北师大版八年级数学下册第一章三角形的证明能力提升(解析版)

1、第一章三角形的证明卷I 选择题、选择题此题共计 6小题，每题3分，共计18分1.如图，？?/?是/ ?平分线， Z 2 = 70°,贝U/1 的度数为A.140 °B.130 °C.125°D.100°2.等腰三角形的一个角是80°,那么它顶角的度数是A.80°或20 °B.80 °C.80°或50 °D.203.用反证法证明“ ?,如果？?徉?那么/?* Z ?时，第一步是A.假设?= ?B.假设 Z ?= Z ?D.假设？梓?C.假设？梓?4.如图，在 ?, Z ?= 90

2、76;, ?= 2，点？?在?上, Z ? 2 Z ? ?= v5，那么?的长为 ( )A. v3- 1B. v3 + 1C. - 1D. v5 + 15.图中，最外面是第1个等边三角形，边长为1,记周长为?然后以中心为顶点构造第2个等边三角形，使其底边与第1个等边三角形底边重合，记其周长为 ?假设继续构造下去，那么第？个等边三角形的周长?为B. 1 ?-2C.3 ?(1)?-2D.3?(y?-16.如图，将等腰直角三角形 为?绕?点？逆时针旋转15。后得到 ?1，假设？?？2,那么图中阴影局部的面积A兰D.3昉、填空题此题共计卷II 非选择题6小题，每题3分，共计18分7. 直角三角形中两个

3、锐角的差为20 :那么两个锐角的度数分别是 8. 如图，在 ? ?是它的角平分线，？?= 8? ?= 6? ? 12，贝U?9. 如图，?, ?平分/ ?的中垂线交?于点？交?于点？连接?假设/ ?= 60 , Z ?48 °，那么/ ?的?度数为= .10. 如下图，在等腰 ?中?, ?= ?,? z ?= 36°,将厶?的 Z ?沿?向下翻折，使点落在点? 处.假设？?= v3，那么？?的长是.11. 如图，某汽车从？处出发准备开往正北方向 ？?处，但是由于？?之间道路正在整修，所以需先到 ？处，再 到？?处，假设？莊？的北偏东25。方向上，汽车到？处发现，此时正好？?

4、= ?那么汽车要想到达？?处，此时应 沿北偏西的方向行驶.12. 如图，在直角坐标系中，？?的四个顶点的坐标分别为 ？?(0,?8), ?(-6, ?8), ?(-6, ?0), ?(0,?0)，现有动点？在线段?上运动，当 ?为?等腰三角形时，？点坐标为.三、解答题(此题共计 11小题，共计84 分)13. 6 分如图，在 ?,?= ?为？?边上的中线,?£?于？ / ?= 55 °,求/ ?度数.14. 6分如图，在等腰三角形?, ?= ? ? ?= 13 , ?边的垂直平分线？?交?于点?求厶？?的周长.15. 6 分如图，在 ?, ?,?为？?边上一点，Z ?= 3

5、0 °, Z ?45 °° 求证： ?等 腰三角形.16. 6分如图，在 ?中? ?,? ?是？?边上的中线,?| ?于占?14八、 二且?= 3?求证：?平分/ ?17. ( 6 分)如图，在 ?,?,?£ ?于点?(1) 如图，点？为？?上任意一点，请你用无刻度的直尺在?上找出一点?(2) 如图，点？为？?上任意一点，请你用无刻度的直尺在?上找出一点？?,使? ?'?，使? ?18. ( 8分)如图，Z ?120 °, ?辛？?,？?的垂直平分线交?于?,(1 )求 Z ?度数；(2)假设？?？2，求?的长.19. 8 分如图，？?

6、为等边 ?上 一点，？?L?于？假设？?？2:1 , ?辛2 v3，求? ?,? ?,? ?为？?边的中点,?_ ?(1)求证： Z ?2 Z ?2假设？?辛6 , ?辛2，求 ?面积.21. 9分如图，点？?是厶？?边？?延长线上一点，?平分Z ?平分Z ?求证:(2) Z ?+ Z ? 90 °.22. 9分我们可引入如下概念.定义：到三角形的两个顶点距离相等的点，叫做此三角形的准外心.举例：如图1，假设？?= ?那么点？为厶?准外心.1应用：如图2 , ?为等边三角形?高，准外心？在高?上，？?字?且?= -?,求Z ?度数.探究： ?为直角三角形，斜边 ？?= 5, ?= 3

7、，准外心？在？?边上，试探究?的长.23. 12 分感知：如图，?平分/ ?/ ?+ /?= 180 °, Z ?= 90°,易知：？?= ?探究：如图，在四边形 ？?中？ ?平分/?/?= 45°, Z ?= 135 °，试说明：?与?的数量关 系，并说明原因.应用：如图，在四边形 ?中? ?平分 /?/ ? Z ? 180 °, Z ? 90 ° ° ?与?的 上述关系还成立吗？并说明原因.图圍参考答案与试题解析 第一章三角形的证明一、选择题(此题共计 6小题，每题3分，共计18分)1.【答案】A【解答】解：？?？ 2

8、=70 °,./ ?= / 2 = 70 °,/ ?是 z ?平 分线，.Z ? 2 z ? 140 °,/ ?/? z 1 = z ? 140 °.应选？2.【答案】A【解答】=50 °应选：?1OO解：分两种情况讨论：当80的角为顶角时，底角为2 (180 - 80 )当80°角为底角时，另一底角也为80°，顶角为20 °综上所述：等腰三角形的一个角是80°,那么它顶角的度数是80。或20°3.【答案】B【解答】解：用反证法证明“ ?, ?梓?求证：z?z ?“第一步应是假设Z ?= Z ?

9、应选?.4.【答案】D【解答】解：t Z ? 2Z ? Z ? Z ?+ Z ?Z ?= Z ?. ?= ?= v5,在?,?= V ? ?= v(v5)2 - 22 = 1 ；.?字 v5 + 1 .应选?.5.【答案】B【解答】 由得：第1个等边三角形的周长为：1 + 1+1 = 3 = ；1-2 , 第2个等边三角形的周长为：3+ ；+ 1= 1 =12-2，11111 Q O第3个等边三角形的周长为：9+9+9=3=3-，1所以第？个等边三角形的周长？为：3?-2.36.【答案】A【解答】等腰直角 ?绕?点？逆时针旋转15。后得到 ? ?,/ Z ?= 15 °,.Z ? ?

10、 Z? Z ?= 45 ° - 15 °= 30 °° ? = ?2,阴影局部的面积=1 X2 xtan30 ° x2 = 2也,23二、填空题此题共计 6小题，每题3分，共计18分7.【答案】55°、35 °【解答】解：设一个锐角为？那么另一个锐角为？? 20 ° °那么?+ ? 20 ° = 90 °°解得，？?= 55 °,? 20° = 35 ° 故答案为：55 °、35 °8.【答案】9?【解答】 解：过？?乍?&#

11、163; ?£ ?垂足分别为？ ? ?是角平分线，?= ?1T ? ?=? 2 ?,? 12 = ； x 8?解得? 3(?)?= 3? ? ?= ；? ； x 6 x 3 = 9(?),故答案为：9?.9.【答案】48【解答】/ ?平分 Z ?./ ?/ ? Z ?= 60 ° °/. / ? Z ?120 ,/ / ?48 °/ ?的中垂线交?于点?. ? ?./ ?/ ?./ ?2 / ?/ / ?48 , 3 Z ?習120 - 48 = 72 ,/ ?24 °,./ ?48 °,10.【答案】v3【解答】.?学？?,？ /

12、?= 36 Z ?=/ ? 180 -362=72 °,.将 ?的/ ?沿?向下翻折，使点？?落在点？处，.?学?, / ?= / ? 36 °°./ ? / ?.? / ? 72 ° - 36 ° = 36 °,./ ? 180°- / ?- / ? 180 ° - 72 ° - 36 ° = 72 °,./ ? / ?,.?= ?:?= v§,.?= ?= ?= v3.故答案为：v3.11.【答案】25 °【解答】解：.?= ?,?./ ?= / ?= 25&#

13、176;,./ 1 = / ?= 25 °°故答案为：25 °【答案】(-6, ?4), (-6, ?2v7) , (-6, ?8- 2V7)【解答】 解：如图，当?*= ?时点？在?的垂直平分线上, 二？?(-6, ?4),当? ? 8 时，? V? ?= 2v7,当? ?= 8 时，?= 2 V,?(-6, ?2V7) , (-6, ?8- 2 V7), ?点坐标为(-6, ?4), (-6, ?2V) , (-6, ?8- 2V7) 故答案为：(-6, ?4)，(-6, ?2/7)，(-6, ?8- 2v7) 三、解答题此题共计 11小题，共计84 分13.

14、【答案】解：?= ?为？?边上的中线, ?L? Z ? 90 °, Z ? Z ? 90 °,/ ?£ ?， / ?+ /? 90°,./ ? / ?= 55 ° 【解答】解：?= ?为？?边上的中线, ?L? Z ? 90 °, Z ? Z ? 90 °,/ ?£ ?， Z ?+ Z? 90°, Z ? Z ?= 55 ° 14.答案】解： ？?是?的垂直平分线,? ?:. ?的周长=? ? ?= ?+ ?+ ? ? ?/ ?= ?,?+ ?= 13,. ?的?周长为 13解答】解： ?是 ?

15、的垂直平分线,. ?= ?，?. ?的?周长 = ?+ ?+ ?= ?+ ?+ ?= ?+ ?，?/ ? ?,?+ ? 13,. ?的?周长为 1315.【答案】证明：?a ?.Z ?= Z ?= 30 °°/ / ?+ / ? Z ?= 180 °,.Z ?180 ° - 30°- 30°= 120°,/ / ?45 °,.Z ?/ ? z ?=120 ° - 45° = 75 °/ / ?45 °, Z ?= 30 °.z ?=?z ?+ z ?=?75

16、76;，.z ?=?z ?,?. ?=? ?,?. ?是?等腰三角形【解答】证明：?= ?.z ?= z ?= 30°,/ z ?+ Z ? Z ?= 180 °,.z ?=?180 ° - 30° - 30°= 120°，/ z ?45 °,.z ?=?z ?-?z?=?120° - 45°=75°；/ z ?45 , z ?= 30.z ?z ?+ Z ?75 °,.z ?z ?. ? ?, ?等腰三角形.16.【答案】证明：？?？?,？?是？?边上的中线,?=1? ? 1 ?/

17、?1 ?2. ? ?/ ?L? ?平分 z ?【解答】证明：？?？?,？?是？?边上的中线,.?=1? ? 1 ?/ ?1?2. ? ?/ ?L?平分 z ?17.【答案】如图，点？为所求作的图形,B D理由：?$ ? ?L ?.z ?/ ? ? ?是?的垂直平分线，连接？?,？交？?于？连接？?并延长交?于?,.?2= ?.?=? z ?.z ?= z ?. ? ?, z ?= z ?f ? ? ? = ?,如图，点？为所求作的图形，理由：同1的方法即可得出，？?=?.【解答】如图，点？为所求作的图形，B D理由：. ？=?,? ?L?.z ?z ?= ? ?是?的垂直平分线，连接?,?交？

18、?于？连接？?并延长交?于?,. ?= ?.z ? z ?.z ?= z ?. ? ?,? / ?= z ?f ? ?二? = ?,如图，点？为所求作的图形，理由：同(1)的方法即可得出，?= ?.18.【答案】/ z ?120 ° ° ?= ?，1OOz ?= z ?= 2 (180 - z ?=30 ,/ ?的垂直平分线?，. ?= ?.z ?z ?= 30 °,.z ?z ?+ z ?60 °./ z ?= 30 °, z ?=60 °,.z ?90 °,/ ?=2,. ?= 2?= 4,/ ?= ?=2 ,. ?=?

19、. ?= 2 + 4 = 6.【解答】/ z ?120 ° ° ?= ?1 ° oz ?= z ?= 2(180 - z ?=30 ,/ ?的垂直平分线?. ?= ?.z ?z ?= 30 °.z ?/ ?+ / ?60/ Z ?= 30 , Z ?字?60 , Z ?90 °,/ ?2,. ? 2? 4,/ ? ?2 ,? ? 2 + 4 = 619.【答案】 ?等边三角形，. ?= ?, z ?= 60 °,/ ?£?于?.Z ?90 °,.Z ?30 °,. ?= 2?在？?，设?= ?贝V ?=

20、2? ?=2 v3,由勾股定理得：2?-? =2 v32,解得：？= 2,所以?= 2, ?=4, / ?= 2: 1 , .?=2,. ?=?.?=6,/ ?= ?.?=6, / ?=? ?=6 - 2 = 4 .【解答】 ?等边三角形,?= ? / ?= 60 °? 厶/ ?£?于?./ ?90 °,./ ?30 ° ,. ?= 2?在？?，设?= ?贝V ?= 2?/ ?2 v3,由勾股定理得：(2?f- ? = (2 v3)2, 解得：？?= 2,所以？?辛 2, ?4,/ ? 2: 1 ,? 2,. ? ?. ?6,/ ? ?.?6,/ ?2?

21、 ?6 - 2 = 420.【答案】/ ? ? ?为？?边的中点i?£? z ? Z ? 1 Z ?' 2 .Z ?+ Z ?90 °/ ?£ ?.Z ?+ Z?90 °1.z ? z ? - Z ?2 即 Z ?2 Z ?/ ?辛 6, ?辛 21.? ?=> 6 X 2 X 2 = 6 ?为？?边的中点 -? ? ? 6-? ?12【解答】. ? ?, ?为？?边的中点1?£? Z ? Z ? - Z ?'2 Z ?+ Z ?90 °/ ?£ ?.Z ?+ Z ?90 °1.z ? Z ?

22、 1 Z ? 2/ ?辛 6, ?辛 21? ?=> 6 X 2 X 2 = 6 ?为？?边的中点 -? ? ? 6? ?12【答案】解：(1 )T Z ? Z ? Z ?平分 Z ?1./ ? / ?2 1( / ? / ?)/ ?平分 Z ?./ ? 1 / ?2 "1.Z ? Z ? Z ? Z ? Z ?2 1 1?2 / ? 2 ( / ? / ?)1./ ? 1 / ?2 ，即 / ? 2 / ?(2) 过占？?乍? I ?于？ ?|?的延长线于 ? ?| ?于？ j 人 7 _ 八、 I I I I * HI J -J*1 * J/ ?平分 / ?丄？ ?L ?

23、? ?平分 / ? | ? ?| ? "I 丿 J /_ 1 1 ?= ? ?/. ?平分 z ?1 1 °.z ?1 z ? ；(180 - z ?)z ?+ z ?12 (1801 。 z ?) 2 z ? 90 .【解答】解：(1) v z ? z ? z ?平分 z ?1 1.z ? z ? ( z ? z ?)/ ?平分 z ? z1? - / ?2 z1? z ? z ? z ?1 z ?2 '1 1? 2 z ? 2 ( z ? z ?)1? - / ?2? 2 z ?(2) 过占？?乍?I ?于？ ?|?的延长线于 ? ?| ?于？ j 人 7 _

24、八、 I I I I * HI J -J*1 * J/ ?平分 z ?丄？ ?L ?,?.?仝?/ ?平分 z ?丄? ?£?. ?_?.?仝?平分 z ?1 1 。.z ? 2 z ? 2 (180- z ?)22.【答案】 解：应用：因为？?= ?1由?= 2?得?=? 7:./ ? 45 ,故/ ? 90 ° 探究： ?= 5, ?= 3 : ? V? ?= V5 - 32 = 4 , 假设?= ?,?设?= ?那么？+ 32:?=；，即?= 8, 假设? ?那么?= 2 假设？?？ ?由图知，在 ? ?,不可能成立.故?= 2或8.【解答】解：应用：因为？?= ?2由?= 2?得?=?