大学高等数学第一章函数(习题集精讲)

1、第1章函数§ 1.1 函数的概念与性质1 .绝对值与不等式 (a 0, b 0)(1) xxx；xyxyxy(2) 2 Tab ab (调和平均值几何平均值算术平均值)1 12a b般地， 11 n xx2L xn L 一 K x2xnx1 x2Lxn(3) max a,ba b a bla b a b1 ； min a, b 22222.函数概念与性质对变量x D的每一个确定值，变量 y按某确定规则f ,都有且只有一确定值与之对应，则称变量y是变量x的函数，记为y f(x), x D。注意：定义域 D和对应规则f是函数相等的两要素。(1)无关性 y f(x) f(t) x,t D单

2、调性x1, x2 I , x1 x2f(x1)f (x2)f(x)单调递增f(x1)f(x2)f(x)严格单增f(x1)f (x2)f(x)单调递减f(x)f(x2)f(x)严格单减c-/田冲 f( x) f(x)f(x)为偶函数，对称于y轴(3f ( x) f (x)f(x)为奇函数，对称于原点常用有界函数：sin x 1, cosx 1 ,(,)；注意：函数的奇偶性是相对于对称区间而言,若定义域关于原点不对称，则不是奇/偶函数。(4)周期性若 f(x T) f (x) , T0,则称为f (x)的周期。(5)有界性若x D, f (x)M 0 ,则称f(x)在D上有界。arcsinx23.

3、复合函数arccosxarctanxarccotx设y f(u)的定义域为Df ,(x)的值域为Z ,且Df Z(空集)，则称y f (x)为x的复合函数。4.反函数设y"x)y f (x)定义域为D定义域为Z值域为Z值域为D注意：正反函数的图形对称于直线y x；严格单调函数必有反函数;f f 1(x) x x f(x)的 Zf； f 1 f (x) x x f(x)的 Df5 .初等函数由基本初等函数经过有限次的四则运算和有限次复合而成的，并能用一个解析式表示的函数称为初等函数。基本初等函数：塞函数 y x ( 为实数)；指数函数y ax ( a 0, a 1)；对数函数ylog

4、a x (a 0, a 1)；三角函数 ysin x , cosx, tanx , cotx , secx, cscx ；反三角函数 y arcsin x, arccosx , arctanx , arc cotx .6 .分段函数与哥指函数分段函数一般不属于初等函数，因为一般在其定义域内不能用一个解析式表示；哥指函数y xx一般不属于初等函数，因为它无法用初等函数复合而成；但若规定xxln xx 0,则y x e ,是初等函数。§ 1.2 典型例题解析例3已知不等式|2x 1 |x 1 ,用区间表示不等式的解集1分析 斛此不等式应先去掉绝对值付方，由于 x , x 1分别为2x 1

5、 , x 1的21 _ 1 _零值点，于是将区间划分为(，鼻)，-,1, (1,)，再考虑各小区间x的取值范围及端点，最后综合得出结论。112x 1 1 x (, -) x 2 (,-)1x 0( -,1)x 2 (1,)，1解法 1 2x 1 x 1 2x 1 1 x( -,1)2x 1 x 1(1,)x (, 2)U(0,)解法 2 (2x 1)2 (x 1)2x(x 2) 0 x (, 2) U(0,)2 .函数定义域的求法解题思路(1)分式的分母0,对数的真数0,偶次方根下的表达式0,反正弦、反余弦号内的表达式绝对值1;(2)复合函数的定义域简单函数的定义域所构成的不等式组的解集。例4

6、求下列函数的定义域(1) yarcQ1限1 2) 4x2 3x 4J/解 1 lg(x 2) 0x 2 0x2 3x 4 03x5x 12x 2x 1;x 4(2,4) U 4,5(2)已知f(x)的定义域是0,1，试求 f (x a)f (x a) (a 0)的定义域解 f(x a)的定义域：0 x a 1f (x a)的定义域：0 x a 1f(x a) f (x a)的定义域：xa,1 a I a,1 a,1 -,1 a a, a 一时，定乂域为 a,1 a ；2故取交集定义域为a,1 a3 .函数解析式的求法解题思路(1)将已知变量凑成与 f ()内的中间变量一致的形式，利用函数的无关

7、特性求解;(2)对f()内作变量代换，再利用无关特性与原方程联立求解。(3)由f (x)的表达式求f(x)的一般方法是令u (x),从中解出x1(u)，将其代入f (x)中可得f(u)(2)求下列函数解析式一一 一 1已知 af(x) bf () x(ab),求 f(x)；一人1一解令t代入原式得xbf(t)af(11-)sin(-),则 tt(3)解法f (x解法(1)af(x) bf (bf (x) af (已知1) x-) x-) xsin x. , 1、 sin()x1f(x x) 1nx1421n(XIn x21n(x41)1in 2t,则,1f(t) -in1t2 22f(x1一)

8、 x)x1f (x 一) x1 in( x4一、1， .f (x) -2 (asin xa b1),求 f(x);2xx4 1lin-2 x21三-2x1in 2f(x)In x1 ,21n(xbsin-) x(x j 21.t,则 f(t) -int求下列函数解析式f(x)已知f(ln解令u In x2u ee2(x) 1e2 (x)1(2)已知 f (in x)in x11n 2x211理三11),和原式相加得1)21nL1)(x)的定义域为2uf(u)与 e(x)1 in221nf(x)(x1)2 x1x2 20,且(x)(x)(x)一 in x 2 1 e(x 0)(x)x eu，则f

9、(u)eu 1eu 1 u 0u 0 eu 1 u 0f(x)ex 1x 0xx 04 .利用定义确定函数的有关特性 解题思路(1)若f (x) f( x) 0,则f(x)为奇函数;g(x)分别是以T1,(2)若T是f (x)的周期，则f ax b的周期为T / a ;若f (x),T2 (T1 T2)为周期的函数，则 f(x) g(x)的周期为T1, T2的最小公倍数。(3)将函数取绝对值，由不等式的缩放法或求函数的最值确定函数的有界性;(4)若 x1 x2，且 f (x2)f(x1) 0, f(x2)/f(xj 1,则可确定 f(x)单增性。11、例 7 设 F (x y) F (x) F

10、(y),求 y F (x)( - x) , (a 0, a 1)的奇偶性2 1a1斛设g(x)-xxa 1, 、 a 1,g( x)2(1 ax)2(1 a x)ax 12(1 ax)g(x)由于 F(x y) F(x) F(y),分别令 y 0, yF(x)F(x) F( x) F(0) 0 F( x)即F(x)为奇函数，故y F (x)(1 7 J)为偶函数。例8设f (x)在 a,a (a 0)上有定义，证明：f (x)可表示为一个奇函数与一个偶函数的和，且表示法唯一分析 若(x) (x),( x) (x),则有 f(x) (x)(x),f( x) (x)(x),由此引入辅助函数1.1.

11、证设(x) -f(x)f(x) ,(x)2f(x)f (x)11(x)2f(x)f(x)2f(x)f(x) (x)唯一性：设另有偶函数1(x)及奇函数1(x)使得f(x) 1(x)1(x),则(x)(x) i(x) i(x)(x) i(x) i(x)(x)(x) i( x) i( x) ( x)(x) i(x) i(x)(x)解得(x) i(x),(x) i(x),即表示法唯一。例9证明下列函数为周期函数，并求其最小正周期(1) f (x) sin(2x 3)2解法1由于sin x的周期为2 ,故所求周期为T 2解法 2 f(x) sin(2x 3) sin(2x 3 2 ) sin 2(x)

12、 3 f(x ),T(2) y sin x cosx解 f(x ) 2sin(xcos(x -) 2c0sxsin x f (x)例11设f(x)在(，)上有定义，证明:(1)若y f(x)的图形关于直线 x a (a 0)对称，则f(x a) f (a x)；(2)若y f(x)的图形关于直线x 1, x 2对称，则f(x)是周期的偶函数。分析(1)若y f(x)的图形关于直线x a对称点为(x, y)与(x,y ),则x 2a x, y y f (x) f (2a x)反之，若f(2a x) f (x),则y f(x)关于直线x a对称证(1)必要性：x R,有f(x) f(2a x),则

13、f (x a) f 2a (x a) f (a x)充分性：若x R,有f(x a) f(a x),则f (x)fa (x a) f a (xa)f (2a x)(2)由题设知 f(x1) f (1 x),f(x 2)f (2x),则f(x) f1 (x 1) f1 (x 1)f (2x) f (x2)f( x) f 1 (x 1) f 1 (x 1)f(2 x) f (x)故f (x)是以2为周期的偶函数例12判断下列函数的有界性(1) y2x 22x 2解由a2b2x2 2x2 (x 1)21 2( x1),则例13设(1)(2)(3)2x2x2 2x 22x 2(x 1)22(x 1)2

14、(x 1)f(x)是 0,皿是(0,x2x 22x 22x 22x 2x0,0),证明:的单减函数,)的单减函数,f(x)f(x)f( x)f( x)f(f(f(a b) f(a)f(b)0,b0)证(1)由题设知,1, 0由于f (x)单减，有f( x)f(x)，f(x)(2)由于f(3)令 x例14分析:(2)f(x)f(x)f(x) f(x) f(x)x) xf(x)xf( x) f(x)皿-,则x)f(x), f( x)f(x)f( x) f( x) f(x)f(b)f (a b)求下列函数的反函数 求分段函数的反函数,；(x2 1) 0y 27(2 x) 13x的不同取值范围对应原来函数的值域12解当0 x 1时，y -(x 1)的值域为1-y 1 x 2y 11 一 、当1 x 2时，y (2 x)的值域为34-一1 yx 3y 232y 1 1 y 1、,2x 1故 x2y43y 21 y 3x 23例15在底为a,高为h的三角形中内接一矩形，将矩形面积S表示为其底x的函数。解 设矩形高为y,由三角形相似关系得-hyy h 生，则h aach、S xy x(a x)a例16某商场以每件a元的价