二轮复习专题三第3讲平面向量

1、第 3 讲 平面向量1.平面向量基本定理和向量共线定理是向量运算和应用的基础，高考中常以小题形式进行考查.2.平面向量的线性运算和数量积是高考的热点，有时和三角函数相结合，凸显向量的工具性，考查处理问题的能力1.平面向量中的五个基本概念0.(1)零向量模的大小为0,方向是任意的，它与任意非零向量都共线，记为(2)长度等于i个单位长度的向量叫单位向量，a的单位向量为 a-方向相同或相反的向量叫共线向量(平行向量).如果直线I的斜率为k,则a= (i, k)是直线l的一个方向向量.向量的投影：|b|cos a, b叫做向量b在向量a方向上的投影.2 .平面向量的两个重要定理(i)向量共线定理：向量

2、a(a丰0)与b共线当且仅当存在唯一一个实数人使b= ?a.(2)平面向量基本定理：如果ei, e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量a,有且只有 一对实数 入，？2,使a =乃ei + ?2e2,其中ei, e2是一组基底.3 .平面向量的两个充要条件若两个非零向量a = (xi, yi), b= (x2, y2)，则 (i)a / b? a= ?b? xiy2 X2yi= 0.(2)a丄 b? a b= 0? xiX2 + yiy2= 0.4 .平面向量的三个性质(i)若 a= (x, y),则 |a|= Vai3=yx2 + y2.(2)若 A(xi, yi), B

3、(X2, y2)，则 |AB|=f X2 Xi 2+ y2 yi 2.若 a= (Xi, yi), b = (X2, y2),0为 a 与 b 的夹角,xiX2+ yiy2则cos 0=.热点一 平面向量的概念及线性运算(1)(2014 福建 )在下列向量组中，可以把向量a= （3,2）表示出来的是（）ei= (0,0), e2= (1,2)ei = (1,2), e2= (5, 2)ei = (3,5), e2= (6,10)ei= (2, 3), e2= ( 2,3)如图所示，A, B, C是圆O上的三点，线段 CO的延长线与线段 BA的延长线交于圆 0外的点D，若OC= mOA +nOB

4、,贝U m+n的取值范围是（）(0,1)(1 ,+s )( s, 1)(1,0)思维启迪（1）根据平面向量基本定理解题.（2）构造三点共线图形，得到平面向量的三点共线结论，将此结论与 OC = mOA+ nOB对应.答案(1)B(2)D解析（1）由题意知，A选项中e1= 0, C、D选项中两向量均共线，都不符合基底条件，故选B（事实上,a= (3,2) = 2e1 + e2).依题意,又 C, O,D三点共线，令 OD = QC( p1),由点 D 是圆 O 外一点，可设 BD = SA(Q1)，则 OD = OB + BA = OA + (1 ROB.T-T 1 一 -T则 OC = OA

5、OB( -1 , p>1),- -所以 m= n = 3-入 1 一入 1故 m+n =-=- ( 1,0).故选 D.- - -思维升华 对于平面向量的线性运算问题，要注意其与数的运算法则的共性与不同，两者不能混淆如向量的加法与减法要注意向量的起点和终点的确定，灵活利用三角形法则、平行四边形法则同时，要抓住两条主线：一是基于“形”，通过作出向量，结合图形分析；二是基于“数”，借助坐标运算来实现.(1)(2014 陕西)设 O<0<n，向量 a = (sin 2 0,cos 0), b= (cos 0, 1)，若 a / b,贝U tan 0=.如图，在 ABC中，AF =

6、3ab, D为BC的中点，AD与CF交于点E.若AB = a, AC= b,且CE = xa + yb,贝U x+ y =答案1 1(1)2 (2) -1解析(1)因为 a / b,所以因为n0< 0<2，所以 cos 0>O,sin 2 0= cos2 0, 2sin 0cos 0= cos2 0.如图，设FB的中点为 M，连接 MD.因为D为BC的中点，M为FB的中点，所以 MD / CF.因为AF = 3ab，所以F为AM的中点，E为AD的中点.方法一因为AB = a, AC = b, D为BC的中点,T 1 所以 AD = 2(a + b).所以 AE = 1AD =

7、 3(a + b).所以cE = CA + AE = AC + aE=- b+1(a + b)13=1a 尹 所以 x= 4, y= 3,所以 x+ y= 1.1 1方法二 易得 EF = 2MD , MD = 2CF ,13所以 EF = 4CF，所以 CE= 4CF.T 7 TT T1因为 CF = CA + AF = AC + AF = b+ 3a,T 3113所以 CE = 3( b + 3a) = 3a 3b.131所以 x= 4, y= 4 贝y x+ y= 2.热点二平面向量的数量积(1)如图，BC、DE是半径为1的圆0的两条直径，BF = 2f0，则fDfE等于()(2)(20

8、13 重庆)在平面上，ABAB2, |OB1|= |OB2|= 1, AP = AB1 + AB2.若|oP|<2，则 |OA|的取值范围是（）思维启迪 （1）图O的半径为1,可对题中向量进行转化 FD = FO + OD , Fl = FO + OE ；o 1o o利用|OP|<2，寻找op , OA的关系.答案(1)B(2)D解析 （1） / BF = 2FO，圆O的半径为1 , T1, - FD Fl = (FO + OD) (FO + OE) = FO2 + FO (OE + OD) + OD Ol=(刁2/ aBi 丄 AB2, Ab1 ab2= (0b1- OA) (o

9、ih OA) =OB1 OB2- OB1 OA- OA 01I2+ OA2= 0, 0B1 0B2- OB1 OA- OA ob2=- OA2. ap =AB1+ AB2. O>P Oa = OBi-O>A+ OB2-OA, Op =oIi + OB2- OA.|OSi|=|OB2|= 1 , OP2= 1 + 1 + OA2+ 2(OB1 OB2- OB1 OA- OB2 Oa)=2 + OA2 + 2( - OA2)= 2-OA2,|OP|<2， ow|OP|2<1，.0w 2-OA2<1 , 7<OA2w 2，即 |OA| ¥，羽.思维升华

10、(1)数量积的计算通常有三种方法：数量积的定义，坐标运算，数量积的几何意义;(2)可以利用数量积求向量的模和夹角，向量要分解成题中模和夹角已知的向量进行计算.(1)(2014江苏)如图，在平行四边形 ABCD中，已知AB= 8,AD = 5, CP = 3PD , Ap BP= 2，则 Ab ad的值是已知点 G是 ABC的重心，若/ A= 120° Ab ac= 2,则|Ag的最小值是解析(1)由Cp= 3PD，得 DP = TDC = AB ,f f f f 1 f f f f fAP = AD + DP = AD + 4AB, BP=AP AB = AD +4AB AB = A

11、D 4AB.因为 AP BP= 2，所以(AD + 4AB) (AD 4AB) = 2,即 AD AD AB ：答案(1)22(2)3AB2= 2.又因为 AD2= 25 , Ab2= 64,所以 AB AD = 22. 16在 ABC中，延长 AG交BC于D, 点G是ABC的重心，/ AD是BC边上的中线,2 f f fffff 2 ff且 AG = 3AD, / AB AC = |AB|X |AC|X cos 12O = 2, |AB|X |AC|= 4, / AG = 3AD , 2AD =AB+ Ac, AG=3(AB+ Ac), Ag2= (AB + AC)2 = tAB2 + 2A

12、B AC+ Ac2 > g2|AB|X |AC|+ 2 X ( 2) = £, - AG29，- |AG|> 3， |AG 的最小值是 I热点三平面向量与三角函数的综合已知向量 a= (cos a, sin a), b = (cos x, sinx), c= (sin x+ 2sin a, cos x+ 2cos a, 其中 0< a<x< n.(1)若a=：,求函数f(x) = be的最小值及相应x的值;若a与b的夹角为扌，且a丄c,求tan 2 a的值.思维启迪(1)应用向量的数量积公式可得f(x)的三角函数式，然后利用换元法将三角函数式转化为二次函

13、数式，由此可解得函数的最小值及对应的x值.(2)由夹角公式及a丄c可得关于角a的三角函数式，通过三角恒等变换可得结果.解 (1) / b= (cos x, sin x).nc= (sin x+ 2sin a, cos x+ 2cos a), a= 4,f(x) = be =cos xsin x+ 2cos xsin a+ sin xcos x+ 2sin xcos a=2si n xcos x+ 迄(sin x+ cos x).n令 t = sin x+ cos x 4<x< n ,则 2sin xcos x= t2 1,且1<t</2.则 y= t2+曲1= t+ 2

14、亚 2_3 i<t<迄,- t= ¥时,ymin= 2 ,此匕时 sin x+ cos x=专,即 sin x+ 4 = nn n 511 n-4<x< n |<x + 4<4 n , x+n 7 x-x + 4= 6n，x= 12-函数f(x)的最小值为一|,相应x的值为(2) / a与b的夹角为n，n a b-cos T= cos 0(cos x+ Sin csin x = cos(x a).3 lal lblT 0< a<x< n, - 0<x a n, - x a=3/ a 丄 c, cos asin x+2sin

15、0)+ sin cos x+ 2cos 0)= 0, - sin(x + a + 2sin 2 a= 0,即卩 sin 2 a+ 扌 + 2sin 2 a= 0.5.2/3並-2Sin 2 a+ 2 cos 2 a= 0, - tan 2 a= 5 .思维升华 在平面向量与三角函数的综合问题中，一方面用平面向量的语言表述三角函数中 的问题，如利用向量平行、垂直的条件表述三角函数式之间的关系，禾U用向量模表述三角函 数之间的关系等；另一方面可以利用三角函数的知识解决平面向量问题，在解决此类问题的 过程中，只要根据题目的具体要求，在向量和三角函数之间建立起联系，就可以根据向量或者三角函数的知识解决

16、问题.3已知向量 a= sin x, 4 , b = (cos x, 1).(1)当 a II b 时，求 cos2x sin 2x 的值;设函数f(x) = 2(a + b) 已知在 ABC中，内角A, B, C的对边分别为 a, b, c,若a = 3.b = 2, sin B=¥，求 f(x) + 4cos(2A + 6)(x 0 , j)的取值范围.33解 (1) a I b, cos x+sin x= 0, tan x= 4. 2-cos x sin 2x=22sin 2x+ cos2x2cos x 2sin xcos x 1 2tan x 81 + tan2x5(2)f(

17、x)= 2(a + b) b =届n 2x+ ；+2,n由正弦定理sinA=stb,可得sin A= 2, A=4. f(x) + 4cos 2A + 6 = V2sin 2x+4 ,11 n- x 0 , n，二 2x+ n 4，, 12 - ¥ K f(x) + 4cos(2A + jw 72 2故所求范围为爭1, 721 AB = OhB Oa （其中 01当向量以几何图形的形式出现时， 要把这个几何图形中的一个向量用其余的向量线性表示， 就要根据向量加减法的法则进行，特别是减法法则很容易出错，向量 为任意一个点 ），这个法则就是终点向量减去起点向量2.根据平行四边形法则，对于

18、非零向量a, b,当|a+ b|=|a b|时，平行四边形的两条对角线长度相等，此时平行四边形是矩形，条件|a + b|= |a b|等价于向量a, b互相垂直.3 .两个向量夹角的范围是0, n,在使用平面向量解决问题时要特别注意两个向量夹角可能 是0或n的情况，如已知两个向量的夹角为钝角时，不单纯就是其数量积小于零，还要求不在三角函数问题中平面向量能反向共线4平面向量的综合运用主要体现在三角函数和平面解析几何中，的知识主要是给出三角函数之间的一些关系，解题的关键还是三角函数问题；解析几何中向 量知识只是给出一些几何量的位置和数量关系，在解题中要善于根据向量知识分析解析几何 中的几何关系7，

19、问题转化为圆（X 3）2 + y2= 1上的点与点P（1,羽）间距离的最大值.圆心C（3,0）与点P（1,73）之间的距离为寸3 1 2+ 0 +翻故寸X 1 2 + y + V3 2的最大值为羽+ 1.2 . （2014天津）已知菱形 ABCD的边长为2, / BAD = 120 °点E, F分别在边BC，DC 上,BE => >> >2入 BC DF = p DC若AE AF = 1, CE CF = 3+尸(代22B-25C-57Dp答案解析 AE= Ab + ?Bc , AF=AD + pDC, AE Af = (AB + 朮)(AD + PDC)=A

20、B D + pAB DC + BC AD + 入 RC DC=2 X 2X ( 5+ 4 叶 4 入+ 2X 2X ( 2)入卩3-2(入+ “ 入=2 Ce Cf = (1 为CB (1 pCD=(入+ 1)CB CD=2 X 2X ( 2)(入叶 1)=2入口 ( U P+ 1 = 3,1-入(+ p+1 = 3,2即入(= 3.5由解得入+尸5.2, 12 .如图，在半径为 1的扇形AOB中，/ AOB= 60° C为弧上的动点，AB与OC交于点P,则OP BP最小值是答案-16解析因为 Op=Ob + Bp，所以 Op bp=(OB + bp) bp= OB bp +(BP)

21、2.又因为 / aob = 60 °OA = OB,/ OBA = 60°.OB= 1.所以 Ob BP = |Bp|cos 120 =- 1|BP|.所以 OP BP=-|Bp |+ |Bp2 = (|Bp|>-右故当且仅当|bP|= 1时,OP bP最小值是-16.33.已知向量 m = (sin x, cos x), n = (,JR2 ), xC R，函数 f(x) = m n.(1)求f(x)的最大值;在 ABC中，设角A, B的对边分别为a, b,若 B = 2A,且 b= 2af(A- g),求角 C 的大小.解(1)f(x) = |sin x+cos

22、x= V3si n(x+,所以f(x)的最大值为V3.冗因为b = 2af(A-6),由(1)和正弦定理，得 sin B=2>/3sin2A.又 B= 2A，所以 sin 2A= 23sin2A,即 sin A cos A=V3s in2A,而a是三角形的内角, 所以 sin a半 0，故 cos a = /Ssin A, tan A= ,一一nnn所以 A= 6, B= 2A= 3， C= n A B=乙.(推荐时间：60分钟)、选择题1.设a，b为向量，则“|a |=|a|b|” 是 a / b 的()a .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充分必要条件D既不充分也不必要条件答

23、案 C解析 设向量 a, b 的夹角为0,若 |a b|= |a|b|cos |a|b|, cos 0= ±，则 a/ b;若 a / b,则 cos 0=±1,从而 |a b|= |a|b|cos 0= |a|b|,“|a b|= |a|b|” 是 a / b 的充要条件.2 .已知向量oA = (2,2), OB = (4,1)，点P在x轴上，Ap bP取最小值时P点坐标是()B . (1,0)a . (- 3,0)C. (2,0)D . (3,0)答案 D解析依题意设 P(x,0)，则 Ap= (x 2, 2), Bp= (x 4, 1)，所以 ap Bp = (x

24、2)(x 4)+ 2 = x2 6x+ 10= (x 3)2 + 1，当x= 3时aP BP取得最小值1.此时P点坐标为(3,0).n3 .已知 |a|= 1, |b|= 2, a, b= 3，则 |a+b|为()答案 D1解析 |a+ b|2= a2+b2+ 2a b= 1 +4+ 2|a| |b| cos a, b= 5 + 2X 1X 2X- = 7 所以 |a+ b|=羽.4. (2013福建)在四边形A.V5 B. 2/5 C. 5答案 CD . 10ABCD中，Ac= (1,2), BD = ( 4,2)，则该四边形的面积为()解析/ Ac bd = 0, AC 丄 BD.四边形A

25、BCD的面积S= 1|AC|BD|5 等腰直角三角形 ABC中，A= n AB = AC= 2, M是BC的中点，P点在 ABC内部或其边界上运动，则BP aM的取值范围是()A . 1,01,2C . 2, 1答案 D2,0解析 以点A为坐标原点，射线 AB, AC分别为x轴，y轴的正方向建立平面直角坐标系,则B(2,0), M(1,1).设P(x, y)，由于点 卩在 ABC内部或其边界上运动，故x> 0, y> 0且xBP am = (x 2, y) (1,1) = x 2 + y,所以 BP aM 的取值范围是2,0.6 若点M是 ABC所在平面内的一点，且满足 5aM =

26、 AB+ 3Ac，则 ABM与 ABC的面积比为(A.53C.39D.25答案 C解析设AB的中点为D,2由 5AM = AB+ 3AC,得 3AM 3/0= 2AD 2AM ,C即 3CM = 2MD.如图所示，故C, M , D三点共线,且 MD = |cD , 也就是 ABM与 ABC对于边 AB的两高之比为 3 : 5,3则ABM 与厶ABC的面积比为7.5二、填空题7.在 Rt ABC 中，AB= 1, BC = 2, AC = 3, D 在边 BC 上，BD = f,则AB AD = 解析 / Rt ABC 中，AB= 1 , BC = 2, AC = >/3,/ ABC =

27、 60° / BAC= 90° / BD = 2, BC = 2,得到 BD = 1, . BD = BC,3 BC 33AD = AB+ BD = AB+ 3BC = AB+ (AC AB) AB ad =2 7177 2 7 22 2 2+ 3AB)= 3AB AC+ 3AB2= 0 + -X 12=- 8. (2014课标全国I )已知A, B, C为圆O上的三点，若AO = (Ab + AC),则AB与AC的夹角为 答案 90°解析/ AO= 2(Ab + AC),点0是ABC中边BC的中点, BC为直径，根据圆的几何性质有AB, AC= 90 :9 .已

28、知ei, e2为相互垂直的单位向量，若向量匕1+ e2与ei+心的夹角等于60 °则实数 入 答案 2 ±3解析 因为ei, e2为相互垂直的单位向量，则不妨设ei, e2分别为直角坐标系中x, y轴的正方向的单位向量，则向量 心+ e2与e1+ ?02的坐标为（入1）, （1,为，因为向量 ?01+ e2与e1+危的夹角等于60 °所以由向量数量积的定义可得cos 60 ° =砂 + e2 e1 + ?e21?1 =| 心 + e2| |ei + ?02|冶 2 ±3.10.给定两个长度为的平面向量OA和OB，它们的夹角为 90°.

29、如图所示，点 Cfl在以0为圆心的圆弧AB 上运动.若 0C = xOA + yOB，其中 X、y R,贝U x+ yt)的最大值是解析设/ AOC= a,贝U / COB = 90° a,X= cos a11如图，在平面直角坐标系 xOy中，点A在x轴正半轴上，直线斜角为节，|OB= 2，设/ AOB =0, 0n2,3n4 .（1）用0表示点B的坐标及|0A|; OC =cos a OA+ sin a Ob，即y= sin a- x + y= cos a+sin a= /2sin a+ 4 w述.三、解答题由正弦定理，得他n= sin B，sin 42sin 0).n 3 nn;

30、 =丁 0若tan 0= 4，求OA Ob的值.解（1）由题意，可得点B的坐标为（2COS 0,在ABO 中，|OB|= 2, / BAO = ? / B =即 |OA|= 2屈 n 严-0 .由(1)，得 OA Ob = |OA| |OB|cos 0厂 3 n=4p2sin 0 cos 0.因为 tan 0= 3，0 n，¥，4 3所以 sin 0= 5, cos 0= 5.3 n3 n3 nTsin B” 5 =豁,3 5 =1225.12 .已知 ABC中，角A, B,C的对边分别为a, b, c,若向量m = (cos B,2cos2C 1)与向又 sin - 0=sin 7

31、cos 0-cos量 n = (2a b, c)共线.(1)求角C的大小;若c= 2羽，Gabc = 2羽，求a, b的值.解 / m= (cos B, cos C), m/ n, ccos B= (2 a b)cos C, sin Ccos B= (2s in A sin B)cos C,1sin A= 2sin Acos C, cos C = ?,n- c (0, n, c=3.(2) / c2= a2+ b2 2abcos C,- a2+ b2 ab= 12, SABC = absin C= 23,- ab= 8,a = 2由得b = 4a= 4或b= 213.在 ABC 中，AC = 10,过顶点C作AB的垂线，垂足为 D , AD = 5，且满足AD = dB.(1)求 |aBAC|;存在实数t > 1,使得向量x = AB+