二轮复习专题八第2讲数形结合思想

1、第 2 讲 数形结合思想其应用大致可以分为1数形结合的数学思想： 包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面，两种情形：一是借助形的生动性和直观性来阐明数之间的联系，即以形作为手段，数作为目的，比如应用函数的图象来直观地说明函数的性质；二是借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的，如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质2运用数形结合思想分析解决问题时，要遵循三个原则：(1)等价性原则在数形结合时，代数性质和几何性质的转换必须是等价的，否则解题将会出现漏洞有时，由于图形的局限性，不能完整的表现数的一般性，这时图形的性质只能是种直观而浅显的说明，要注意其带来的负面

2、效应(2)双方性原则既要进行几何直观分析，又要进行相应的代数抽象探求，仅对代数问题进行 几何分析容易出错(3)简单性原则不要为了 有利；二要选择好突破口，数形结合”而数形结合具体运用时，一要考虑是否可行和是否恰当设参、用参、建立关系、做好转化；三要挖掘隐含条件，准确界定参变量的取值范围，特别是运用函数图象时应设法选择动直线与定二次曲线3数形结合思想解决的问题常有以下几种：(1)构建函数模型并结合其图象求参数的取值范围(2)构建函数模型并结合其图象研究方程根的范围(3)构建函数模型并结合其图象研究量与量之间的大小关系(4)构建函数模型并结合其几何意义研究函数的最值问题和证明不等式(5)构建立体几

3、何模型研究代数问题(6)构建解析几何中的斜率、截距、距离等模型研究最值问题(7)构建方程模型，求根的个数1(2014 东)已知函数f(x) =|x 2汁 1, g(x)(8)研究图形的形状、位置关系、性质等特别是在解选择题、 填空题时以提高解题能力和速度 具4数形结合思想是解答高考数学试题的一种常用方法与技巧，发挥着奇特功效， 这就要求我们在平时学习中加强这方面的训练， 体操作时，应注意以下几点：(1)准确画出函数图象，注意函数的定义域(2)用图象法讨论方程 (特别是含参数的方程 )的解的个数是一种行之有效的方法，值得注意的 是首先要把方程两边的代数式看作是两个函数的表达式 (有时可能先作适当

4、调整，以便于作图)，然后作出两个函数的图象，由图求解热点一 利用数形结合思想讨论方程的根=kx，若方程f(x) = g(x)有两个不相等的实根，则实数k的取值范围是(A. (0，2)B. (2, 1)C. (1,2)答案 BD . (2,+s)解析 先作出函数f(x)= |x-2+ 1的图象，如图所示，当直线g(x)=kx与直线AB平行时斜率为1，当直线g(x) = kx过A点时斜率ft为1，故f(x)= g(x)有两个不相等的实根时，k的范围为(1，1).朋同21*1思维升华 用函数的图象讨论方程(特别是含参数的指数、对数、根式、三角等复杂方程)的解的个数是一种重要的思想方法，其基本思想是先

5、把方程两边的代数式看作是两个熟悉函数的表达式(不熟悉时，需要作适当变形转化为两个熟悉的函数)，然后在同一坐标系中作出两个函数的图象，图象的交点个数即为方程解的个数.x2 bxc, xW 0,设函数f(x)=若f( 4)2,x>0,=f(0), f( 2) = 2，则关于x的方程f(x) = x的解的个数为()A1B2C3D4答案解析由 f( 4) = f(0), f(- 2)=- 2,解得X2 + 4x+ 2, xW 0, b= 4, c = 2, f(x) =2,x>0.作出函数y= f(x)及y= x的函数图象如图所示,由图可得交点有 3 个热点二利用数形结合思想解不等式、求参

6、数范围已知奇函数f(x)的定义域是X|XM 0 ,x R，且在(0,+ )上单调递增，若f(1) = 0,则满足X (x)<0的X的取值范围是 若不等式|x 2a|>+ a 1对x R恒成立，则a的取值范围是答案 (1)( 1,0) U (0,1)的取值范围是(一1,0) U (0,1).解析(1)作出符合条件的一个函数图象草图即可，由图可知1(2)作出y=X 2a|和y =只+ a 1的简图，依题意知应有思维升华 求参数范围或解不等式问题时经常联系函数的图象，根据不等式中量的特点，选 择适当的两个(或多个)函数，利用两个函数图象的上、下位置关系转化数量关系来解决问题, 往往可以避

7、免烦琐的运算，获得简捷的解答.(1)设 A=(x, y)|x2 + (y 1)2= 1 , B=(x,且 b a= 2,贝U k=(1)<2 1,+- ) (2)迄y)|x + y+ mA 0，则使A? B成立的实数 m的取值范围是 (2)若不等式 寸9 x2w k(x + 2)羽的解集为区间a, b, 答案解析(1)集合A是一个圆x2 + (y 1)2= 1上的点的集合,集合B是一个不等式x+ y + mA 0表示的平面区域内的点的集合,要使A? B,则应使圆被平面区域所包含 (如图)，即直线yx+y+ m= 0 应与圆相切或相离(在圆的下方)，而当直线与圆相切时有|m+1|p= 1，

8、又 m>0,所以 m= 72 1,故m的取值范围是mQ2 1.令 0 = 79 X2,y2= k(x + 2) /2，在同一个坐标系中作出其图象，因p9 - X2 W k(x+2) U2 的解集为a, b且 b a = 2.7 / OC-2.-4I)结合图象知b = 3, a= 1,即直线与圆的交点坐标为(1,2) 又因为点(一2在直线上, 所以 k= 4 =V2.1 + 2 T热点三利用数形结合思想解最值问题(1)已知P是直线1: 3x+ 4y + 8= 0上的动点，PA、PB是圆X2+ y2 2x 2y+ 1 = 0的两条切线，A、B是切点，C是圆心，则四边形PACB面积的最小值为X

9、 2y + 10已知点P(x, y)的坐标X, y满足 则X2+ y2 6x + 9的取值范围是()|x| y K 0,A. 2,4C. 4,10B . 2,16D . 4,16(1)(2013 重庆)设 P 是圆(X 3)2 + (y+ 1)2= 4答案（1）22 （2）B解析(1)从运动的观点看问题，当动点 P沿直线3x+ 4y+ 8 = 0向左上方或右下方无穷远处运动时，直角三角形1FAC 的面积 SRt PAC= 2|PA| |AC|= 2|FA|越来越大，从而 S四边形PACB也越来越大；当点 P从左jfA7lT+4y+上、右下两个方向向中间运动时，S四边形PACB变小，显然，当点

10、P到达一个最特殊的位置,即CP垂直直线I时，S四边形PACB应有唯一的最小值，|3X 1 + 4 X 1 + 8|此时 |PC|=L:=3,寸 32+ 42从而 |"|=寸|PC|2- |AC |2= 2血所以（S 四边形 PACB）min = 2 X IPAI |AC|= 2护.(2)画出可行域如图，所求的X2+ y2-6x+ 9 = (x-3)2 + y2是点Q(3,0)到可行域上的点的距离的平方，由图形知最小值为Q到射线X- y- 1 = 0(x>0)的距离d的平方，最大值为|QA|2= 16. d2= （）2=心）2 = 2.彳 12 + - 1 2取值范围是2,16.

11、¥-叮fl思维升华(1)在几何的一些最值问题中，可以根据图形的性质结合图形上点的条件进行转换，快速求得最值.如果(不)等式、代数式的结构蕴含着明显的几何特征，就要考虑用数形结合的思想方法来解题，即所谓的几何法求解.上的动点，Q是直线x= 3上的动点，贝y |PQ|的最小值为()A. 6 B. 4C. 3(2)若实数X、y满足X y+ K 0,x>0,则y的最小值是yw 2,答案(1)B(2)2解析由题意，知圆的圆心坐标为(3， 1)，圆的半径长为2, |PQI的最小值为圆心到直线x=3的距离减去圆的半径长，所以|PQ|min= 3 ( 3) 2 = 4.故选 B.k.得 A(1

12、,2),(2)可行域如图所示.又y的几何意义是可行域内的点与坐标原点连线的斜率X由图知，过点A的直线OA的斜率最小.X y+ 1 = 0, 联立y= 2,所以koA=2.所以X的最小值为2.1在数学中函数的图象、方程的曲线、不等式所表示的平面区域、向量的几何意义、复数的几何意义等都实现以形助数的途径，当试题中涉及这些问题的数量关系时，我们可以通过图 形分析这些数量关系，达到解题的目的2有些图形问题， 单纯从图形上无法看出问题的结论， 这就要对图形进行数量上的分析， 通 过数的帮助达到解题的目的3利用数形结合解题，有时只需把图象大致形状画出即可，不需要精确图象（或向量的4数形结合思想常用模型：一

13、次、二次函数图象；斜率公式；两点间的距离公式 模、复数的模 ）；点到直线的距离公式等 .4A- n55D.jn答案 A解析 / AOB= 90° 点 O 在圆 C 上.设直线2x+ y 4= 0与圆C相切于点D,则点C与点O间的距离等于它到直线 2x+ y 4= 0的距离,点C在以O为焦点，以直线 2x + y 4= 0为准线的抛物线上,当且仅当O, C, D共线时，圆的直径最小为|OD|.|2X 0+ 0 4|4又 |OD|= 75=75,2圆C的最小半径为不，-圆C面积的最小值为 n翕)2= 5 n.3 .(2013课标全国I )已知函数f(x)=X2+ 2x, x< 0,

14、若|f(x)|> ax,则a的取值范围是()In x+ 1 , x>0.A. ( 8,0(S,1C. 2,1答案2,0解析函数y =f(x)|的图象如图.当a= 0时，f(x)|ax显然成立.当a>0时，只需在x>0时,ln (x + 1) > ax 成立.比较对数函数与一次函数 y = ax的增长速度.显然不存在 a>0使ln(x + 1) > ax在x>0上恒成立.当a<0时，只需在x<0时，x2 2x>ax成立.即a>x 2成立，所以a> 2.综上所述：2< a< 0.故选D.4. (2014天津)

15、已知函数f(x) = |x2 + 3x|, x R.若方程f(x) a|x 1|= 0恰有4个互异的实数根,则实数 a 的取值范围为 答案(0,1) U (9,+s )解析设 yi = f(x) = X + 3x|, y2= aX 1|,在同一直角坐标系中作出y1 = |x2 + 3x|, y2= a|x 1|的图象如图所示.由图可知f(x) a|x 1|= 0有4个互异的实数根等价于yi = |x2 + 3x|与y2= a|x 1|的图象有4个不同的交点当 4个交点横坐标都小于 1 时,y= a 1 Xy= X2 3X, 有两组不同解 x1, x2,消 y 得 x2 + (3 a)x + a

16、= 0，故 A= a2 10a + 9>0,且 X1+ x2= a 3<2 , X1X2= a<1，联立可得 0<a<1.当 4 个交点横坐标有两个小于1,两个大于 1 时,y= x2+ 3x，有两组不同解y= a x 1x3,x4.消去 y得 x2+ (3 a)x + a= 0,A= a2 10a + 9>0,且 X3+ x4= a 3>2 , X3X4= a>1，联立可得 a>9,综上知, 0<a<1 或 a>9.1 .方程|x2 2x|= a2+ 1（a>0）的解的个数是（）A. 1 B. 2 C. 3D. 4

17、答案 B解析（数形结合法） a>0, a2+ 1>1.而y= X2 2x|的图象如图,-y = |x2 2x|的图象与y= a2+ 1的图象总有两个交点.2 .不等式|x+ 3| x 1|w a2 3a对任意实数x恒成立，则实数 a的取值范围为（）A . ( s, 1 U 4 ,+s)B . ( s, 2 U5 ,+s)C. 1,2D . ( 8,1 U 2 ,+8 )答案 A4 x< 3 ,解析 f(x)= |x + 3| |x 1|= 2x+ 2 3 W x<1 ,4x> 1 .图象，如图，可以看出函数f(x)的最大值为4,故只要画出函数f(x)的a2 3a&

18、gt; 4 即可,解得aW 1或a> 4.正确选项为 A.3经过P(0, 1)作直线I，若直线I与连接A(1 , 2), B(2,1)的线段总有公共点，则直线 I 的斜率k和倾斜角a的取值范围分别为 , .答案1,1 0 , n U 于，n解析 如图所示，结合图形：为使I与线段AB总有公共点,而kPB>0, kPA<0，故k<0时，倾斜角 a为钝角，k= 0时,a为锐角.21又 kPA= 1,1 01 1kPB= 1, / 1 w kw 1.0 2又当 Ow kw 1 时，0w aW n；3 n当-1W k<0时，亦n故倾斜角a的取值范围为妖0n 3 n，4 U

19、匚，n)2x+ 3y 6w 0,4. (2013山东)在平面直角坐标系 xOy中，M为不等式组 x+ y 2>0, y> 0所表示的区域上一动点，贝y |0M|的最小值是解析 由题意知原点 0到直线x + y 2= 0的距离为|0M|的最小值.2所以|OM|的最小值为p|=72.5. (2013江西)过点 血,0)引直线I与曲线y=p 1 X2相交于A、B两点, AOB的面积取最大值时，直线0为坐标原点，当I的斜率为答案-冬3解析/ Saaob= 2iOA|OB |sin/ AOB =知 / AOB < *.当/ AOB = n时 SaAOB面积最大.此时O到AB的距离d =

20、 ¥.设 AB 方程为 y= k(x 迈)(k<0)，即 kx yV2k = 0.由d爭k卡6.设函数 f(x) = ax3 3ax, g(x)= bx2 ln x(a, b R),已知它们在 x= 1 (1)求b的值;f x , xw 0,c(2)若函数F(x)=且方程F(x)= a2有且仅有四个解，求实数g x , x>0,解 函数g(x) = bx2 In x的定义域为(0,+ s), (1)f (x)= 3ax2 3a? f' (1) = 0, g ' (x)= 2bxx? g' (1) = 2bx (1，+s)时，g' (x) = x ->0,即 g(x)在(1 ,+s)上单调递增,入所以当x= 1时，g(x)取得极小值g(1) = 2；当a = 0时，方程F(x)= a2不可能有四个解;当 a<0, x (s, 1)时，f' (x)<0，即 卩 f(x)在(一s, 1)上单调递减, x ( 1,0)时，f' (x)>0,即f(x)在(1,0)上单调递增, 所以当x= 1时，f(x)取得极小值f( 1) = 2a,又f(0) = 0，所以F(x