《1.1.2余弦定理》导学案1

1、1.1.2余弦定理导学案1学习目标知识与技能：掌握余弦定理的两种表示形式及证明余弦定理的向量方法，并会运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题。过程与方法：利用向量的数量积推出余弦定理及其推论，并通过实践演算掌握运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题情感态度与价值观：培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力；通过三角函数、余弦定理、向量的数量积等知识间的关系，来理解事物之间的普遍联系与辩证统一。教学重点余弦定理的发现和证明过程及其基本应用；教学难点勾股定理在余弦定理的发现和证明过程中的作用。学习内容一、引入：在.'：ABC 中，设 BC= a， AC= b， AB= c，已知

2、a， b和 / C，求边 c、新课学习:联系已经学过的知识和方法，可用什么途径来解决这个问题？ 用正弦定理试求，发现因 A、B均未知，所以较难求边 c。 由于涉及边长问题，从而可以考虑用向量来研究这个问题。设 cB=a，cA=b，ab=c，那么 c=a -b，则彳2c =sc呻右b 代尸b2b烧/ 二a b -2a b同理可证a2 =b2 c2 2bccosAb2 二a2 c22accos B于是得到以下定理余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍。即a2=b2c2 2bccosA2 2 2b a c -2accosBc2 =a2 b2 -2

3、abcosC思考：这个式子中有几个量？从方程的角度看已知其中三个量，可以求出第四个量，能否由三边求出一角？2 2 2(由学生推出)从余弦定理，又可得到以下推论：cosAr a2bccosB 士 cosC 士余弦定理则指出了一般三角思考：勾股定理指出了直角三角形中三边平方之间的关系, 形中三边平方之间的关系，如何看这两个定理之间的关系?若.:ABC 中，C=900，则 cosC = 0 ,这时 ca2 b2由此可知余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定理的特例。三角形的几个面积公式:(1)S= -ah(h表示a边上的高)2111ab sin C = bc sin A= ac sin B222

4、1S= r(a+b+c)(r为内切圆半径)2WS= p(p -a)(p -b)(p -c)(其中 -(a b e)理解定理余弦定理及其推论的基本作用为： 已知三角形的任意两边及它们的夹角就可以求出第三边； 已知三角形的三条边就可以求出其它角。【例题分析】例1 在.：ABC 中，已知 a =2.3 , B =60°，求 b及 A解：t b2 二a2 c22accosB=(2 3)2 C 6-2)2 2 3 ( 62) cos45°=12(、.6、2)2 -4.3( 3 1)=8二 b=2 2.求A可以利用余弦定理，也可以利用正弦定理:cos A =b2 c2 -a2bc解法一

5、：=（2_2）2_（_6_2）l（2_3）2 J _2煜屈：（76+问P A =60°边。解法Sin A *sinB=2 32J2sin 45°,又 T . 6 一 2 > 2.4 1.4 =3.8,2 3 v 2 1.8 =3.6, a v c，即 00 v A v 900,- A=600.评述：解法二应注意确定A的取值范围。例2.在.: ABC 中，已知 a =134.6cm , b =87.8cm , c=161.7cm，解三角形 解：由余弦定理的推论得：cos A =2bc87.82 161.72 -134.62二2X87.8X161.70.5543,A ：

6、56020 ;cos B 二22ca二134.62 1 61.72 -87.82二 2勺34.6咱61.70.8398,B ： 32053 ;C =180。-(A B) 1800 -(56020 32053)课堂小结（1）余弦定理是任何三角形边角之间存在的共同规律，勾股定理是余弦定理的特例；余弦定理的应用范围：.已知三边求三角；.已知两边及它们的夹角，求第三课后作业1. 已知a、b、。为厶ABC的三边长，若满足(a + b c)(a+ b+ c)= ab,则/ C的大小为()A. 60° B. 90° C. 120° D . 150°2. 在 ABC中，

7、已知sin A : sin B : sin C= 3 : 5 : 7,则这个三角形的最小外角为()A. 30 ° B. 60 ° C. 90 ° D. 120 °3. 在 ABC 中，已知 b2= ac且c= 2a，则 cos B 等于 ()1 3亠2亠2A. 4B.4 C. 4 D. 34. 若 ABC的内角A、B、C所对的边a、b、c满足(a + b)2 c2= 4,且/ C= 60°则ab的值为( )4A.3B. 84 .3C. 12D.35. 已知 ABC的三边长分别是2m+ 3, m2 + 2m, m2 + 3m+ 3(m>0)

8、，则最大内角的度数是.6. 在 ABC 中，已知 a= 2, b = 4, C = 60 °,则 A =.2 2 27. 在 ABC 中，sin A<sin B + sin C sin Bsin C,则 A的取值范围是()C. 0, nD.n3 n&如果将直角三角形的三边增加同样的长度，则新三角形的形状是（）A .锐角三角形B .直角三角形C.钝角三角形D .由增加的长度确定9厶 ABC 中，sin2A=sin2B+si门2。，则厶 ABC 为（）A直角三角形B等腰直角三角形C等边三角形D等腰三角形tan A sin A10. AABC中，则三角形为tan B sin B11. 在厶ABC中，已知B=30°, b=50j§ , c=150，那么这个三角形是（）A等边三角形B直角三角形C等腰三角形D等腰三角形或直角三角形12. 在厶 ABC 中，若 b2sin2C+c2sin2B=2bccosBcosC，则此三角形为 丿A直角三角形B等腰三角形C等边三角形D等腰直角三角形13. 在厶ABC中，已知a b= 4, a + c= 2b，且最大角为