导数应用题解答题专题训练(三)

1、全国名校高中数学导数优质经典学案专题汇编(附详解)导数应用解答题训练(三)1.设函数 f(x) = x+ ax2 + blnx，曲线 y= f(x)过 P(1,0)，且在 P点处的切线斜率为2.求a，b的值;证明：f(x) < 2x 2.(1)解f' (x) = 1 + 2ax + ;.入由已知条件得f1戸0,f (1 )= 2,即1 + 2 0，1 + 2a+ b = 2.解得h1,lb= 3.(2)证明 因为f(x)的定义域为(0 ,+8),由(1)知 f(x) = x X2+ 3lnx.设 g(x)= f(x) (2x 2) = 2 x x2+ 3lnx,则 g'

2、(x) _1-2x + 3* 2x+ 3) xg' (x)vO.当 Ovxvl 时，g (x)>0，当 x>1 时，所以g(x)在(0,1)内单调递增，在(1 ,+ S)内单调递减.即 f(x) < 2x 2.而 g(1) = 0,故当 x>0 时，g(x)< 0,2.已知 ae R，函数 f(x) = ( x2 + ax)ex(x R).(1)当a= 2时，求函数f(x)的单调区间;若函数f(x)在(1,1)上单调递增，求a的取值范围.解当 a= 2 时，f(x) = ( X2+ 2x)ex,f' (x)= ( x2 + 2)ex.当 f'

3、; (x)>0 时，(x2 + 2)ex>0,注意到 ex>0,所以x2 + 2>0，解得V2<x/2.所以，函数f(x)的单调递增区间为(，羽).同理可得，函数f(x)的单调递减区间为(一B,羽)和 翻, 因为函数f(x)在(1,1)上单调递增， 所以f' (x)> 0在(1,1)上恒成立.又 f' (x) = X2+ (a 2)x + aex,即X2 + (a 2)x + aex>0,注意到 ex>0,因此一x2 + (a 2)x + a0在(一1,1)上恒成立，x2 + 2x1也就是a> = X+ 1 -在(1,1)上

4、恒成立.X+ 1X+ 11 1设尸x +1x+?则y' =1+1即y= x + 1 七在(1,1)上单调递增，x + 1133则 y<1 + 1 -k 2,故 2-题型二 转化与化归思想在导数中的应用ex3.设 f(x) = 1+aX2，其中a为正实数.4(1)当a= 3时，求f(x)的极值点;若f(x)为R上的单调函数，求a的取值范围.1 + ax2 2ax解 (1)对 f(x)求导得 f (x)= ex 2.(1 + ax)当 a= 3时，若 F (x) = 0,贝y 4x2 8x+ 3= 0,31解得 X1 = 2, X2=-x1(8, 2)1213(2, 2)323、(2

5、,+ 8)f'(X)+00+f(x)/极大值极小值/综合，可知31所以，x1 = 3是极小值点，x2= 2是极大值点.32若f(x)为R上的单调函数，则 F(X)在R上不变号，结合与条件a>0,知ax2 2ax + 1 > 0在R上恒成立，因此 = 4a2 4a= 4a(a 1)w 0,由此并结合 a>0,知 0vaW 1.4.设函数 f(x) = kx3 3x2 + 1(k> 0).(1)求函数f(x)的单调区间;若函数f(x)的极小值大于0,求k的取值范围.解当 k= 0 时，f(x) = 3x2 + 1, f(x)的单调增区间为(一8, 0，单调减区间为0,+).f 2、 X- k»2 f(x )的单调增区间为(一O, 0 ,1-, +Lk当 k>0 时，f (x)= 3kx2- 6x= 3kxOO,单调减区间为当k= 0时，函数f(x)不存在极小值；8 12=k2- 1F +1>0，当k>0时，依题意fj =IK丿(2 ,+8).即K2>4，由条件k>0，得k的取值范围为呈重点、现规律利用导数来讨论含