中考复习三角函数相关练习题一

1、2017年03月09日三角相关一一解答题（共40小题）1如图，在城市改造中，市政府欲在一条人工河上架一座桥，河的两岸PQ与MN平行，河岸MN上有A、B两个相距50米的凉亭，小亮在河对岸D处测得ADP=60°，然后沿河岸走了110米到达C处，测得BCP=30°，求这条河的宽（结果保留根号）2如图，ABC是等腰三角形，AB=AC，以AC为直径的O与BC交于点D，DEAB，垂足为E，ED的延长线与AC的延长线交于点F（1）求证：DE是O的切线；（2）若O的半径为2，BE=1，求cosA的值3如图，已知：AC是O的直径，PAAC，连接OP，弦CBOP，直线PB交直线AC于D，BD=

2、2PA（1）证明：直线PB是O的切线；（2）探究线段PO与线段BC之间的数量关系，并加以证明；（3）求sinOPA的值4如图，AB为O的直径，且弦CDAB于E，过点B的切线与AD的延长线交于点F（1）若M是AD的中点，连接ME并延长ME交BC于N求证：MNBC（2）若cosC=，DF=3，求O的半径5如图，在RtABC中，ABC=90°，D是AC的中点，O经过A、B、D三点，CB的延长线交O于点E（1）求证：AE=CE；（2）EF与O相切于点E，交AC的延长线于点F，若CD=CF=2cm，求O的直径；（3）在（2）的条件下，若（n0），求sinCAB6如图1、2，图1是一个小朋友玩“

3、滚铁环”的游戏，铁环是圆形的，铁环向前滚动时，铁环钩保持与铁环相切将这个游戏抽象为数学问题，如图2已知铁环的半径为5个单位（每个单位为5cm），设铁环中心为O，铁环钩与铁环相切点为M，铁环与地面接触点为A，MOA=，且sin=（1）求点M离地面AC的高度BM（单位：厘米）；（2）设人站立点C与点A的水平距离AC等于11个单位，求铁环钩MF的长度（单位：厘米）7已知：如图，AB是O的直径，PB切O于点B，PA交O于点C，A=60°，APB的平分线PF分别交BC、AB于点D、E，交O于点F、G，且BDAE=2（1）求证：BPDAPE；（2）求FEEG的值；（3）求tanBDE的值8某工程

4、队修建一条高速公路，在某座山处要打通一条东西走向的隧道AB（如图），为了预算造价，应测出隧道AB的长，为此，在A的正南方向1500米的C处，测得ACB=62°，求隧道AB的长9将笔记本电脑放置在水平桌面上，显示屏OB与底板OA夹角为115°（如图1），侧面示意图为图2；使用时为了散热，在底板下面垫入散热架OAC后，电脑转到AOB的位置（如图3），侧面示意图为图4，已知OA=0B=20cm，BOOA，垂足为C（1）求点O的高度OC；（精确到0.1cm）（2）显示屏的顶部B比原来升高了多少？（精确到0.1cm）（3）如图4，要使显示屏OB与原来的位置OB平行，显示屏OB应绕点O

5、按顺时针方向旋转多少度？参考数据：（sin65°=0.906，cos65°=0.423，tan65°=2.146cot65°=0.446）10一艘轮船向正东方向航行，在A处测得灯塔P在A的北偏东60°方向，航行40海里到达B处，此时测得灯塔P在B的北偏东15°方向上（1）求灯塔P到轮船航线的距离PD是多少海里？（结果保留根号）（2）当轮船从B处继续向东航行时，一艘快艇从灯塔P处同时前往D处，尽管快艇速度是轮船速度的2倍，但快艇还是比轮船晚15分钟到达D处，求轮船每小时航行多少海里？（结果保留到个位，参考数据：）11如图，某办公楼AB的

6、后面有一建筑物CD，当光线与地面的夹角是22°时，办公楼在建筑物的墙上留下高2米的影子CE，而当光线与地面夹角是45°时，办公楼顶A在地面上的影子F与墙角C有25米的距离（B，F，C在一条直线上）（1）求办公楼AB的高度；（2）若要在A，E之间挂一些彩旗，请你求出A，E之间的距离（参考数据：sin22°，cos22°，tan22）12小明上学途中要经过A，B两地，由于A，B两地之间有一片草坪，所以需要走路线AC，CB，如图，在ABC中，AB=63m，A=45°，B=37°，求AC，CB的长（结果保留小数点后一位）参考数据：sin37&

7、#176;0.60，cos37°0.80，tan37°0.75，取1.41413如图，为测量一座山峰CF的高度，将此山的某侧山坡划分为AB和BC两段，每一段山坡近似是“直”的，测得坡长AB=800米，BC=200米，坡角BAF=30°，CBE=45°（1）求AB段山坡的高度EF；（2）求山峰的高度CF（1.414，CF结果精确到米）14如图，是某市一座人行天桥的示意图，天桥离地面的高BC是10米，坡面10米处有一建筑物HQ，为了方便使行人推车过天桥，市政府部门决定降低坡度，使新坡面DC的倾斜角BDC=30°，若新坡面下D处与建筑物之间需留下至少

8、3米宽的人行道，问该建筑物是否需要拆除（计算最后结果保留一位小数）（参考数据：=1.414，=1.732）15某兴趣小组借助无人飞机航拍校园如图，无人飞机从A处水平飞行至B处需8秒，在地面C处同一方向上分别测得A处的仰角为75°，B处的仰角为30°已知无人飞机的飞行速度为4米/秒，求这架无人飞机的飞行高度（结果保留根号）16某体育场看台的坡面AB与地面的夹角是37°，看台最高点B到地面的垂直距离BC为3.6米，看台正前方有一垂直于地面的旗杆DE，在B点用测角仪测得旗杆的最高点E的仰角为33°，已知测角仪BF的高度为1.6米，看台最低点A与旗杆底端D之间的

9、距离为16米（C，A，D在同一条直线上）（1）求看台最低点A到最高点B的坡面距离；（2）一面红旗挂在旗杆上，固定红旗的上下两个挂钩G、H之间的距离为1.2米，下端挂钩H与地面的距离为1米，要求用30秒的时间将红旗升到旗杆的顶端，求红旗升起的平均速度（计算结果保留两位小数）（sin37°0.6，cos37°0.8，tan37°0.75，sin33°0.54，cos33°0.84，tan33°0.65）172016年2月1日，我国在西昌卫星发射中心，用长征三号丙运载火箭成功将第5颗新一代北斗星送入预定轨道，如图，火箭从地面L处发射，当火箭

10、达到A点时，从位于地面R处雷达站测得AR的距离是6km，仰角为42.4°；1秒后火箭到达B点，此时测得仰角为45.5°（1）求发射台与雷达站之间的距离LR；（2）求这枚火箭从A到B的平均速度是多少（结果精确到0.01）？（参考数据：sin42.4°0.67，cos42.4°0.74，tan42.4°0.905，sin45.5°0.71，cos45.5°0.70，tan45.5°1.02 ）18在一次综合实践活动中，小明要测某地一座古塔AE的高度如图，已知塔基顶端B（和A、E共线）与地面C处固定的绳索的长BC为80m

11、她先测得BCA=35°，然后从C点沿AC方向走30m到达D点，又测得塔顶E的仰角为50°，求塔高AE（人的高度忽略不计，结果用含非特殊角的三角函数表示）19某班数学兴趣小组利用数学活动课时间测量位于烈山山顶的炎帝雕像高度，已知烈山坡面与水平面的夹角为30°，山高857.5尺，组员从山脚D处沿山坡向着雕像方向前进1620尺到达E点，在点E处测得雕像顶端A的仰角为60°，求雕像AB的高度20如图，为了测量出楼房AC的高度，从距离楼底C处60米的点D（点D与楼底C在同一水平面上）出发，沿斜面坡度为i=1：的斜坡DB前进30米到达点B，在点B处测得楼顶A的仰角为

12、53°，求楼房AC的高度（参考数据：sin53°0.8，cos53°0.6，tan53°，计算结果用根号表示，不取近似值）21如图，在一条笔直的东西向海岸线l上有一长为1.5km的码头MN和灯塔C，灯塔C距码头的东端N有20km一轮船以36km/h的速度航行，上午10：00在A处测得灯塔C位于轮船的北偏西30°方向，上午10：40在B处测得灯塔C位于轮船的北偏东60°方向，且与灯塔C相距12km（1）若轮船照此速度与航向航行，何时到达海岸线？（2）若轮船不改变航向，该轮船能否停靠在码头？请说明理由（参考数据：1.4，1.7）22如图，

13、禁止捕鱼期间，某海上稽查队在某海域巡逻，上午某一时刻在A处接到指挥部通知，在他们东北方向距离12海里的B处有一艘捕鱼船，正在沿南偏东75°方向以每小时10海里的速度航行，稽查队员立即乘坐巡逻船以每小时14海里的速度沿北偏东某一方向出发，在C处成功拦截捕鱼船，求巡逻船从出发到成功拦截捕鱼船所用的时间23小明要测量公园被湖水隔开的两棵大树A和B之间的距离，他在A处测得大树B在A的北偏西30°方向，他从A处出发向北偏东15°方向走了200米到达C处，测得大树B在C的北偏西60°方向（1）求ABC的度数；（2）求两棵大树A和B之间的距离（结果精确到1米）（参考数

14、据：1.414，1.732，2.449）24如图，已知：AB是O的弦，过点B作BCAB交O于点C，过点C作O的切线交AB的延长线于点D，取AD的中点E，过点E作EFBC交DC的延长线于点F，连接AF并延长交BC的延长线于点G求证：（1）FC=FG；（2）AB2=BCBG25如图，已知AD是ABC的外角EAC的平分线，交BC的延长线于点D，延长DA交ABC的外接圆于点F，连接FB，FC（1）求证：FBC=FCB；（2）已知FAFD=12，若AB是ABC外接圆的直径，FA=2，求CD的长26如图，已知四边形ABCD内接于O，A是的中点，AEAC于A，与O及CB的延长线交于点F、E，且（1）求证：A

15、DCEBA；（2）如果AB=8，CD=5，求tanCAD的值27边长为2的正方形ABCD在平面直角坐标系中如图放置，已知点A的横坐标为1，作直线OC与边AD交于点E（1）求点C的坐标；（2）过O，D两点作直线，记该直线与直线OC的夹角为，试求tan的值28如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=x+3与x轴交于点C，与直线AD交于点A（，），点D的坐标为（0，1）（1）求直线AD的解析式；（2）直线AD与x轴交于点B，若点E是直线AD上一动点（不与点B重合），当BOD与BCE相似时，求点E的坐标29如图，PA为O的切线，A为切点，直线PO交O于点M、N，过点A作PO的垂线AB，垂足为C，变O于

16、点B，延长BO与O交于点D，连接AD、BM（1）等式OD2=OCOP成立吗？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由（2）若AD=6，tanM=，求sinD的值30已知二次函数y=ax22ax+c（a0）的图象与x轴的负半轴和正半轴分别交于A、B两点，与y轴交于点C，它的顶点为P，直线CP与过点B且垂直于x轴的直线交于点D，且CP：PD=2：3（1）求A、B两点的坐标；（2）若tanPDB=，求这个二次函数的关系式31如图，已知抛物线y=x2+bx+c经过ABC的三个顶点，其中点A（0，1），点B（9，10），ACx轴，点P是直线AC下方抛物线上的动点（1）求抛物线的解析式；（2）过点P且与y

17、轴平行的直线l与直线AB、AC分别交于点E、F，当四边形AECP的面积最大时，求点P的坐标；（3）当点P为抛物线的顶点时，在直线AC上是否存在点Q，使得以C、P、Q为顶点的三角形与ABC相似，若存在，求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由32如图，抛物线y=ax2+bx+c的图象经过点A（2，0），点B（4，0），点D（2，4），与y轴交于点C，作直线BC，连接AC，CD（1）求抛物线的函数表达式；（2）E是抛物线上的点，求满足ECD=ACO的点E的坐标；（3）点M在y轴上且位于点C上方，点N在直线BC上，点P为第一象限内抛物线上一点，若以点C，M，N，P为顶点的四边形是菱形，求菱形的边长33如

18、图，抛物线与x轴交于点A（5，0）和点B（3，0）与y轴交于点C（0，5）有一宽度为1，长度足够的矩形（阴影部分）沿x轴方向平移，与y轴平行的一组对边交抛物线于点P和Q，交直线AC于点M和N交x轴于点E和F（1）求抛物线的解析式；（2）当点M和N都在线段AC上时，连接MF，如果sinAMF=，求点Q的坐标；（3）在矩形的平移过程中，当以点P，Q，M，N为顶点的四边形是平行四边形时，求点M的坐标34如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+（其中a、b为常数，a0）经过点A（1，0）和点B（3，0），且与y轴交于点C，点D为对称轴与直线BC的交点（1）求该抛物线的表达式；（2）抛物线上存

19、在点P，使得DPBACB，求点P的坐标；（3）若点Q为点O关于直线BC的对称点，点M为直线BC上一点，点N为坐标平面内一点，是否存在这样的点M和点N，使得以Q、B、M、N为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由35如图1，抛物线y=ax26x+c与x轴交于点A（5，0）、B（1，0），与y轴交于点C（0，5），点P是抛物线上的动点，连接PA、PC，PC与x轴交于点D（1）求该抛物线所对应的函数解析式；（2）若点P的坐标为（2，3），请求出此时APC的面积；（3）过点P作y轴的平行线交x轴于点H，交直线AC于点E，如图2若APE=CPE，求证：；APE能否为等腰三

20、角形？若能，请求出此时点P的坐标；若不能，请说明理由36如图，直线y=x+2与x轴，y轴分别交于点A，点B，两动点D，E分别从点A，点B同时出发向点O运动（运动到点O停止），运动速度分别是1个单位长度/秒和个单位长度/秒，设运动时间为t秒，以点A为顶点的抛物线经过点E，过点E作x轴的平行线，与抛物线的另一个交点为点G，与AB相交于点F（1）求点A，点B的坐标；（2）用含t的代数式分别表示EF和AF的长；（3）当四边形ADEF为菱形时，试判断AFG与AGB是否相似，并说明理由（4）是否存在t的值，使AGF为直角三角形？若存在，求出这时抛物线的解析式；若不存在，请说明理由37如图，在平面直角坐标系

21、中，抛物线y=ax2+2ax+c交x轴于A，B两点，交y轴于点C（0，3），tanOAC=（1）求抛物线的解析式；（2）点H是线段AC上任意一点，过H作直线HNx轴于点N，交抛物线于点P，求线段PH的最大值；（3）点M是抛物线上任意一点，连接CM，以CM为边作正方形CMEF，是否存在点M使点E恰好落在对称轴上？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由38如图1，AB为半圆O的直径，D为BA的延长线上一点，DC为半圆O的切线，切点为C（1）求证：ACD=B；（2）如图2，BDC的平分线分别交AC，BC于点E，F；求tanCFE的值；若AC=3，BC=4，求CE的长39如图，过正方形ABCD

22、顶点B，C的O与AD相切于点E，与CD相交于点F，连接EF（1）求证：EF平分BFD（2）若tanFBC=，DF=，求EF的长40如图1，AB是O的直径，E是AB延长线上一点，EC切O于点C，OPAO交AC于点P，交EC的延长线于点D（1）求证：PCD是等腰三角形；（2）CGAB于H点，交O于G点，过B点作BFEC，交O于点F，交CG于Q点，连接AF，如图2，若sinE=，CQ=5，求AF的值2017年03月09日三角相关一参考答案与试题解析一解答题（共40小题）1（2011辽阳）如图，在城市改造中，市政府欲在一条人工河上架一座桥，河的两岸PQ与MN平行，河岸MN上有A、B两个相距50米的凉亭

23、，小亮在河对岸D处测得ADP=60°，然后沿河岸走了110米到达C处，测得BCP=30°，求这条河的宽（结果保留根号）【考点】解直角三角形的应用；平行线的性质；矩形的判定与性质；特殊角的三角函数值【专题】压轴题；方程思想【分析】应合理应用CAQ的度数，CD的长度，所以过点D作CA的平行线得到平行四边形过点D向对边引垂线，得到直角三角形，进而利用三角函数值求得河宽【解答】解：作AEPQ于E，CFMN于F（1分）PQMN，四边形AECF为矩形EC=AF，AE=CF（2分）设这条河宽为x米，AE=CF=x在RtAED中，ADP=60°，ED=x（4分）PQMN，CBF=

24、BCP=30°在RtBCF中，BF=x（6分）EC=ED+CD，AF=AB+BF，x+110=50+x解得x=30这条河的宽为30米（10分）【点评】本题考查解直角三角形的应用难点是作出辅助线，利用三角函数求解2（2010泰安）如图，ABC是等腰三角形，AB=AC，以AC为直径的O与BC交于点D，DEAB，垂足为E，ED的延长线与AC的延长线交于点F（1）求证：DE是O的切线；（2）若O的半径为2，BE=1，求cosA的值【考点】锐角三角函数的定义【专题】压轴题【分析】（1）连接AD、OD，根据AC是圆的直径，即可得到ADBC，再根据三角形中位线定理即可得到ODAB，这得到ODDE，

25、从而求证，DE是圆的切线（2）根据平行线分线段成比例定理，即可求得FC的长，即可求得AF，根据余弦的定义即可求解【解答】（1）证明：连接AD、ODAC是直径ADBCAB=ACD是BC的中点又O是AC的中点ODABDEABODDEDE是O的切线（2）解：由（1）知ODAE，FOD=FAE，FDO=FEA，FODFAE，解得FC=2AF=6RtAEF中，cosFAE=【点评】本题考查了切线的判定，垂径定理等知识点要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可并且本题还考查了三角函数的定义3（2010襄阳）如图，已知：AC是O的直径，PAAC，连接OP，弦CBOP，

26、直线PB交直线AC于D，BD=2PA（1）证明：直线PB是O的切线；（2）探究线段PO与线段BC之间的数量关系，并加以证明；（3）求sinOPA的值【考点】锐角三角函数的定义；全等三角形的判定与性质；勾股定理；切线的判定；相似三角形的判定与性质【专题】证明题；压轴题；探究型【分析】（1）连接OB证OBPB即可通过证明POBPOA得证（2）根据切线长定理PA=PBBD=2PA，则BD=2PB，即BD：PD=2：3根据BCOP可得DBCDPO，从而得出线段PO与线段BC之间的数量关系（3）根据三角函数的定义即求半径与OP的比值设OA=x，PA=y则OD=3x，OB=x，BD=2y在BOD中可求y与

27、x的关系，进而在POB中求OP与x的关系，从而求比值得解【解答】（1）证明：连接OBBCOP，BCO=POA，CBO=POB，POA=POB，又PO=PO，OB=OA，POBPOA PBO=PAO=90°PB是O的切线 （2）解：2PO=3BC（写PO=BC亦可）证明：POBPOA，PB=PA BD=2PA，BD=2PBBCPO，DBCDPO ，2PO=3BC （3）解：CBOP，DBCDPO，即DC=ODOC=OD，DC=2OC 设OA=x，PA=y则OD=3x，OB=x，BD=2y在RtOBD中，由勾股定理得（3x）2=x2+（2y）2，即2x2=y2x0，y0，y=x，OP=x

28、 sinOPA=【点评】此题考查了切线的判定、切线长定理、相似三角形的判定和性质、勾股定理、三角函数等知识点，综合性强，难度大4（2010柳州）如图，AB为O的直径，且弦CDAB于E，过点B的切线与AD的延长线交于点F（1）若M是AD的中点，连接ME并延长ME交BC于N求证：MNBC（2）若cosC=，DF=3，求O的半径【考点】锐角三角函数的定义；勾股定理；三角形中位线定理；垂径定理；切线的性质；相似三角形的判定与性质【专题】综合题；压轴题【分析】（1）连接AC欲求MNBC，只需证MNAC即可由于直径ABCD，由垂径定理知E是CD中点，而M是AD的中点，故EM是ACD的中位线，可得ME（即M

29、N）AC，由此得证（2）由于A、C所对的弧相同，因此cosA=cosC，由此可得BF、AF、AB的比例关系，用未知数表示出它们的长连接BD，证BDFABF，根据所得比例线段即可求得未知数的值（也可利用切割线定理求解），从而得到直径AB的长，也就能求出O的半径【解答】（1）证明：（方法一）连接ACAB是O的直径，且ABCD于E，由垂径定理得，点E是CD的中点；又M是AD的中点，ME是DAC的中位线，MNACAB是O的直径，ACB=90°MNB=90°，即MNBC；（方法二）ABCD，AED=BEC=90°M是AD的中点，ME=AM，即有MEA=AMEA=BEN，C=

30、A，C=BEN又C+CBE=90°，CBE+BEN=90°，BNE=90°，即MNBC；（方法三）ABCD，AED=90°由于M是AD的中点，ME=MD，即有MED=EDM又CBE与EDA同对，CBE=EDAMED=NEC，NEC=CBEC+CBE=90°，NEC+C=90°，即有CNE=90°，即MNBC（2）解：连接BDBCD与BAF同对，C=A，cosA=cosC=BF是O的切线，ABF=90°在RtABF中，cosA=，设AB=4x，则AF=5x，由勾股定理得：BF=3xAB是O的直径，BDAD，ABFBD

31、F，即，x=直径AB=4x=4×，则O的半径为【点评】此题主要考查了垂径定理、圆周角定理、三角形中位线定理以及相似三角形的判定和性质等知识，难度适中5（2008肇庆）如图，在RtABC中，ABC=90°，D是AC的中点，O经过A、B、D三点，CB的延长线交O于点E（1）求证：AE=CE；（2）EF与O相切于点E，交AC的延长线于点F，若CD=CF=2cm，求O的直径；（3）在（2）的条件下，若（n0），求sinCAB【考点】锐角三角函数的定义；圆周角定理；切线的性质；相似三角形的判定与性质【专题】几何综合题；压轴题【分析】（1）连接DE，根据ABC=90°可知：A

32、E为O的直径，可得ADE=90°，根据CDAC，AD=CD，可证AE=CE；（2）根据ADEAEF，可将AE即O的直径求出；（3）根据RtADERtEDF，=n，可将DE的长表示出来，在RtCDE中，根据勾股定理可将CE的长表示出来，从而可将sinCAB的值求出【解答】（1）证明：连接DE，ABC=90°ABE=90°AE是O直径ADE=90°DEAC又D是AC的中点DE是AC的垂直平分线AE=CE；（2）解：在ADE和EFA中，ADE=AEF=90°，DAE=FAEADEEFA即AE=2cm；（3）解：AE是O直径，EF是O的切线，ADE=A

33、EF=90°RtADERtEDF，AD=CDCF=nCDDF=（1+n）CDDE=CD在RtCDE中，CE2=CD2+DE2=CD2+（CD）2=（n+2）CD2CE=CDCAB=DECsinCAB=sinDEC=【点评】本题主要考查圆周角定理，切线的性质及相似三角形的性质和应用6（2007中山）如图1、2，图1是一个小朋友玩“滚铁环”的游戏，铁环是圆形的，铁环向前滚动时，铁环钩保持与铁环相切将这个游戏抽象为数学问题，如图2已知铁环的半径为5个单位（每个单位为5cm），设铁环中心为O，铁环钩与铁环相切点为M，铁环与地面接触点为A，MOA=，且sin=（1）求点M离地面AC的高度BM（

34、单位：厘米）；（2）设人站立点C与点A的水平距离AC等于11个单位，求铁环钩MF的长度（单位：厘米）【考点】解直角三角形的应用【专题】综合题；压轴题【分析】（1）过M作与AC平行的直线，与OA、FC分别相交于H、N那么求BM的长就转化为求HA的长，而要求出HA，必须先求出OH，在直角三角形OHM中，sin=，且铁环的半径为5个单位即OM=5，可求得HM的值，从而求得HA的值；（2）因为MOH+OMH=OMH+FMN=90°，FMN=MOH=，又因为sin=，所以可得出FN和FM之间的数量关系，即FN=FM，再根据MN=113=8，利用勾股定理即可求出FM=10个单位【解答】解：过M作

35、与AC平行的直线，与OA、FC分别相交于H、N（1）在RtOHM中，OHM=90°，OM=5，HM=OM×sin=3，所以OH=4，MB=HA=54=1，1×5=5cm所以铁环钩离地面的高度为5cm；（2）铁环钩与铁环相切，MOH+OMH=OMH+FMN=90°，FMN=MOH=，=sin=，FN=FM，在RtFMN中，FNM=90°，MN=BC=ACAB=113=8FM2=FN2+MN2，即FM2=（FM）2+82，解得：FM=10，10×5=50（cm）铁环钩的长度FM为50cm【点评】考查了解直角三角形的应用，解此题的关键是把实

36、际问题转化为数学问题，只要把实际问题抽象到解直角三角形中即可解答7（2002贵阳）已知：如图，AB是O的直径，PB切O于点B，PA交O于点C，A=60°，APB的平分线PF分别交BC、AB于点D、E，交O于点F、G，且BDAE=2（1）求证：BPDAPE；（2）求FEEG的值；（3）求tanBDE的值【考点】解直角三角形；切线的性质；相似三角形的判定与性质【专题】计算题；证明题；压轴题【分析】（1）欲证BPDAPE，必须找出角的等量关系，由PB是圆的切线，得出角PBC=A，再由PF是APB的平分线，得出APE=BPD，从而得出结论（2）由BPDAPE得出角的等量关系，再由角相等得出边

37、相等，然后由已知条件得出结论（3）由BPDAPE得出对应边的比例关系，再由弦切角定理得出ABP=90°，再由角A的正弦值得出对应边的长度，再求tanBDE的值即可【解答】（1）证明：BP切O于点B，PBC=A又PF为APB的角平分线，APE=BPDBPDAPE（2）解：BPDAPE，BDP=AEPBED=BDEBE=BD又BDAE=2，BEAE=2FEEG=BEAE=2（3）解：BPDAPE，又AB是O的直径，PB切O于点B，ABP=90°而A=60°，sinA=sin60°=，又BD=BE，又BEAE=2，AE=2，BE=AB=2+，tan60

38、6;=PB=2+3tanBDE=tanBED=【点评】本题主要考查，相似三角形的判定，弦切角定理以及角的正弦值、正切值的计算，难度适中8（1998广东）某工程队修建一条高速公路，在某座山处要打通一条东西走向的隧道AB（如图），为了预算造价，应测出隧道AB的长，为此，在A的正南方向1500米的C处，测得ACB=62°，求隧道AB的长【考点】解直角三角形的应用方向角问题【专题】计算题；压轴题【分析】根据题意直接运用三角函数的定义解题【解答】解：在RtABC中，CAB=90°，C=62°，AC=1500米，AB=AC×tan62°2821米答：AB的

39、长是2821米【点评】此题为三角函数的直接应用，属基础题9（2017静安区一模）将笔记本电脑放置在水平桌面上，显示屏OB与底板OA夹角为115°（如图1），侧面示意图为图2；使用时为了散热，在底板下面垫入散热架OAC后，电脑转到AOB的位置（如图3），侧面示意图为图4，已知OA=0B=20cm，BOOA，垂足为C（1）求点O的高度OC；（精确到0.1cm）（2）显示屏的顶部B比原来升高了多少？（精确到0.1cm）（3）如图4，要使显示屏OB与原来的位置OB平行，显示屏OB应绕点O按顺时针方向旋转多少度？参考数据：（sin65°=0.906，cos65°=0.423

40、，tan65°=2.146cot65°=0.446）【考点】解直角三角形的应用【分析】（1）解直角三角形即可得到结论；（2）如图2，过B作BDAO交AO的延长线于D，根据三角函数的定义即可得到结论；（3）如图4，过O作EFOB交AC于E，根据平行线的性质得到FEA=BOA=115°，于是得到结论【解答】解：（1）BOOA，垂足为C，AOB=115°，AOC=65°，cosCOA=，OC=OAcosCOA=20cos65°=8.468.5（cm）；（2）如图2，过B作BDAO交AO的延长线于D，AOB=115°，BOD=65&

41、#176;，sinBOD=，BD=OBsinBOD=20×sin65°=18.12，OB+OCBD=20+8.4618.12=10.3410.3（cm），显示屏的顶部B比原来升高了10.3cm；（3）如图4，过O作EFOB交AC于E，FEA=BOA=115°，FOB=EOC=FEAOCA=115°90°=25°，显示屏OB应绕点O按顺时针方向旋转25度【点评】本题考查了解直角三角形的应用，平行线的性质，正确的作出辅助线是解题的关键10（2017莒县模拟）一艘轮船向正东方向航行，在A处测得灯塔P在A的北偏东60°方向，航行40

42、海里到达B处，此时测得灯塔P在B的北偏东15°方向上（1）求灯塔P到轮船航线的距离PD是多少海里？（结果保留根号）（2）当轮船从B处继续向东航行时，一艘快艇从灯塔P处同时前往D处，尽管快艇速度是轮船速度的2倍，但快艇还是比轮船晚15分钟到达D处，求轮船每小时航行多少海里？（结果保留到个位，参考数据：）【考点】解直角三角形的应用方向角问题【专题】行程问题【分析】（1）过点B作BCAP于点C，先求出BC、AC的长度，然后确定CBP的度数，继而在直角三角形PAD中可求出根据PD（2）设轮船每小时航行x海里，在RtADP中求出AD，继而表示出BD，列出方程可解出x的值【解答】解：（1）过点B

43、作BCAP于点C，在RtABC，ACB=90°，BAC=30°，BC=AB=20，AC=ABcos30°=20PBD=90°15°=75°，ABC=90°30°=60°，CBP=180°75°60°=45°，AP=AC+PC=（20+20）海里PDAD，PAD=30°，PD=AP=10+10，答：灯塔P到轮船航线的距离PD是10+10海里；（2）设轮船每小时航行x海里，在RtADP中，AD=APcos30°=（20+20）=（30+10）海里BD

44、=ADAB=30+1040=（1010）海里+=，解得x=6020经检验，x=6020是原方程的解x=6020x=6020×1.73=25.425，答：轮船每小时航行25海里【点评】本题考查解直角三角形的应用，有一定的难度，注意在解一般三角形，求三角形的边或高的问题一般可以转化为解直角三角形的问题，解决的方法就是作高线11（2016青海）如图，某办公楼AB的后面有一建筑物CD，当光线与地面的夹角是22°时，办公楼在建筑物的墙上留下高2米的影子CE，而当光线与地面夹角是45°时，办公楼顶A在地面上的影子F与墙角C有25米的距离（B，F，C在一条直线上）（1）求办公楼

45、AB的高度；（2）若要在A，E之间挂一些彩旗，请你求出A，E之间的距离（参考数据：sin22°，cos22°，tan22）【考点】解直角三角形的应用【分析】（1）首先构造直角三角形AEM，利用tan22°=，求出即可；（2）利用RtAME中，cos22°=，求出AE即可【解答】解：（1）如图，过点E作EMAB，垂足为M设AB为xRtABF中，AFB=45°，BF=AB=x，BC=BF+FC=x+25，在RtAEM中，AEM=22°，AM=ABBM=ABCE=x2，tan22°=，则=，解得：x=20即教学楼的高20m（2）由

46、（1）可得ME=BC=x+25=20+25=45在RtAME中，cos22°=AE=，即A、E之间的距离约为48m【点评】此题主要考查了解直角三角形的应用，根据已知得出tan22°=是解题关键12（2016天津）小明上学途中要经过A，B两地，由于A，B两地之间有一片草坪，所以需要走路线AC，CB，如图，在ABC中，AB=63m，A=45°，B=37°，求AC，CB的长（结果保留小数点后一位）参考数据：sin37°0.60，cos37°0.80，tan37°0.75，取1.414【考点】解直角三角形的应用【分析】根据锐角三角函

47、数，可用CD表示AD，BD，AC，BC，根据线段的和差，可得关于CD的方程，根据解方程，可得CD的长，根据AC=CD，CB=，可得答案【解答】解：过点C作CDAB垂足为D，在RtACD中，tanA=tan45°=1，CD=AD，sinA=sin45°=，AC=CD在RtBCD中，tanB=tan37°=0.75，BD=；sinB=sin37°=0.60，CB=AD+BD=AB=63，CD+=63，解得CD27，AC=CD1.414×27=38.17838.2，CB=45.0，答：AC的长约为38.2m，CB的长约等于45.0m【点评】本题考查了

48、解直角三角形的应用，利用线段的和差得出关于CD的方程是解题关键13（2016黄石）如图，为测量一座山峰CF的高度，将此山的某侧山坡划分为AB和BC两段，每一段山坡近似是“直”的，测得坡长AB=800米，BC=200米，坡角BAF=30°，CBE=45°（1）求AB段山坡的高度EF；（2）求山峰的高度CF（1.414，CF结果精确到米）【考点】解直角三角形的应用坡度坡角问题【专题】计算题【分析】（1）作BHAF于H，如图，在RtABH中根据正弦的定义可计算出BH的长，从而得到EF的长；（2）先在RtCBE中利用CBE的正弦计算出CE，然后计算CE和EF的和即可【解答】解：（1

49、）作BHAF于H，如图，在RtABH中，sinBAH=，BH=800sin30°=400，EF=BH=400m；（2）在RtCBE中，sinCBE=，CE=200sin45°=100141.4，CF=CE+EF=141.4+400541（m）答：AB段山坡高度为400米，山CF的高度约为541米【点评】本题考查了解直角三角形的应用坡度与坡角问题：坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比，又叫做坡比，它是一个比值，反映了斜坡的陡峭程度，一般用i表示，常写成i=1：m的形式把坡面与水平面的夹角叫做坡角，坡度i与坡角之间的关系为：itan14（2016贺州）如图，是某市一座人行天桥

50、的示意图，天桥离地面的高BC是10米，坡面10米处有一建筑物HQ，为了方便使行人推车过天桥，市政府部门决定降低坡度，使新坡面DC的倾斜角BDC=30°，若新坡面下D处与建筑物之间需留下至少3米宽的人行道，问该建筑物是否需要拆除（计算最后结果保留一位小数）（参考数据：=1.414，=1.732）【考点】解直角三角形的应用坡度坡角问题【分析】根据正切的定义分别求出AB、DB的长，结合图形求出DH，比较即可【解答】解：由题意得，AH=10米，BC=10米，在RtABC中，CAB=45°，AB=BC=10，在RtDBC中，CDB=30°，DB=10，DH=AHAD=AH（

51、DBAB）=1010+10=20102.7（米），2.7米3米，该建筑物需要拆除【点评】本题考查的是解直角三角形的应用坡度坡角问题，掌握锐角三角函数的定义、熟记特殊角的三角函数值是解题的关键15（2016深圳）某兴趣小组借助无人飞机航拍校园如图，无人飞机从A处水平飞行至B处需8秒，在地面C处同一方向上分别测得A处的仰角为75°，B处的仰角为30°已知无人飞机的飞行速度为4米/秒，求这架无人飞机的飞行高度（结果保留根号）【考点】解直角三角形的应用仰角俯角问题【专题】计算题；解直角三角形及其应用【分析】如图，作ADBC，BH水平线，根据题意确定出ABC与ACB的度数，利用锐角三

52、角函数定义求出AD与BD的长，由CD+BD求出BC的长，即可求出BH的长【解答】解：如图，作ADBC，BH水平线，由题意得：ACH=75°，BCH=30°，ABCH，ABC=30°，ACB=45°，AB=32m，AD=CD=16m，BD=ABcos30°=16m，BC=CD+BD=（16+16）m，则BH=BCsin30°=（8+8）m【点评】此题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数定义是解本题的关键16（2016莱芜）某体育场看台的坡面AB与地面的夹角是37°，看台最高点B到地面的垂直距离BC为3.6

53、米，看台正前方有一垂直于地面的旗杆DE，在B点用测角仪测得旗杆的最高点E的仰角为33°，已知测角仪BF的高度为1.6米，看台最低点A与旗杆底端D之间的距离为16米（C，A，D在同一条直线上）（1）求看台最低点A到最高点B的坡面距离；（2）一面红旗挂在旗杆上，固定红旗的上下两个挂钩G、H之间的距离为1.2米，下端挂钩H与地面的距离为1米，要求用30秒的时间将红旗升到旗杆的顶端，求红旗升起的平均速度（计算结果保留两位小数）（sin37°0.6，cos37°0.8，tan37°0.75，sin33°0.54，cos33°0.84，tan33

54、°0.65）【考点】解直角三角形的应用仰角俯角问题【分析】（1）根据正弦的定义计算即可；（2）作FPED于P，根据正切的定义求出AC，根据正切的概念求出EP，计算即可【解答】解：（1）在RtABC中，AB=6米；（2）AC=4.8米，则CD=4，.8+16=20.8米，作FPED于P，FP=CD=20.8，EP=FP×tanEFP=13.52，DP=BF+BC=5.2，ED=EP+PD=18.72，EG=EDGHHD=16.52，则红旗升起的平均速度为：16.52÷30=0.55，答：红旗升起的平均速度为0.55米/秒【点评】本题考查的是解直角三角形的应用仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键17（2016德州）2016年2月1日，我国在西昌卫星发射中心，用长征三号丙运载火箭成功将第5颗新一代北斗星送入预定轨道，如图，火箭从地面L处发射，当火箭达到A点时，从位于地面R处雷达站测得AR的距离是6km，仰角为42.4°；1秒后火箭到达B点，此时测得仰角