2019-2020学年高中数学人教A版选修2-2练习：1.5.1曲边梯形的面积1.5.2汽车行驶的路程含解析

1、应用莱巩固提升r?绛跟一:詈症口A基础达标1.在“近似代替”中，函数f(x)在区间Xi,Xi+1上的近似值()A.只能是区间左端点的函数值f(Xi)B.只能是区间右端点的函数值f(xi+i)C.可以是该区间内任一点的函数值D.以上答案均正确解析：选C.作近似计算时，Ax=Xi+iXi很小，所以在区间Xi,Xi+i上，可以认为函数f(X)的值变化很小，近似地等于一个常数，所以f(X)在区间Xi,Xi+i上的近似值可以是区间Xi,Xi+1上任一点的函数值.2 .设函数f(X)在区间a,b上连续，用分点a=X0XiXi-iXi-Xn=b,把区间a,b等分成n个小区间，在每个小区间xli,Xi上任取一

2、点式i=i,2,，n),作和式Sn=nP1f(8)Ax(其中Ax为小区间的长度)，那么sn的大小()A.与f(x)、区间a,b有关，与分点的个数n和3的取法无关B.与f(x)、区间a,b和分点的个数n有关，与&的取法无关C.与f(x)、区间a,b、分点的个数n和&的取法都有关D,与f(x)、区间a,b和3的取法有关，与分点的个数n无关nnba解析：选C.因为Sn=iJ；f(电及=隔可&)*-,所以S的大小与f(x)、区间、分点的个数和变量的取法都有关.故选C.3 .求由直线x=0,x=2,y=0与曲线y=x2+i所围成的曲边梯形的面积时，将区间0,25等分，按照区间左端点和右端点估计梯形面积分

3、别为()A.3.92,5.52B.4,5C.2.5I,3.92D,5.25,3.59解析：选A.将区间0,25等分为0,5J,2,4J,J,51J,51，J,2，以小区间左端点对应的函数值为高，得=i+(y+i+(y+i+(!)+i+(y+i2X5=3.92,以小区间右端点对应的函数值为高，得S2 =百+1+价+1+面+1+(8j+i+感十1十十1十口十1十口十1十2222+1X5=5.52.故选A.4 .在求由曲线y=1与直线x=1,x=3,y=0所围成图形的面积时，若将区间n等分,x并且用每个区间的右端点的函数值近似代替，则第i个小曲边梯形的面积 A S约等于(2A.- n+ 2i_2B.

4、 二n+ 2i 22C，n (n+ 2i)1D.- n+ 2i解析：选A.每个小区间长度为2,第i个小区间为E n _+ 2 (i 1)nn 2in 122小曲边梯形的面积A Si-2-= 上- n+ 2i n n+ 2in5.若做变速直线运动的物体v(t) = t2,在0wtwa内经过的路程为9,则a的值为(A. 1B. 2C. 3D. 4解析：选C.将区间0, an等分，记第i个区间为:a (i 1)Il n氏1,2,，n)区间长为a，用小矩形面积aia近似代替相应的小曲边梯形的面积，则土i= 1+22+n2)=2n旭似地等于速度曲线v(t)=t2与直线t=0,t=a,t轴围成的曲边梯形的

5、面积.依题意得lim去+1/1+2”=9,noo-3a所以a=9,解得a=3.36 .在区间0,8上插入9个等分点后，则所分的小区间长度为,第5个小区间是.解析：在区间0,8上插入9个等分点后，把区间0,810等分，每个小区间的长度为患5,第5个小区间为母，4答案：5947 .对于由直线x=1,y=0和曲线y=x3所围成的曲边三角形，把区间3等分，则曲边三角形面积的近似值(取每个区间的左端点)是.解析：将区间0,1三等分为一0,3，-3,3I,1,1I,各小矩形的面积和为s=03g+,1答案：98 .求由曲线y=%2与直线x=1,x=2,y=0所围成的平面图形的面积时，把区间1,25等分，则该

6、平面图形面积的近似值(取每个小区间的左端点)是.解析：将区间1,25等分,所得的小区间分别为1,6,6,7,7,刍，8,9,9555555552,于是所求平面图形面积的近似值为=(1+31+49+64+81)=：1X255=1.02.1U25252525,1025答案：1.029 .利用分割，近似代替，求和，取极限的办法求函数y=1+x,x=1,x=2的图象与x轴围成梯形的面积，并用梯形的面积公式加以验证.解：f(x)=1+x在区间1,2上连续，将区间1,2分成n等份，则每个区间的长度为1 Ii-1i3Axi=n,在区1,xi=1+-?1+nJxi1=1+n(i=1,2,3,，n),于是f(。

7、i-1i-1=f(xi1)=1+1+n=2+n,从而5产自预小黑2+.).=氯彳+于)2 11n(n1)=nn+n0+1+2+-+(n-1)=2+n-一2一(n1)51=2+2n=2-2n.则S=limSn=lim甘一2n尸2.noons-2如下进行验证:如图所示，由梯形的面积公式得:115S=1X(2+3)X1=2.10. 一辆汽车做变速直线运动，设汽车在时刻t的速度v(t)=t6:(t 的单位：h, v 的s(单位：km).把区间1 , 2等分成n个小区间n + iTn+ i-(i=1，n),每个区间的长度A t1n,每个时间段行驶的路程记为As(i = 1,，n).单位：km/h),求汽

8、车在t=1到t=2这段时间内运动的路程解：(1)分割.n故路程和Sn=ZASi.i_1(2)近似代替.ASNn+ i1 61i-1 2n1+kJ6n(n+ i 1) 26n忆(i=1, 2,(n+ i 1) ( n+ i)3,n).(3)求和.nSn=6n(n+ i 1) ( n+ i)i = 1=6n_J_+n+ 22n 12n11=6nn-2n.(4)取极限.11s=limSn=lim6n.-2n尸3.n-oon-00nB能力提升11.在等分区间的情况下,1f(x)=i+x2(x0,2)及x轴所围成的曲边梯形的面积和式的极限形式正确的是()21n解析：选B.将区间n等分后，每个小区间白W度

9、为Ax=2,第i个小区间为121)2n-nn(i=1,2,3,，n),则由求曲边梯形的面积的步骤可得曲边梯形的面积和式的极限形式为n00i= 1nlim12 .设函数f(x)的图象与直线x=a,x=b及x轴所围成图形的面积称为函数f(x)在a,b上的面积.已知函数y=sinnx在0,；%6N*)上的面积为n,则y=sin3x在0,2上的面积为.解析：由于y=sinnx在0,;(nN*)上的面积为则y=sin3x在0,手上的面积为白nn_313My=sin3x的周期为学所以y=sin3x在0,早上的面积为3X2=3.4答案：4313 .某物体在笔直的道路上做变速直线运动，设该物体在时刻t的速度为

10、v(t)=7t2(单位：km/h),试计算这个物体在0wtw1(单位：h)这段时间内运动的路程s(单位：km).解：将区间0,1进彳Tn等分，得到n个小区间：0,n1,:21,，仁，1,，即&=：。=1，2,，n),则物体的每个时间段内运动的路程AS7(H) At=- 17 =1,2,，n.A1122=n2n(n+1)(2n+1)1+n2+1 n/6n所以这个物体在0wtw1这段时间内运动的路程为20km.314 .(选做题)如图所示，求直线x=0,x=3,y=0与二次函数f(x)=x2+2x+3所围成的曲边梯形的面积.解：(1)如图，分割，将区间0,3n等分，则每个小区间.|3T)%=1,2,-nn3n)的长度为A x=n个小曲边梯形.3.分别过各分点作x轴的垂线，把原曲边梯形分成(2)近似代替以每个小区间的左端点函数值为高作n个小矩形.S.则当n很大时，用n个小矩形面积之和Sn近似代替曲边梯形的面积(3)求和nSn=fi=13(ii)iAx