如何求定义域、值域

1、南通市天星湖中学2013.1高一数学期末复习（2）函数的概念与表示方法-17 -函数的定义域与值域及解析式一、知识梳理：1函数的基本概念（1）函数的定义：设 A, B是两个非空的，如果按照某种对应法则f,使对于集合 A中的每一个元素x，在集合B中都有 的元素y和它对应，那么这样的对应叫做从A到B的一个函数，记作函数的三要素:相等函数：如果两个函数的完全一致，则这两个函数相等,这是判断两函数相等的依据.2.函数的表示法有:3映射的概念：设 A、B是两个非空集合，如果按某一种对应法则f,对于A中的每一个元素，在B中都有确定的元素与之对应,那么这样的单值对应叫做集合A到集合B的4.函数与映射的关系由

2、映射的定义可以看出，映射是概念的推广，函数是一种特殊的映射， 要注意构成函数的两个集合 AB必须是非空数集.5函数的定义域:(1)在函数y = f（X）,x A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的求定义域的步骤写出使函数式有意义的不等式（组）;函数f（x）=x0的定义域为 解不等式组;写出函数定义域.（注意用区间或集合的形式写出 ）常见基本初等函数的定义域分式函数中分母不等于零.偶次根式函数、被开方式大于或等于 0. 一次函数、二次函数的定义域为 y= ax (a>0 且 a丰 1) , y= sin x , y= cos x，定义域均为 y= tan x的定义域为.6函数的值域(

3、1)在函数y= f(x)中，与自变量x的值相对应的y的值叫函数值，函数值的集合叫函数的值域.(2)基本初等函数的值域 y = kx + b (k M 0)的值域是 y= ax2 + bx+ c (a m0)的值域是：当 a>0时，值域为当a<0时，值域为ky= - (k丰0)的值域是xy= ax (a>0且1)的值域是 y= logax (a>0且aM 1)的值域是 y= sin x , y = cos x 的值域是 _y= tan x的值域是(3 )函数值域的求法：利用函数的单调性2利用配方法：形如yax +bx + c(a HO)型，用此种方法，注意自变量x的范围.

4、利用三角函数的有界性，如Sin X引行,COSX -1,1.ax2 + bx + e利用“分离常数”法：形如y=cx +d或y" cx + d (a,c至少有一个不为零)的ax +b函数,求其值域可用此法.利用换元法：形如y = ax +b ± Jcx+d型,可用此法求其值域.7.函数解析式的求法(1)换元法：若已知f(g(x)的表达式，求f(x)的解析式，通常是令g(x) =t，从中解出x =(t)，再将 g(x)、x代入已知解析式求得f(t)的解析式，即得函数 f(x)的解析式，这种方法叫做换元法,需注意新设变量“ t ”的范围.待定系数法：若已知函数类型，可设出所求函

5、数的解析式，然后利用已知条件列方程(组)，再求系数.(3)消去法：若所给解析式中含有f(x) > f G或f(x)、f( - x)等形式，可构造另一个方程,込/通过解方程组得到f(x).(4)配凑法或赋值法：依据题目特征，能够由一般到特殊或由特殊到一般寻求普遍规律,求出解析式.二、自我检测1.有以下判断:|x|1(x>0)(1) f(x)=一与g(x) =表示同一函数;x 1 (x<0)函数y = f(x)的图象与直线x = 1的交点最多有1个;f(x)= x2 2x+ 1 与 g(t) = t2 2t+ 1 是同一函数；若 f(x) = |x 1| - |x|，则 f其中正

6、确判断的序号是2.试判断以下各组函数是否表示同一函数:(i)y=1, y = x0；=pX 2 Qx + 2, y =7X2 4;3.(3)y(4)y=|x|y = 3t3;,y = h/X)2.(1)已知a,b为两个不相等的实数，集合M= a2 4a, 1, N= b2 4b+ 1, 2,:xx表示把M中的元素x映射到集合N中仍为X,贝y a+ b=已知映射f : 2B.其中 A= B= R 对应法则f: XTy = x2+2x,对于实数 k B,在集合A中不存在元素与之对应，则k的取值范围是log2(1 X),X w 0,4.定义在R上的函数f(x)满足f(x)=<则f(2 013)

7、的值为lf(x1) f(x 2), x>0,三、典型例题:例1(1)函数f(x)= -j筐 + lg(3x + 1)的定义域为p1 x函数y=7豐3：)+ 4的定义域为X 一 4若函数f(x)=一的定义域为R,则实数m的取值范围是1,1，贝y f(log2X)的定义域是、' 'mx 十 4mx十 3(4)若函数f(2x)的定义域是例2求下列函数的值域.(1) y = x2+ 2x (x 0,3);X 3(2)y=X+7 ；变式:y=X2x2H(3)y = x y 1 2x;例3已知f(x+x卜x2+X2,求f(x)的解析式;(2)已知f,求f(x)的解析式;已知f(X)是

8、一次函数，且满足 3f(x + 1) 2f(x 1) = 2x +17,求f(x)的解析式;已知f(x)满足2f(x) + f貯3x,求f(x)的解析式.已知f(x)是 R上的函数，且 f(0)=1,对任意 x, y R 恒有 f(x-y)=f(x)-y(2x-y+1).求 f(x).四、课堂练习:1.已知2 2f(X) =2+log3X, x 1,9，试求函数 y=f(x) + f(x )的值域.2.函数f(X)记诃2 -3x +2 +J-x2 -3x +4)的定义域为3. ( 1)设f(x)是一次函数且ff(x)=4x+3,求 f(x).已知 f(1- cosx)= sin2 X ,求 f

9、(x).4.设定义在R上的函数f(x)对任意实数x,y 都有 f(x+y)=f(x)+2y(x+y),且满足f(1)=1,求f(0)及f(x)的表达式.五、课后作业1.函数f(x) =-2x的定义域是2.函数的定义域为3.函数4.函数y =2x -3+j13-4x 的值域为5.6.7.y = Jlog0.5(4x2 3x)的定义域为 1f(-x-1) =2x+3，且 f (m) =6，贝U m 等于22函数已知已知函数f(x)和g(x)的图象关于原点对称，且f(x)= x + 2x.1y =(X壬R)的值域为1 +x则函数g(x)的解析式为8.若函数y = Jax2 - 6ax + a +8的

10、定义域是一切实数，则实数a的取值范围是9.已知函数 f(x) =x2 -4ax +2a + 6(a 亡 R)(1) 若函数的值域为 0,畑)，求a的值(2) 若函数f(x)的值都为非负数，求函数 g(a)=2-aa+3的值域10.(选做)已知函数y/x2 严X2 +1的值域为y|1<y<9，求a,b的值。高一数学期末复习（2）函数的概念与表示方法函数的定义域与值域及解析式（教师版）一、知识梳理：1函数的基本概念（1）函数的定义：设 A, B是两个非空的，如果按照某种对应法则f,使对于集合 A中的每一个元素x，在集合B中都有 的元素y和它对应，那么这样的对应叫做从A到B的一个函数，记

11、作函数的三要素:相等函数：如果两个函数的完全一致，则这两个函数相等,这是判断两函数相等的依据.2. 函数的表示法有:3映射的概念：设 A、B是两个非空集合，如果按某一种对应法则f,对于A中的每一个元素，在B中都有确定的元素与之对应,那么这样的单值对应叫做集合A到集合B的4.函数与映射的关系由映射的定义可以看出，映射是概念的推广，函数是一种特殊的映射， 要注意构成函数的两个集合 AB必须是非空数集.5函数的定义域:(1)在函数y = f (x),x A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的求定义域的步骤写出使函数式有意义的不等式（组）;函数f（x）=x0的定义域为 解不等式组;写出函数定义域

12、.（注意用区间或集合的形式写出 ）常见基本初等函数的定义域 分式函数中分母不等于零. 偶次根式函数、被开方式大于或等于 0. 一次函数、二次函数的定义域为 y= ax (a>0 且 a丰 1) , y= sin x , y= cos x，定义域均为 y= tan x的定义域为.6函数的值域(1)在函数y= f(x)中，与自变量x的值相对应的y的值叫函数值，函数值的集合叫函数的值域.(2) 基本初等函数的值域 y= kx + b (k丰0)的值域是 y= ax2 + bx+ c (a丰0)的值域是：当 a>0时，值域为当a<0时，值域为k y= - (k * 0)的值域是xy=

13、 ax (a>0且a* 1)的值域是 y= logax (a>0且a* 1)的值域是 y= sin x , y = cos x 的值域是 y= tan x的值域是(3 )函数值域的求法：利用函数的单调性2利用配方法：形如yax +bx + c(a HO)型，用此种方法，注意自变量x的范围. 利用三角函数的有界性，如Sin X引行,cosx 1,1.ax +b利用“分离常数”法：形如y=cx +d或y "ax2 + bx + ecx + d (a,c至少有一个不为零)的函数,求其值域可用此法.利用换元法：形如y = ax +b ± Jcx+d型,可用此法求其值域.

14、7.函数解析式的求法(1)换元法：若已知f(g(x)X = 0 (t)，再将 g(x)、的表达式，求f(x)的解析式，通常是令g(x) =t，从中解出x代入已知解析式求得f(t)的解析式，即得函数 f(x)的解析式，这种方法叫做换元法,需注意新设变量“ t ”的范围.待定系数法：若已知函数类型，可设出所求函数的解析式，然后利用已知条件列方程(组)，再求系数.(3) 消去法：若所给解析式中含有f(x)、ff ” f(x)、f( - x)等形式，可构造另一个方程,通过解方程组得到f(x).(4)配凑法或赋值法：依据题目特征，能够由一般到特殊或由特殊到一般寻求普遍规律,求出解析式.二、自我检测1.有

15、以下判断：(1)f(x)=与 g(x) = _XL- 1 (x<0)(x0 表示同一函数;函数y = f(x)的图象与直线x = 1的交点最多有1个;f(x) = X2 2x+ 1 与 g(t) = t2 2t+ 1 是同一函数;若 f(x) = |x 1| 凶，则 f f0.其中正确判断的序号是析：对于(1)由于函数f(x)= 乩的定义域为x|x R且xM 0，而函数入1 (x>0 g(x) =1 1 (x<0)的定义域是 R所以二者不是同一函数;对于，f(x)与g(t)的定义域、值域和对应法则均相同，所以 f(x)和g(t)表示同一函数；对于(2),若x = 1不是y =

16、 f(x)定义域的值，则直线 x = 1与y= f(x)的图象没有交点，如果x = 1是y = f(x)定义域内的值，由函数定义可知，直线x= 1与y= f(x)x = 1最多有一个交点；对于 (4),由的图象只有一个交点，即 y = f(x)的图象与直线综上可知，正确的判断是(2) , (3) 2. 试判断以下各组函数是否表示同一函数:(i)y=1, y = X0；(2)y=pX 2 寸X + 2, y=JX2 4;(3)y(4)y析：(i)y=x, y =認；=|x| , y = (VX)2.=1的定义域为 R, y= x0的定义域为x|xR且xM 0 ,它们不是同一函数.(2)y=灰二

17、XT2的定义域为x|x > 2 y =7x2 - 4的定义域为x|x >2或x<- 2，它们不是同一函数.(3) y = x, y = 诟 =t，它们的定义域和对应法则都相同，.它们是同一函数.(4) y = |x|的定义域为 R y = (&)2的定义域为x|x >0，它们不是同一函数.3. (1)已知a, b为两个不相等的实数，集合M= a2 4a, 1, N= b2 4b+ 1, 2,f : xfx表示把M中的元素x映射到集合N中仍为x,贝U a+ b = _4.(2) 已知映射f : AtB.其中A= B= R 对应法则f : X7y= x2+ 2x ,

18、对于实数 k B,在集合A中不存在元素与之对应，则k的取值范围是严4a+ 2 = 0,lb2 4b+ 2 = 0,a + b= 4.fa2 4a= 2,析:(1)由已知可得M" N故L-4b+ 1 = 1所以a, b是方程x2 - 4x + 2 = 0的两根,(2)由题意知，方程一 x2 + 2x= k无实数根，即x2 2x + k= 0无实数根. = 4(1 k)<0 , k>1 时满足题意.4. 定义在R上的函数 f(x)则f(2 013)的值为log2(1 x), 满足 f(x) =f(x 1) f(x 2), x>0,_0.三、典型例题:例1 (1)函数f(

19、x)=寻亡+1 xlg(3x + 1)的定义域为函数y=ln(x + 1)7 x23x+ 4的定义域为.(1,1)x4若函数f(x) =2 A 4 , e的定义域为R,则实数m的取值范围是'， ' mx + 4mx + 3(4) 若函数f(2x)的定义域是1,1，贝y f(log2X)的定义域是0，S.M2, 4.例2求下列函数的值域.(1)y = x2+ 2x (x 0,3);X 3(2)y=x+7 ；变式:y=(3) y = x 71 - 2x;析： (1)(配方法)y = x2 + 2x = (x + 1)2 1 , y = (x + 1)2 1 在0,3上为增函数, 0

20、<yw 15,即函数 y = x2 + 2x (x 0,3)的值域为0,15.(2)(分离常数法)y = x+x 3 x + 1 44LL,、，4=1 - x+i 因为 r+r0,所以 17+r1,即函数的值域是y|y R,沪 1.，又 X2 一 X+ 1 =(舟*4 >31变式；/ y= 1 x x+ 1141- 0< w -, -w y<1.函数的值域为x x+ 1 331 t2 方法一 (换元法)令寸1 2x = t，贝U t0且x = 21 一 12 1 1于是 y=2t = 2(t +1)2 +1，由于 t>0,所以 yw2,故函数的值域是y|y w11

21、例3 (1)已知f f+ 1卜x2+x2,求f(x)的解析式;已知f i已知f(x)已知f(x)已知f(x)求 f(x).'Xf + 1 L Ig X，求f(x)的解析式；宅丿)是一次函数，且满足 3f(x + 1) 2f(x 1) = 2x +17,求f(x)的解析式;满足2f(x) + f C 1= 3x，求f(x)的解析式.是 R上的函数，且 f(0)=1,对任意 x, y R 恒有 f(x-y)=f(x)-y(2x-y+1),析：(1)令 x + x = t,贝y t2= x2 + 4 + 2> 4. t> 2 或 tw 2 且 x2+ 4= t2 2, f(t)=

22、 t2 2，即2f(x)= x 2 (x> 2 或 xw 2).2(2)令-+ 1 = t,由于x2 2 2x>0, -1>1 且 x =, - f(t) = lg ，即 f(x) = lg (x>1).t 1t 1x 1设 f(x)= kx+ b, 3f(x + 1) 2f(x 1) = 3k(x + 1) + b 2k(x 1) + b|k= 2|k = 2=kx + 5k + b= 2 + 17 j，即 j.- Hx) = Zx + 7.l5k + b= 17lb= 7(4) 2f(x)+ f3x, 2f + f(x)= x. f(x)= 2x - (x丰 0).

23、(5) f(x-y) =f(x)-y(2x-y+1), 令 y=x，得 f(0)= f(x)- x(2x-x+1),2 f(0)=1 ,.f(x)=x+x+1.四、课堂练习:1. 已知 f(x) = 2 + Iog3x , x1,9，试求函数 y = f(X)2 + f(X2)的值域.2. 函数 f (x)二11n( Jx2 -3x +2 +J x2 -3x +4)的定义域为 x3. ( 1)设 f(x)是一次函数且 ff(x)=4x+3, 求 f(x).(2) 已知 f(1- cosx)= sin2 X ,求 f(x).4.设定义在R上的函数f(x)对任意实数x, y都有f(x+y)=f(x)