《1.3柱坐标系和球坐标系》导学案

1、在平面极坐标系的基础上，通过极点的三个数r,0, z构成的有序数组(r, 0, z)就叫作点M的P的极坐标为(r,0),则这样特别地,r=常数，表示的是以z轴为轴的1.3柱坐标系和球坐标系导学案课程目标引航1了解在柱坐标系，球坐标系中刻画空间点的位置的方法.2掌握点的坐标系之间的互化，并能解决简单的实际问题.基础知识巩固1.柱坐标系0,再增加一条与极坐标系所在平面垂直的z轴,，这里规定r, 0, z的变化范汽 0<0< 2 n, zv+80=常数，表示的是过z轴的；z=常数，表示的是与xOy平面平行的_ 显然，点M的直角坐标与柱坐标的关系为x= z=乙【做一做1 1】点A的柱坐标是

2、(2, 6, 7丿，则它的直角坐标是 .【做一做1 2】点B的直角坐标为(1,3, 4)，则它的柱坐标是 2.球坐标系设M(x, y, z)为空间一点，点M可用这样三个有次序的数 r,程 球确定，其中r为原点0到点M间的距离，0为有向线段0M与z轴正方向所夹的角，0为从z轴正半轴看，x轴正半轴按逆时针方向旋转到有向线段 0P的角，这里P为点M在xOy平面上的投影(如图).这样的三 个数r, 0 0构成的有序数组(r, 0 0)叫作点M的，这里r, 0 0的变化范围为0奇+ 汽 OWQWn, OWQ< 2 n,特别地，r =常数，表示的是 ; $=常数，表示的是以原点为顶点，z轴为轴的圆锥

3、面；常数，表示的是过z轴的半平面.点M的直角坐标与球坐标的关系为x = |OP|cos 0=,y = |OP|sin 0=,z=.丄33、【做一做2 - 1】设点M的球坐标为, 4 n, 4冗丿，则它的直角坐标是 .【做一做2 -2】将点M（1 , - 1，寸6）化成球坐标为 .重点难点突破1.在研究空间图形的几何特征时，应该怎样建立坐标系？剖析：我们已经学习了数轴、平面直角坐标系、平面极坐标系、空间直角坐标系、柱坐 标系、球坐标系等.坐标系是联系形与数的桥梁，利用坐标系可以实现几何问题与代数问题的相互转化.不同的坐标系有不同的特点，在实际应用时，我们就可以根据问题的特点选择适当的坐标系， 借

4、助坐标系方便、简捷地研究问题.当图形中有互相垂直且相交于一点的三条直线时，可以利用这三条直线直接建系.有些图形虽然没有互相垂直且相交于一点的三条直线，但是图形中有一定的对称关系（如：正三棱锥、正四棱锥、正六棱锥等），我们可以利用图形的对称性建立空间坐标系来解题.有些图形没有互相垂直且相交于一点的三条直线，但是有两个互相垂直的平面，我们可以利用面面垂直的性质定理，作出互相垂直且相交于一点的三条直线，建立空间坐标系.2空间直角坐标系、柱坐标系都是刻画点的位置的方法，它们有什么联系和区别？剖析：在直角坐标系中，我们需要三个长度x, y, z;而在柱坐标系中，我们需要长度，还需要角度，它是从长度、方向

5、来描述一个点的位置，需要r, 0乙空间直角坐标：设点 M为空间一已知点.我们过点 M作三个平面分别垂直于 x轴、y轴、 z轴，它们与x轴、y轴、z轴的交点依次为P, Q, R,这三点在x轴、y轴、z轴的坐标依次为x,y,乙于是空间的一点M就唯一地确定了一个有序数组（x, y, z）.这个组数（x, y, z）就叫做点M的坐标，并依次称x、y和z为点M的横坐标、纵坐标和竖坐标.（如图所示）坐标为（x，y，z）的点M通常记为M（x，y，z）.这样，通过空间直角坐标系，我们就建立 了空间的点M和有序数组（x， y，z）之间的一一对应关系.如果点M在yOz平面上，贝U x= 0；同样，zOx平面上的点

6、，y= 0； xOy平面上的点，z= 0. 如果点M在x轴上，则y= z= 0;如果点M在y轴上，则x= z= 0;如果点M在z轴上，则x= y = 0. 如果M是原点，贝U x= y= z= 0等.这两种三维坐标互相不同，互相有联系，互相能够转化，都是刻画空间一点的位置，只是描述的角度不同.答案:1 .柱坐标 圆柱面 半平面 平面 rcos 0 rsin 0n【做一做 1 - 1 】(,3， 1，7) x= rcos 0= 2 cos§= ,3，ny= rsin 0= 2sin6 = 1， z= 7，点A的直角坐标为C.3，1，7).(n【做一做 1 2】2，3， 4 丿 x= 1

7、 = rcos 0, y=羽=rsin 0,n. tan 0= 3. v 0 W0< 2 n x> 0, 0= 3, r = 2, z= 4,(n 、点B的柱坐标为2, 3，4 .2 .球坐标 以原点为球心的球面 rsin $ cos 0 rsin $ sin0 rcos $【做一做2 1】(1, 1, .2)由公式得3 3x= 2sin4 n cosn= 1,33y= 2s"4 n si” n= 1 ,z= 2COS4 n= , 2,点M的直角坐标为（一1 , 1 , . 2）.了 n 3 n【做一做2 2】©/2, 6， 4丿 设点M的球坐标为(丫，0,&#

8、174; ,222x2+y212+123则r =- 2+ 平 2 = 2寸2, tan 0= z =彊=3，由。壬冗，知 $n=6， y 1又tan 0= x= i = 1, OW0< 2 n, x>0,3n_n 3n 0=M(1 , 1 ,6)的球坐标为 2 2, 6, 7 .典型例题领悟题型一 柱坐标与直角坐标的互化【例1】将点M的直角坐标化为柱坐标，将点P的柱坐标化为直角坐标.(1)M( 1,3, 2) ； (2)P 2, 4, 1 .分析：利用相关公式代入进行转化求值.反思：已知直角坐标求柱坐标，可以先设出点M的柱坐标为(r , 0 z)，代入变换公式x= rcos 0 ,

9、yy= rsin 0， 求r,也可以利用r2 = x2 + y2求r,利用tan 0= x求0 ,在求0的时候特别注意角Z= z0所在的象限，从而确定 啲取值；已知柱坐标求直角坐标时，将r, 0, z的值代入变换公式x= rcos 0,y= rsin 0 , 即可.Z= z题型二 球坐标与直角坐标的互化【例2】将点M的直角坐标化为球坐标，点 P的球坐标化为直角坐标.(1)M(1,3 , 2);(2)P 2 , 6，3 .分析：利用相关公式代入进行转化求值.反思：由点M的直角坐标化为球坐标时，可以先设点M的球坐标为(r , 0, 0 ,再利用变|x= rsin 0cos 0 ,换公式'y

10、= rsin柚门0 ,求出r, $ , 0代入点的球坐标即可；也可以利用r2= x2 + y2+ z2 ,z= rcos 0yztan = x , cOs0 = r.由直角坐标求球坐标，在确定 和0的取值时，要特别注意 E和0的取值范 围以及点M的位置，由球坐标化为直角坐标时，可直接代入变换公式，计算x , y , z的值即可.题型三 柱坐标、球坐标的实际应用【例3】一个圆形体育馆，自正东方向起，按逆时针方向等分为十六个扇形区域，顺次记为一区，二区，十六区，我们设圆形体育场第一排与体育馆中心的距离为200 m,每相邻两排的间距为1 m,每层看台的高度为0.7 m，现在需要确定第九区第四排正中的

11、位置 A , 请建立适当的坐标系，把点 A的坐标求出来.反思：找空间中一点的柱坐标，与找平面极坐标是类似的，需要确定极径、极角，只是比平面极坐标多了一个量，即点在空间中的高度.题型四易错题型【例4】将直角坐标系中的点 M( 3,3, 3)转化成柱坐标.错解：设点M的柱坐标为(r, 0, z),= rcos 0,一 3= rcos 0,则由”y= rsin 0,得"念=rsin 0 ,Z= z ,Z= 3. tan0= 3 .511OW0< 2 n,0= 6 n或 0= 6 n511当0= 6 n时,r = 2 . 3 ;当 0= 6 7时,r = 2；*3.M点的柱坐标为2.3

12、 , 6 n 3或一2 3 ,号n, 3 .5错因分析：在求解6时,没有注意还有一个条件即 x = 3 v 0, = 6兀 另 r 0 , + a)故 r = 2 3 v 0错误.答案：【例1】解：设M点的柱坐标为(r , 0, z),x= rcos 0,f 1 = rcos 0 ,则有y= rsin 0,? i电=rsin 0,?tan 0心z= zJ= 2 ,2n又/ 0<0v 2 n, xv 0, 0= 3 , r = 2. m点的柱坐标为2 , 2r, 2 .设P点的直角坐标为(x , y , z),则有nx= rcos 0= 2cos4= , 2 ,ny= rsin 0= 2s

13、in4= , 2 ,z= z= 1 ,点P的直角坐标为(.2 ,2 , 1).【例2解：(1)设M点的球坐标为(r , © , 0 ,x= rsin ©cos 0 , 则有 y= rsin ©sin 0,Z= rcos ©rsin ©cos 0,3= rsin 空in 0 ,2 = rcos （）,- tan 0= -J3. T 0W0< 2 nx> 0,n 0= 3，r = x2+ y2+ £=12+32+ 22= 2 2. 2= 2 2cos © cos ©=亍nT 0<©<n

14、 , - ©= 4.M点的球坐标为设P点的直角坐标为(x, y, z),则有广x= rsi ny= rsinn n 1©cos 0= 2sin6COS3= 2 ,n n v3（）sin 0= 2sin6Sin3= 2 ,z= rcosn©= 2cos6= . 3.3， p点的直角坐标为1 , 2,【例3】解：以圆形体育馆中心O为极点，选取以O为端点且过正东入口的射线 Ox为极2 n 1717 n轴，在地面上建立极坐标系，则点A与体育场中轴线 Oz的距离为203 m,极轴Ox按逆时针方向旋转16x2 = 16，就是OA在地平面上的射影，A距地面的咼度为2.8 m,因

15、此点A的柱坐17 n标为 203, 16 , 2.8 .【例4】正解:设点M的柱坐标为(r, 0 z),ytan 0= xz= 3.x= r cos则由y=rsiniZ= z ,5/ 0<9< 2n且x< 0,. 9= 6 n r = 2yJ3.M点的柱坐标为随堂练习巩固1设点M的直角坐标为（1 ,-3，9）, 则它的柱坐标是（）.A .'2, n,9 iI 3丿（2,竺93C. C2导2即I n2在球坐标系中，M 4,与N i 4, , n两点间的距离是.4 6. 4 33设点A的柱坐标为亠64，则它的球坐标为4用两个平行平面去截球，在两个截面圆上有两个点，它们分别

16、为A 18,neA i4，求出这两个截面间的距离.答案: 5 n1. D/ r = . 12+ /32= 2, 9= 3 , z= 9,点M的柱坐标为（2,于，92. 4设点M 4, 4，6的直角坐标为（x, y, z），则x= rsiny= rsinn n 亚並0cos 9= 4sin4cos6 = 4X 2 X2 = . 6,n n亠2 1（j）sin 9= 4sin4sin6 = 4X 2z= rcos0= 4cos4= 2 . 2. M点的直角坐标为0.6, . 2, 2 2）,同理，N点的直角坐标为（一 2,6 , 2 ,2）.|MN|=,6+ ,22+,2 .62+? .2 2 ,223.n n,6 , 4 设A的直角坐标为(x , y , z),. n贝U x= rcos 0= 2cos4= 1,ny= rsin 0= , 2cos4= 1, z= 6,点A的直角坐标为(1 , 1,6)设点A的球坐标为(r, 0,"x= rsin 0cos 0,则有 Jy= rsin Osin 0"1 = rsin 0cos 0?1 = rsin 空in 0,：;6= rcos 0. tan 0= 1.又T 0<(X 2 n, x> 0,n 0= 4