初识极值点偏移专题6

1、高考数学复习优质学案专题W;初识极值点偏移、极值点偏移的含义众所周知，函数f(x)满足定义域内任意自变量 x都有f(x)=f(2mx)，贝y函数f(X)关于直线x=m对称；可以理解为函数f(x)在对称轴两侧，函数值变化快慢相同，且若f(x)为单峰极值点Xo ,若f(x) =c的两根的Xo ,函数，则x=m必为f(x)的极值点.如二次函数f(x)的顶点就是 中点为口竺,则刚好有2l-Xo，即极值点在两根的正中间，也就是极值点没有偏2移.*a若相等变为不等，贝y为极值点偏移：若单峰函数f(x)的极值点为m，且函数f (x)满足定义域内x = m左侧的任意自变量X都有f(x) A f(2m-x)或f

2、(x) vf(2m-x)，J则函数f (x)极值点m左右侧变化快慢不同.故单峰函数f(x)定义域内任意不同的实数Xi,X2满足f(Xi)=f(X2)，则与极值点m必有确定的大小关2系:若m<F，则称为极值点左偏；若,则称为极7值点右偏.KS5UKS5UKS5U如函数g(x2L的极值点eXo=1刚好在方程g(x) =c的两根中点Xi +X22的左边,我们称之为极值点左偏1.若函数f (x)存在两个零点Xi, X2且XiHX2，求证：Xi +X2 >2X0( Xo为函数f(x)的极值点)；2.若函数f(x)中存在 xi, x2 且 工 x2 满足 f(Xi)=f(X2)，求证:Xj +

3、x22x0(X0为函数f(X)的极值点)；3.若函数f (x)存在两个零点Xi,X2且Xi HX2，令Xo =人；X2，求证:f'(X0)>0 ；4.若函数f(x)Xo 二心2，求证：f'(XoO.2三、问题初现，形神合聚中存在 Xi,X2 且 Xi HX2 满足 f (Xi) = f (X2)，令函数f(x) =x2 -2x+i+aeX有两极值点Xi, X2，且 Xi V XXi X2【解析】令班» = £0) = 2*-2 + gJ则无1不是函数共0的两个零点.令贞丸)=0，得3 =，令赋力=_空工，则廻a2 无一4A'(x) = 可得Ag

4、在区间(yU)单调递减，在区间(2g单调递増,所以可2v羽,令 HO0 = A(2 + 0-A(2-©,则 gx) = tf(2 + x)-A2-x)=t. i-<总 覆当0<丸<2日寸，刃(力 <0, Zf(x>M调递;HL 有jy(x)<jy(o> = o,所以h(2 +x) ch(2-x),所以因为所以Xj A 4 - X2，即 Xj + X2 A 4 . 已知函数f(x) =1 n Xh(xi)=h(X2)=h2 +(X2 2) < h2 (X2 2) =h(4 X2),Xi 2，4-X2 2， h(x)在(虫,2)上单调递减的

5、图象Ci与函数g(X)=1 ax2 + bx(a H 0)的图2象C2交于P,Q，过PQ的中点R作X轴的垂线分别交Ci，C2于点M,N，问是否存在点R ,使Ci在M处的切线与C2在N处的切线平行？若存在，求出R的横坐标；若不存在，请说明理由【分析】设巩込、F1）卫E 乃）4 *切，则出笃帀、"严），点蚊N的横幣标心=耳.=垒导,X-码,花是函数F（x） = /（X）-匱（X）的两个零点,原问題即探究/弋卑3，丈（丑导）的犬小关系, 即F （苦3=r （写为-女（芒3的符号，丄£乙实质也是探究Fx的极值点是否偏移中点”过点P（T®作曲线fg Y的切线.（1 ）求切线

6、的方程；n、,（2）若直线与曲线 厂态來交于不同的两点 恥心），BgyQ， 求证：®+旳v-4【答案】（1）厂"1（ 2）见解析【解析】试题分析：（1）先根据导数几何意义求切线斜率y'ix=o=i，再根据点斜式求切线方程ywi 本题是IStt平移问题，先根据极值点-2构造函数：咖5小f（A弘利用导数研究函数酣I单调性: 在一I单调递増J S最小倩大于零，即得不等式*勺）沁从再根据等量转换及单调性可得不等式:X严 4s 即叫*严 A.y严试题解析：I） ¥ = J设切点冷¥，叫八因此丫*胡"I的方程是y = x+i.a巨=衍十】”（2）依

7、题意育、所以買+ i）e = （xj + i）e设f(x) = xi)4则轴)"(引 ftx)= fx + 2)e*j 当时，珂外“当jca-2时，f(x)>05 所以啊在（-卸单调递减，在也十 '-库调递増-因为兀1*迪，不妨设兀1口2,设 S(x) - f(x) - f( - 4 - X),贝 y g (K) = f (x) + f (- 4 - X)= (x + 2>1 - e'琢“),当2-2时，g&jo, se在（乜十单调递增，KS5UKS5UKS5U所以sW>s（-2）-0，所以当xA- 因为勺I,所以g2K-4f）, 从而）沌-4），因为-心严2,聪在（-普2）单调递减，所以xj-4-®,即衍七©4极值点偏移问题在近几年高考及各种模考，作为热点以压轴题的形式给出，很多学生对