， A点坐标为（-1,0），代入直线：y=-x+b得直线的解析式为y=-x-1 Q点坐标为（0,-1）解方程 得，从而C点坐标为（2,-3）(2) 设抛物线上点F的坐标为（）若以QC为对角线，则G点坐标为（）， 点G在抛物线上，解得若以FQ为对角线，则G点坐标为（）， 点G在抛物线上，解得若以CF为对角线，则G点坐标为（）， 点G在抛物线上，解得F点坐标为五个：、3. 【答案】（1A(-4,0) B(8,0) C(5,6) （2）B(8,0)

22、 D(8,8) （3）当时，如图1，矩形与重叠部分为五边形（时，为四边形）过作于，则ADBEORFxyyM（图3）GCADBEOCFxyyG（图1）RMADBEOCFxyyG（图2）RM即 AF=8-t即（）即当时，如图2，矩形DEFG与ABC重叠部分为梯形QFGR(t=8时，为ARG),则AF=8-t , AG=12-t 由RtAFQRtAGRRtAMC得 , 即 ， , = 当时，如图3，其重叠部分为AGR，则AG=12-t , 4. 【答案】（1）设直线AB的解析式为ykxb由题意，得 解得 所以，直线AB的解析式为yx6 （2）由AO6， BO8 得AB10所以APt ，AQ102t

23、1) 当APQAOB时，APQAOB所以 解得t(秒) 2) 当AQPAOB时，AQPAOB所以 解得t(秒) （3）过点Q作QE垂直AO于点E在RtAOB中，SinBAO 在RtAEQ中，QEAQ·SinBAO(10-2t)·8 t SAPQAP·QEt·(8t)4t 解得t2（秒）或t3（秒） 5.【答案】（1）直线的解析式为：（2）方法一， ，是等边三角形，方法二，如图1，过分别作轴于，轴于，（图1）可求得，当点与点重合时，（图2），（3）当时，见图2设交于点，重叠部分为直角梯形，作于，（图3），随的增大而增大，当时，当时，见图3设交于点，交于点，交于点，重叠部分为五边形方法一，作于，方法二，由题意可得，再计算，（图4），当时，有最大值，当时，即与重合，设交于点，交于点，重叠部分为等腰梯形，见图4，综上所述：当时，；当时，；当时，的最大值是6【答案】作PHOB于H 如图1，OB6，OA，OAB30°PBt，BPH30°，BH，HP ;OH，P，图1图2图3当P在左侧与直线OC相切时如图2，OB，BOC30°BCPC 由，得 s，此时P与直线CD相割当P在左侧与直线O