不等式与不等式组讲义

1、考点一、不等式的概念(3 分)学习必复欢迎下载儿一次不等式（组）A a<x< b B 、x >b 或 x< aC 、x>b D 、x>a1、不等式：用不等号表示不等关系的式子，叫做不等式。2、不等式的解集：对于一个含有未知数的不等式，任何一个适合这个不等式的未知数的值，都叫做这个不等式的解。3、对于一个含有未知数的不等式，它的所有解的集合叫做这个不等式的解的集合，简称这个不等式的解集。4、求不等式的解集的过程，叫做解不等式。5、用数轴表示不等式的方法题型一不等式的定义例1、（2009?枣庄）实数a，b在数轴上的对应点如图所示,则下列不等式中错误的是（)A a

2、b> 0 B、a+bv 0 C、v 1 D、a-b < 0例2、下列不等式总成立的是（A、4a > 2a B 、2 2a > 0 C 、 a > a D例3、下列各式中:2a+3;-;3x< 5;yw 0;m 1,属于不等式的有（）A 1个 B、aD 、4个2个例4、（A 2.9%及以上 B 、8.7g C、8.7g 及以上C、3个（2006?黔东南州）一种牛奶包装盒标明“净重）300g，蛋白质含量2.9%”.那么其蛋白质含量为D、不足8.7g例5、有理数m n在数轴上如图，用不等号填空.(1)m+n 0 ; (2) m-n 0 ; (3) n?n_0 ;

3、(4) m2n ; (5) |m| |n|例6、例7、不等式和方程有什么区别？在数轴上有A, B两点，其中点A所对应的数是a,点B所对应的数是1.已知A，B两点的距离 小于3，请你利用数轴.（1）写出a所满足的不等式；（2）数-3，0，4所对应的点到点B的距离小于3吗？题型二不等式的解集以下所给的数值中，为不等式-2X+3 < 0的解的是（）C 、1.5 D、2x=-1不是下列哪一个不等式的解（）、2x-1-3 C 、-2x+1 A 3 D 、-2x-1 w 3例& （2008?绵阳）A -2 B 、-1例9、（2007?台湾）A 2x+1w -3 B例10、（2010?荷泽）若

4、关于x的不等式3m-2x < 5的解集是x> 2，则实数m的值为X Aa例g1998?金华）已知a<b，那么不等式b的解是（）学习必备欢迎下载n例12、（2004?十堰）不等式组3 2m的解集为x<6m+3则m的取值范围是（2x -m c6m<0 B、m=0 C m>0 D、m<0例13、下列说法：x=0是2x-1 <0的一个解；不是3x-1 >0的解；-2x+1 <0的解集是x>2;的 解集是x> 1.其中正确的是（）例14、已知方程组Jx + yr-7-m的解满足x为非正数，y为负数.X - y =1 +3m(1) 求

5、 m(2) 化简：|m-3|-|m+2|;(3) 在 m的取值范围;解: (1 )解原方程组得：/ XW0 y< 0解得-2 < nTC3;的取值范围内，当 m为何整数时，不等式2mx+x <2m+1的解为x> 1.x=m-3 y=-2m-4, m-3< 0-2m-4 < 0,(2) |m-3|-|m+2|=3-m-m-2=1-2m ；fx + y =4a +5例15、已知方程组 y的解满足不等式4x-5y < 9 求a的取值范围.ix-y = 6a -5把a当成常数，解方程组x+y=4a+5x-y=6a-5 解之得x=5ay=5-a因为 4x-5y

6、< 9所以 4 *5a-5 (5-a)< 9结果为a< 34/25题型三在数轴上表示不等式的解集例16、（2009?遂宁）把不等式组的解集表示在数轴上，如图所示，那 么这个不等式组的解集是x>1-2-1例17、（ 2011?湛江）不等式的解集 XW 2在数轴上表示为（B ）121211G1ABCD例18、（2011?益阳）不等式2x+1>-3的解集在数轴上表示正确的是（:i-2C、D例19、将下列不等式的解集在数轴上表示出来： x>-1 X < -2 X > 0例20、解不等式2d_5l<1，并把解集在数轴上表示出来:32解：(2x-1)/

7、3-(5x+1)/2 W12(2x-1)-3(5x+1) W64X-2-15X-3 <6-11x< 11X >1考点二、不等式基本性质(35 分)1、不等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不变。2、不等式两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。3、不等式两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。4、说明：在一元一次不等式中，不像等式那样，等号是不变的，是随着加或乘的运算改变。如果不等式乘以0,那么不等号改为等号所以在题目中，要求出乘以的数，那么就要看看题中是否出现一元一次不等式，如果出现了，那么不等式乘以的数就不等为0,否则不等式不成立

8、;例21、（2011?淄博）若a>b,则下列不等式成立的是（D ）A、a-3< b-3B、-2a>-2bC、 2a<2bD、a>b-1例 22、（2011?无锡）若 a> 则（D ）A、a> -b B、a< -b C、-2a> -2b D、-2a< -2b例23、（2011?深圳）已知a, b, c均为实数，若a>b,0.下列结论不一定正确的是（ D ）a bA、a+c>b+c B、c-a<c-b C、一 a D、a2>ab>b2 （为负数时不成立）c c例24、（2011?凉山州）下列不等式变形正确的是

9、（ B ）A、由 a>b，得 ac>beB、由 a> b,得-2a< -2bC、由 a>b，得-a>-bD、由 a> b，得 a-2< b-2例25、（2011?大庆）若a+b>0，且b<0，贝U a, b，-a，-b的大小关系为（A、-a< -b< b< aB、-a< b< -b< aC、-a< b< a< -bD、b< -a< -b< a例26、（2008?防城港）下列命题中: 如果a< b，那么ac2 vbc2; 关于X的不等式（a-1） X >

10、 1-a的解集是x<-1,则a< 1; 若是 竺 自然数，则满足条件的正整数 X有4个.正确的命题是（全正确）6Xa11例27、（2007?临沂）若a<b<0,则下列式子：a+1< b+2；上>1 :a+b<ab;c中，正ba b确的是（1-3正确 ）考点三、一元一次不等式（6-8 分）题型一元一次不等式的概念元一次不等式的概念：一般地，不等式中只含有一个未知数，未知数的次数是1,且不等式的两边都是整式，这样的不等式叫做一元一次不等式。例28、下列不等式中，是一元一次不等式的是（ A ）A、2x-1 > 0 B、-1 < 2 C、3x-2y

11、 w -1 D、y +3> 5例29、下列各式中，是一元一次不等式的是（1A、5+4> 8 B、2x-1 C、2x w 5 D、一 -3x>1x1例 30、下列式子（1） 2x-7 >-3 , （2） -xaO ,xm-n> 3,中是一元一次不等式的是（1 5(3) 7< 9, (4) x2+3x>1 , (5) |-2(1)<1, (6)题型解一元一次不等式解一元一次不等式的一般步骤:（1）去分母（2）去括号（3）移项（4）合并同类项（5）将x项的系数化为1例31、（2011?张家界）不等式3x-5 < 3+x的解集是(C )A、xw4

12、B、x>4 C、x<4 D、例32、（2011?台湾）解不等式2- （3+3x）< 5- （2-x ），得其解的范围为何？（A ） A、x > 1 B、x3x+2< 1 C、x >-1 D、x <-1 例33、7、（2011?淮安）不等式叱上<x的解集是（A ）2A、x < -2 B、x <-1 C、x < 0 D、x > 2例34、（2009?攀枝花）解不等式例35、（2010?湘潭）解不等式:x +4 3x 1江>1，并将解集在数轴上表示出来.322 （x-1 ） < x+1，并求它的非负整数解.例36、（

13、2005?青岛）解不等式，并求出它的正整数解.23例37、用不等式表示:x的2倍与5的差不大于1;和是非负数a与3的和的30%不大于5;a的20%与a的和不小于a的3倍与3的差.3000 元例38、（2011?永州）某学校为开展“阳光体育”活动，计划拿出不超过 的资金购买一批篮球、羽毛球拍和乒乓球拍，已知篮球、羽毛球拍和乒乓球拍的 单价比为8: 3: 2,且其单价和为130元.(1)请问篮球、羽毛球拍和乒乓球拍的单价分别是多少元?(2)若要求购买篮球、羽毛球拍和乒乓球拍的总数量是80个(副)，羽毛球拍的数量是篮球数量的4倍，且购买乒乓球拍的数量不超过15畐1，请问有几种购买方案?解：(1)设篮

14、球的单价为8x,贝y羽毛球拍的单价为 3x，乒乓球拍的单价为2x.8x+3x+2x=130 ，解得x=10,二 8x=80; 3x=30; 2x=20,答：篮球的单价为80元，羽毛球的单价为30元，乒乓球的单价为20元;(2)设篮球的数量为y，则羽毛球拍的个数为 4y，乒乓球拍的数量为80-5y.80y+4y >30+(80-5y) X 20< 300080-5y w 15解得 13< yw 1, y=13 或 14,答：有2种购买方案，篮球、羽毛球拍和乒乓球拍的数量分别为:13, 52, 15 或14, 56, 10.例39、( 2010?茂名)我市某商场为做好“家电下乡”

15、的惠民服务，决定从厂家购进甲、乙、丙三种不同型号的电视机108台，其中甲种电视机的台数是丙种的4倍，购进三种电视机的总金额不超过147000元，已知甲、乙、丙三种型号的电视机的出厂价格分别为1000元冶，1500元/台，2000元/台.(1)求该商场至少购买丙种电视机多少台?(2)若要求甲种电视机的台数不超过乙种电视的台数，问有哪些购买方案?例40、(2010?荷泽)我市为绿化城区，计划购买甲、乙两种树苗共计500棵，甲种树苗每棵 50元，乙种树苗每棵80元，调查统计得：甲、乙两种树苗的成活率分别为90%, 95% .(1)如果购买两种树苗共用28000元，那么甲、乙两种树苗各买了多少棵?(2

16、)市绿化部门研究决定，购买树苗的钱数不得超过34000元，应如何选购树苗?(3)要使这批树苗的成活率不低于92%，且使购买树苗的费用最低，应如何选购树苗？最低费用是多少?考点四、一元一次不等式组(8 分)题型一元一次不等式组的概念元一次不等式组的概念：几个一元一次不等式合在一起，就组成了一个一元一次不等式组。例41、判断下列式子中，哪些是一元一次不等式组?(1)xX204（3）【2：+心(4)X +2 >4例42、例43、题型二I X c3写出一个解集为-Kx2的一元一次不等式组写出一个无解的一元一次不等式组为 解一元一次不等式组x+3M (5)XV71、几个一元一次不等式的解集的公共部

17、分，叫做它们所组成的一元一次不等式组的解集。口诀：大大取较大，小小取较小，大小、小大中间找，大大、小小无处找2、求不等式组的解集的过程，叫做解不等式组。3、当任何数x都不能使不等式同时成立，我们就说这个不等式组无解或其解为空集。4、一兀次不等式组的解法(1)分别求出不等式组中各个不等式的解集(2)利用数轴求出这些不等式的解集的公共部分，即这个不等式组的解集。例44、解下列不等式组，并把它的解集在数轴上表示出来口 <0f 3x+1<x3r'31(上兰上空+1L 3h-x L 2I 23|5<3(1) x+211 x 弋x 1IL 22x '12(1-X)兰53x

18、>602x-8<0例45、（ 2011?怀化）已知不等式组:（1）求满足此不等式组的所有整数解；（2）从此不等式的所所有整数解中任取一个数，它是偶数的概率是多少?f x-6<0例46、（2010?清远）求不等式组a（x_4）®o的整数解X , X +1+> 02 3恰有两个整数解.x+dx+D+a3 3例48、某公司从超市购买了墨水笔和圆珠笔共15盒，所付金额超过570元，但不到580元.已知墨水笔的单价为每盒34.90元，圆珠笔的单价为每盒 44.90元.设购买圆珠笔 x盒，可列不等式组为 例49、（ 2011?遵义）“六？一”儿童节前，某玩具商店根据市场调

19、查，用接着又用4500元购进第二批这种玩具，所购数量是第一批数量的（1 ）求第一批玩具每套的进价是多少元？（2）如果这两批玩具每套售价相同，且全部售完后总利润不低于 例50、（2011?雅安）某部门为了给员工普及电脑知识，决定购买例47、（ 2010?荆门）试确定实数 a的取值范围，使不等式组2500元购进一批儿童玩具，上市后很快脱销,1.5倍，但每套进价多了 10元.25%，那么每套售价至少是多少元？A、B两种电脑，A型电脑单价为4800元，B型电脑单价为3200元，若用不超过160000元去购买A、B型电脑共36台，要求购买 A型电脑多于25台，有哪几种购买方 案？例51、（2011?潼南

20、县）潼南绿色无公害蔬菜基地有甲、乙两种植户，他们种植了A、B两类蔬菜，两种植户种植的学习必备欢迎下载两类蔬菜的种植面积与总收入如下表:种植户种植A类蔬菜面积种植B类蔬菜面积（单位：亩）（单位：亩）总收入（单位：元）125001650033说明：不同种植户种植的同类蔬菜每亩平均收入相等.（1）求A、B两类蔬菜每亩平均收入各是多少元？为了使总收入不低于 ，求该种植户所有租地方案.63000元，且种植A类蔬菜的面积多于（2）某种植户准备租20亩地用来种植 A、B两类蔬菜, 种植B类蔬菜的面积（两类蔬菜的种植面积均为整数） 一、选择题1、在平面直角坐标系中，若点P（mv 3, m 1）在第二象限，贝y

21、 m的取值范围为（）A . 1< mv 3 B . m>3C. mv1D. m>l2、3、已知关于X的一元二次方程= 0有两个不相等的实数根，则实数 削的取值范围是（B.悴<一2 c 腮0 D. /M>-1四个小朋友玩跷跷板，他们的体重分别为P、Q R、S,如图3所示，贝y他们的体重大小关系是（PR>SQ B、QS>P>R c、d、4、把不等式组5- A < 6的解集表示在数轴上正确的是（a 2 d ()123C.5、不等式飞小的解集是（A. X > 一一2序-张>0、 有实数解,B. 1>-2C.6、若不等式组<则

22、实数酬的取值范围是（537、若2盘+场-1>3必+2鸟，则馆b的大小关系为（5B.卿 <C.D.4-1 0AS B a>b C a-b8不等式一x 5w0的解集在数轴上表示正确的是学习必备欢迎下载D .不能确定（0 5 IC1-5 0(D)9、不等式3x - 5 V 3+X的正整数解有（A） 1 个（B） 2 个10、把某不等式组中两个不等式的解集表示在数轴上，如图所示,X >4,仗 <4,D. iA >-1X > -1A.B.X <4,)(C) 3 个（D 4个则这个不等式组可能是（11、不等式组的解集是（）A. xv2 B .Q-l C .一

23、D .无解2a - 3 > 112、不等式组J的解集在数轴上可表示为（*2W4f y.-j-* 0I六総匕；r匕4A13、实数0在数轴上对应的点如图所示，A <1 B . x-a < 1 C14、如图，a、b、c分别表示苹果、梨、桃子的质量.同类水等，则下列关系正确的是（）B则a，-a, 1的大小关系正确的是（ <-a<a D . a <<-a0 0 1第2题图A. a>c>bD. c>a>bB. b> a> cC. a>b>cr_x< 215不等式组“勺解集在数轴上表示正确的是（-2 03 -2

24、0-2 0A.B,16、把不等式组的解集表示在数轴上，正确的为图7-1< 017、用-10 1-1 0C果质量相中的（1 L-2 0D.-1 0®®©表示三种不同的物体，现放在天平上比较两次，情况如图所示，那么®©这三种物体按质量从大到小的顺序排列应为（)学习必备欢迎下载I ©©I©A ©>©'®©C. ©(5)&、x+4 > 3亠、, 一、18、不等式组 <的解集在数轴上可表示为（JfWl-2 -1 0 A.-2 -1 0C

25、.)2 -1 0 1 2 B.C? 12? ?)I t 丄 J-1 D 12D*"1 +羞02兀一4< 0的解集，正确的是（19、在数轴上表示不等式组-2-10129A-2 -1 0 1 S 3BIOI1 £1-2 -1 0123CIIa>»-2 -1 0123D二、填空题1、已知 3X+4W 6+2(x-2),贝U 工+ 1的最小值等于2、如图，已知函数 y = x+i和y二ax+3的图象交点为F,则不等式i+i >（31+3的解集为3、3x+2 > 2（羞一 1）,不等式组2的解集为x+8 >4x-l丄4、2z+5< 3（+

26、2）4、不等式组.X-1 X的整数解的个数为-<L 235.已知关于X的不等式组xa > 0,1-eO的整数解共有3个，则"的取值范围是,X工I y=ax+J6.不等式组<2x-4 <7的解集是x+9>4aJf的不等式gw7.直线h y =+ b与直线b ：严対X在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于的解集为8.已知不等式组Jl+3>m+K，/,",2008的解集为一1 < XV 2,则(m+ n) =x-Km-J三、简答题1、解不等式组i3(x+2)x+4,K_12、解不等式组*<1.L 2兀 + 1 > 0,牙_ 2并写出该不等式组的最大整数