华师一2011届高三第一轮复习教案(第九章)第15讲欧拉公式

1、课 题：欧拉公式、多面体与旋转体 教学内容：欧拉公式欧拉公式、多面体与旋转体教学目的：掌握欧拉公式、多面体与旋转体的概念并能用欧拉公式解决一些简单的数学问题教学重点：掌握欧拉公式、多面体与旋转体的概念教学过程：一、知识概要教学要求：掌握欧拉公式、多面体与旋转体的概念并能用欧拉公式解决一些简单的数学问题 知识点1多面体欧拉公式简单多面体的顶点数 V、面数F的和与棱数E之间存在规律：V+F-E=2指出：(1)欧拉公式V+F-E=2，是描述简单多面体的顶点数、面数，棱数之间特有规律的一个公式， 这个规律是简单多面体的一种拓扑不变性，即在拓扑变换(如教科书中所说的橡胶膜充气时连续变形)下，不改变的性质

2、这里的 2是个常数，实质告诉我们V+F-E是一个拓扑不变数.(2)欧拉公式V+F-E=2 ,人们已给出多种证法，教材中给出的是比拟直观且不涉及其它更深知识且适合我们的知识状况的一种证法，这种拉橡皮膜的方法表达了拓扑变换的特点，证明过程所用的知识主要是 多边形的内角和公式，这种方法中所用的连续变形(拉伸橡皮膜)，并没有改变 V+F-E的值，由此推出这个值是常数2.二、典例解析例1试求所有各个面都是三角形的正多面体共有多少种？3解：面数F,棱数E, V个顶点，那么E = F，过每一个顶点都有 P条棱那么VP = 2E，又V+F-E = 2. / E26 p36224=一=-6+ .而 E >

3、0. P>3得 P = 5, 4, 3 ,F = - E = -4+, / F = 20 , 8, 4.故可能为正四6-P6-P36-P面体，正八面体，正十二面体三种.例2 某一凸多面体有32个面，每个面都是三角形或五边形，对于V个顶点的每一个都有 T个三角形和P个五边形相交，求 100P+10T+V 的值.解：E条棱，V个顶点，F个面，贝U F = 32. / T个三角形和P个五边形交于每一个顶点每个顶点出 发，T+P条棱得2E = V(T+P)，又V+F-E = 2 , E = V+30 贝U V(T+P-2) = 60. 又每个三角形面有三条 边，.三角形面为 VT个同理五边形面共

4、有 VP个，得VT +VP = 32.消去V,解得3T+5P = 16.又3535T、P> 0,贝 U T = 2 , P = 2,从而 V= 30,所求 100P+10T+V = 250.例3铜的单晶体的外形是简单几何体，单晶铜有三角形和八边形两种晶面，如果铜的单晶有24个顶点，以每个顶点为一端都有三条棱，计算单晶铜的两种晶面数目.解：设三角形的晶面有 x个，八边形的晶面有 y个，那么单晶铜面数 F = x + y，又顶点数V= 24，且每 个顶点为一端都有 3条棱，所以棱数 E = 1 X3X24 = 36. 24 + (x + y)-36 = 2。即x + y= 14,由棱数E =

5、丄(3x + 8y) = 36。即3x + 8y = 72,解、组成的方程组得x= 8, y = 6。2单晶铜有三角形晶面8个，八边形晶面 6个.例4 1996年诺贝尔化学奖授予了对发现C60有重大奉献的三位科学家.C60是由60个C原子构成的分子，它是形如足球状的多面体.这个多面体有60个顶点，每个顶点处都有3条棱，面的形状只有五边形和六边形，试计算C60分子中五边形和六边形的个数.解：设C60分子中五边形和六边形的个数分别是 x个和y个，C60分子这个多面体的顶点数 V = 60, 面数F = x+ y，棱数E = - X3X60,根据欧拉公式，可得 60 + (x + y)- X3X60

6、 = 2 另一方面，2 2棱数也可以由多边形的边数和来表示，1(5x + 6y)=丄X3X60 解由、组成的方程2 2组，得x = 12 , y = 20 o C60分子中五边形共有12个，六边形共有20个.例5求证：如果简单多面体的所有面都是奇数边的多边形，那么这个简单多面体的面数为偶数.解：设面数为F，棱数为E,顶点数为V. T每个面都是奇数边的多边形，设每个面的边数为2n 1+ 1、2n2+ 1、2nF + 1(其中nn2、n，都是大于等于1的自然数)又每两条边合为一条棱， E = 1 :(2m+ 1) + 如 + 1) + (2nf+ 1)= (n 1 +门鸟+十nf)+ -2 2又由

7、欧拉公式 V + F-E = 2, V + F-(n 1 + n2+ + nF)- F = 2, - = 2 + (n 1 + 门2+ + nF)-V,2 2即 F = 2 2 + (n 1 + 门2+ nf)-V) o F 为偶数例6 一个正多面体，各个面的多边形的内角总和是3600。，求它的面数，顶点数和棱数。解：设每一个面的边数为 m,贝U F(m-2) XI80° = 3600°。二 F(m-2) = 20, 匹=E, E = F + 10。代 2入欧拉公式 V = E-F + 2,得 V = 12.设过每一个顶点的棱数为n,贝U E=巴=6n , F=, - 12

8、 +-6n = 2,即m = 2+t m >3,2mm3n 5 nW5又n >3 n可取值为3、4、5当n取3或4时，式m = 2 +中无整数解。当n = 5时，由m = 2+得m= 3o E = 30 , F 3n 53n 5=20 , V = 3 .三、课堂练习1. 多面体有V个顶点，求它的所有面的所有内角和.解：设面数为F，棱数为E,顶点数为Vo每个面的边数分别为n1、n2、nf(其中n1、n2、nF都是大于等于3的自然数).那么每个面的内角和为(n 1-2) 180° , (n2-2) 1-80° ,，(nf-2) 180°。设这些角的和为 M

9、，那么 M = (n 1-2) 180° + (n2-2) 180°+ (nf-2) 180° =(n + n?+ nf)-2F: -180°, 又每两条边合为一条棱，2E = n1+ n2+- + nF 代入得：M= (2E-2F) 180° = (E-F) 360°又由欧拉公式有 E-F = V-2 o M= (V-2) 360° °：它的所有面的多边形的内角和为(V-2) 360° .2. 正二十面体的棱长为 a,连结相对顶点的对角线为b，求它的体积.解：连结正二十面体的中心与各顶点的线段，将正二十

10、面体分成二十个相对的正三棱锥，这个正三棱锥的侧棱长为-，底面半径为2=20X1 X-a2X(b)2 _( 3 a)23423 V正二十面体=20 V正三棱锥四、备选习题1 . 一凸多面体的棱数为30，面数为12，那么它的各面多边形的内角总和为A.5400 °B.6480 °C.7200 °D.7920 °解：由欧拉公式， V = E-F+2 = 30-12+2 = 20。二内角总和为(V-2) X60° = 6480°2. 一个凸多面体有8个顶点。 如果它是棱锥，那么它有 条棱，个面. 如果它是棱柱，那么它有条棱，个面.解： 如果它是

11、棱锥，那么是七棱锥，有14条棱，8个面 如果它是棱柱，那么是四棱柱，有12条棱，6个面.答案：14、8 :12、63. 一个凸多面体的各面都是五边形，求多面体的顶点数V与面数F之间的关系.55解：凸多面体各面是五边形，且面数为F.该凸多面体的棱数 E=F，代入欧拉公式：V+F- F22=2。即 2V-3F = 4.4. 将边长为a的正方体各侧面中心连结起来得到一个正八面体，求此正八面体的体积解：根据正方体与正八面体的联系可知正八面体的高为a，侧棱长为.a2 a2 = - a，而正：2a 1a 2八面体可分为两个正四棱锥 .故V = 2X二a2xa X-=.22 365. 一个十二面体共有 8个顶点，其中两个顶点处各有6条棱，其他顶点处各有相同数目的棱，那么其他顶点处有多少条棱？解：设其他顶点处各有 x 条棱，那么 T F = 12 , V = 8 E= V+ F-2 = 18, a 6x+ 6X2= 18X2，解得：x = 4。其他顶点处各有 4条棱.6. 一个简单多面体的棱数能是7吗？试用欧拉公式进行分析.解：假设一个简单多面体的棱数E = 7,那么根据欧拉公式得：V + F= E + 2 = 9,另一方面，多面