压轴题中路径最值问题

1、学习必备欢迎下载+1与y轴交于点A,与x轴交于点D,抛物线y =丄X2 + bx + C与直线交于2A E两点，(1)(2)路径最值问题11、如图，已知直线 y =-x2与X轴交于B、C两点，且B点坐标为（1，0）。求该抛物线的解析式；动点P在轴上移动，当 PAE是直角三角形时，求点P的坐标P。在抛物线的对称轴上找一点M使I AM -MCI的值最大，求出点 M的坐标。22、如图，已知抛物线y= ax+bx+ c与y轴交于点A(0 , 3)，与x轴分别交于B(1 , 0)、C(5 , 0)两点.(1)求此抛物线的解析式；(2)若一个动点 P自0A的中点M出发，先到达x轴上的某点(设为点 E),再

2、到达抛物线的对称轴上 某点(设为点F)，最后运动到点 A.求使点P运动的总路径最短的点 E、点F的坐标，并求出这个最短总路径 的长.3、已知，如图11,二次函数y =ax2 +2ax-3a（aH0）图象的顶点为 H,与x轴交于A、B两点（B在A点 右侧），点H、B关于直线I : y+73对称-（1）求A、B两点坐标，并证明点A在直线I上；（3）过点B作直线HN、 NM、 MK ,求 HN（2）求二次函数解析式；BK / AH交直线I于K点，M、N分别为直线 AH和直线I上的两个动点，连接+ NM +MK和的最小值.学习必备欢迎下载2 4、如图13,抛物线y=ax + bx + c(a丰0)的顶

3、点为(1,4 ),交x轴于 A B,交y轴于D,其中B点的坐 标为(3,0 )E点的横坐标为2，若直线PQ为抛物线 F、H四点围成的四边形周长最小 .若存(1) 求抛物线的解析式(2) 如图14,过点A的直线与抛物线交于点 E,交y轴于点F,其中 的对称轴，点 G为PQ上一动点，则x轴上是否存在一点 H,使D、G 在，求出这个最小值及 G H的坐标；若不存在，请说明理由 .M,过点M作直线MN/ BD,交线段AD(3) 如图15,抛物线上是否存在一点T,过点T作x的垂线，垂足为于点N,连接MD使 DNMTA BMD若存在，求出点 T的坐标；若不存在，说明理由2路径最值问题111、如图，已知直线

4、 y= X+1与y轴交于点A,与x轴交于点D,抛物线y=x+bx + c与直线交于22A E两点，与X轴交于B、C两点，且B点坐标为（1 , 0）。PAE是直角三角形时，求点P的坐标P。（1）求该抛物线的解析式；（2）动点P在轴上移动，当（3）在抛物线的对称轴上找一点M使I AM - MC I的值最大，求出点M的坐标。解：(1)将A (0, 1)、B (1, 0)1 2，解得C =1坐标代入=-£ +加c + £抛物线的解折式为冷八1" 1 ；1 I 31（2）设点E的横坐标为m则它的纵坐标为期13 1即E点的坐标（啣，牙即-W+1）又点E在直线，=2就+ 1上1

5、33,1.+ 1 = + 1门.222解得旳=° （舍去），叫=4,.e的坐标为（l）当A为直角顶点时，过A作AP丄DE交 X轴于P点，设P1 （a, 0）易知D点坐标为（-2 , 0）DO OA 2111由 Rt AODo Rt PO得芮=乔即 Y = - , a , P1 G , 0）；11（n）同理，当E为直角顶点时，R点坐标为（y, 0）；（m）当P为直角顶点时，过E作EF±x轴于F,设P3 （b、3）由/OPAkFP E=90，得/ OPAM FEP Rt AOP Rt PFE AO OP 1 b b, = 3 b 1由PF EF得4-号3，解得巩 '丄一

6、 ，.此时的点P3的坐标为（1, 0）或（3, 0）1 11综上所述，满足条件的点P的坐标为G , 0）或（1, 0）或（3, 0）或 , 0）；_3_3（m）抛物线的对称轴为=2，t BC关于丸=2对称，二MC=MB要使I伽-MCIII最大，即是使凡I最大，由三角形两边之差小于第三边得，当A B M在同一直线上时的值如ME最大， 易知直线AB的解折式为y=-x+1,V = X卡 IT 3x=2(4, 3);由31=-Mr弓22、如图，已知抛物线y= ax+bx+ c与y轴交于点A(0 , 3)，与x轴分别交于B(1 , 0)、C(5 , 0)两点.(1)求此抛物线的解析式；(设为点 E),再

7、到达抛物线的对称轴上 E、点F的坐标，并求出这个最短总路径某点(设为点F),最后运动到点 的长.解：(1)根据题意，c=3a+ 3= Q 所以 25a+5b-3=Q.解得所以抛物线解析式为点M关于x轴的对称点为3M(0,-)3M' (0,-，)点A关于抛物线对称轴 x=3的对称点为A' ( 6, 3)，连结A'M'根据轴对称性及两点间线段最短可知，A'M'的长就是所求点 P运动的最短总路径的长所以A'M'与x轴的交点为所求 E点，与直线33可求得直线A'M'的解析式为y= 4 X " 2 'x=3

8、的交点为所求F点可得E点坐标为(2, 0), F点坐标为(3,34)由勾股定理可求出A'M'= 215所以点P运动的最短总路径(ME+EF+FA的长为2 O(2)若一个动点 P自0A的中点M出发，先到达x轴上的某点 A.求使点P运动的总路径最短的点学习必备欢迎下载3、已知，如图11,二次函数y =ax2 +2ax-3a(aH0)图象的顶点为 H,与x轴交于A、B两点(B在A点 右侧)，点H、B关于直线I : y+73对称.(1) 求A、B两点坐标，并证明点A在直线l上；(2) 求二次函数解析式；(3) 过点B作直线BK / AH交直线l于K点，M、N分别为直线 AH和直线I上的

9、两个动点，连接+ NM +MK和的最小值.HN、 NM、 MK ,求 HN解：(1)依题意，得axB点在A点右侧，二A点坐标为(-（a丰0），解得 xi=- 3, X2=1,3, 0）, B点坐标为（证明：直线当x= - 3时,2+2ax-3a=01, 0）,l :八吕X +腐,，y = ¥ X 厂-3 丿 + >/3 = 0点B关于过A点的直线I ：厂亍+ VS对称,A在直线上;(2)v 点 H过顶点H作HC丄AB交AB于C点, AH=AB=4则尹",HC = 2V3 ,.顶点 H2V3a =代入二次函数解析式，解得2二次函数解析式为y(3)直线AH的解析式为y三乐

10、+ M ,直线BK的解析式为y = 岳-吕,pr = 3=» =忌，解得b =,即K 0 2点，则bk=4, /点H B关于直线AK对称, HN+MN勺最小值是MB KD = KE = 2>/5,过点K作直线AH的对称点Q连接 QK交直线ah于E,则QM=MkQE = EK = 2屈,AE1QK BM+MK勺最小值是BQ即BQ的长是HN+NM+M的最小值,/ BK/ AH/ BKQ= HEQ=90 ,由勾股定理得 QB=8- HN+NM+M的最小值为8 ,学习必备欢迎下载2 4、如图13,抛物线y=ax + bx + c(a丰0)的顶点为(1,4 ),交x轴于A B,交y轴于D

11、,其中B点的坐 标为(3,0 )。E点的横坐标为2，若直线PQ为抛物线 F、H四点围成的四边形周长最小 .若存(1) 求抛物线的解析式(2) 如图14,过点A的直线与抛物线交于点 E,交y轴于点F,其中 的对称轴，点 G为PQ上一动点，则x轴上是否存在一点 H,使D、G 在，求出这个最小值及 G H的坐标；若不存在，请说明理由 .M,过点M作直线MN/ BD,交线段AD(3) 如图15,抛物线上是否存在一点T,过点T作x的垂线，垂足为于点N,连接MD使 DNMTA BMD若存在，求出点 T的坐标；若不存在，说明理由解：(1)设所求抛物线的解析式为:解得：a = 1¥ = 4艾-孑+4

12、，依题意，将点B(3, 0)代入，得:诚3-14=0所求抛物线的解析式为：(2)如图6，在y轴的负半轴上取一点I，使得点F与点I关于x轴对称,在x轴上取一点 H,连接HF HI、HG GD GE,贝U 设过A、E两点的一次函数解析式为：y= kx + b (k丰0),HF= HI点E在抛物线上且点 E的横坐标为 2,将x = 2代入抛物线点E坐标为(2, 3)+4阳6又抛物线y =图像分别与x轴、y轴交于点A、B D当 y = 0 时，Yiy+4二° , / 当 x = 0 时，y = 1+ 4= 3,点 A ( 1 , 0),点 B (3, 0),点 D(0, 3) 又抛物线的对称

13、轴为：直线点D与点E关于 分别将点A( 1, l-kb = Q过A、E两点的一次函数解析式为： M=2又点F与点I关于X轴对称，x= 1,PQ 对称，GD= GE0）、点 E （ 2,解得:3）代入 y= kx + b,得:彷=1y = x + 1当 x = 0 时，y = 1点 F 坐标为（0,点I坐标为(0, 1)1).又要使四边形 DFHG的周长最小，由于 DF是一个定值，只要使 D申G出HI最小即可 由图形的对称性和、，可知，学习必备欢迎下载2 ,】、.DK+ G出 HF= EG+ Gh+ HI只有当El为一条直线时，EG GH HI 最小设过 E (2, 3)、分别将点E （2 ,亠"心" : 1）1、两点的函数解析式为：尸辭"血韋°）, （0,- 1、代入P二檢弋,得: 池二2解得：玄"（I (0,3）、点 I过A、E两点的一次函数解析式为:y = 2x 1当 x = 1 时，y = 1;当 y = 0 时,x= 2点G坐标为（1, 1）,点H坐标为（2四边形 DFHG的周长最小为： DF+ DG Gh+ HF= DF+ El由和，可知： DF + El =（3、如图7,由题意可知，/ NMD=