二倍角的正弦、余弦、正切公式16

1、最新高一数学优质学案（附经典解析）二倍角的正弦、余弦、正切公式整体设计教学分析“二倍角的正弦、余弦、正切公式”是在研究了两角和与差的三角函数的基础上，进一步研究具有“二倍角”关系 的正弦、余弦、正切公式的，它既是两角和与差的正弦、余 弦、正切公式的特殊化，又为以后求三角函数值、化简、证 明提供了非常有用的理论工具、通过对二倍角的推导知道，倍角的内涵是：揭示具有倍数关系的两个三角函数的运算 规律、通过推导还让学生加深理解了高中数学由一般到特殊 的化归思想、因此本节内容也是培养学生运算和逻辑推理能 力的重要内容，对培养学生的探索精神和创新能力、发现问 题和解决问题的能力都有着十分重要的意义本节课通

2、过教师提出问题、设置情境及对和角公式中P关系的特殊情形 a =3时的简化，让学生在探究中既感到自然、易于接受，还可清晰知道和角的三角函数与倍角 公式的联系，同时也让学生学会怎样发现规律及体会由一般到特殊的化归思想.这一切教师要引导学生自己去做，因为，数学课程标准提出：“要让学生在参与特定的数学活动， 在具体情境中初步认识对象的特征，获得一些体验”.在实际教学过程中不要过多地补充一些高技巧、高难度的练习，更不要再补充一些较为复杂的积化和差或和差化积的恒等变换，否则就违背了新课标在这一章的编写意图和新精神 三维目标1.通过让学生探索、发现并推导二倍角公式，了解它们之间、以及它们与和角公式之间的内在

3、联系，并通过强化题目的训练,加深对二倍角公式的理解，培养运算能力及逻辑推理能 力，从而提咼解决问题的能力2.通过二倍角的正弦、余弦、正切公式的运用，会进行简单的求值、化简、恒等证明.体会化归这一基本数学思想在发现中和求值、化简、恒等证明中所起的作用.使学生进掌握联系变化的观点，自觉地利用联系变化的观点来分析问 题，提高学生分析问题、解决问题的能力3.通过本节学习，引导学生领悟寻找数学规律的方法，培养学生的创新意识，以及善于发现和勇于探索的科学精神 重点难点 教学重点：二倍角公式推导及其应用 教学难点：如何灵活应用和、差、倍角公式进行三角式化简、 求值、证明恒等式.课时安排1课时教学过程导入新课

4、思路1.（复习导入）请学生回忆上两节共同探讨的和角公式、差角公式，并回忆这组公式的来龙去脉，然后让学生 默写这六个公式.教师引导学生：和角公式与差角公式是可以互相化归的.当两角相等时，两角之和便为此角的二倍 ，那么是否可把和角公式化归为二倍角公式呢?今天，我们进步探讨一下二倍角的问题，请同学们思考一下，应解决哪些 问题呢？由此展开新课.思路2.（问题导入）出示问题，让学生计算，若 sin a= 3, a（ , n ）,求 sin2 a, cos2 a 的值.学生会很容52易看sin2 a =sin( a + a )=sin a cos a +COS a sin a =2sin a cos a的

5、，以此展开新课，并由此展开联想推出其他公式 推进新课 新知探究提出问题还记得和角的正弦、余弦、正切公式吗?（请学生默写出来，并由一名学生到黑板默写 ）你写的这三个公式中角P会有特殊关系 a =P吗?此时公式变成什么形式? 在得到的C2a公式中，还有其他表示形式吗? 细心观察二倍角公式结构，有什么特征呢? 能看出公式中角的含义吗？思考过公式成立的条件吗? 让学生填空：老师随机给出等号一边括号内的角，学生回 答等号另一边括号内的角，稍后两人为一组，做填数游戏:sin()cos()=2sin(cos( )=cos2( )-si n2().思考过公式的逆用吗？想一想 C2a还有哪些变形?请思考以下问题

6、：sin2 a =2sin a 吗？ cos2 a =2cos a 吗?tan2 a =2tan a？活动：问题,学生默写完后，教师打出课件，然后弓导学生观察正弦、余弦的和角公式，提醒学生注意公式中的a , P,既然可以是任意角，怎么任意的？你会有些什么样的奇妙想法呢？并鼓励学生大胆试一试.如果学生想到a , P会有相等这个特殊情况，教师就此进入下一个问题，如果学生没想到这种特殊情况，教师适当点拨进入问题， 然后找一名学生到黑板进行简化，其他学生在自己的座位上 简化、教师再与学生一起集体订正黑板的书写，最后学生都 不难得出以下式子，鼓励学生尝试一下，对得出的结论给出解释.这个过程教师要舍得花时

7、间，充分地让学生去思考、去探究，并初步地感受二倍角的意义.同时开拓学生的思维空间，为学生将来遇到的3a或3p等角的探究附设类比联想的源泉.sin( a + 3 )=sin a cos p +cos a sin psin2 a =2sin a cosa( S2a )；COS( a + 3 )=COS a COS p-sin a sin p cos2 a =cos 2 a -sin 2a (C2a)；tan2 2 tan 2 (T2 )1 tantan( a + p )= Jan匹1 tan tan这时教师适时地向学生指出，我们把这三个公式分别叫做二倍角的正弦，余弦，正切公式，并指导学生阅读教科书

8、， 确切明了二倍角的含义，以后的“倍角”专指“二倍角”、教师适时提出问题，点拨学生结合sin 2 a +COs 2 a =1思考,因此二倍角的余弦公式又可表示为以下右表中的公式uiiiEti 三*i ww屮1cosZu u 4屮屮飞仁.“ 2lilllLC " r，、1an?u (、)1 i.nru这时教师点出，这些公式都叫做倍角公式（用多媒体演示）.倍角公式给出了 a的三角函数与2a的三角函数之间的关系.问题，教师指导学生，这组公式用途很广，并与学生起观察公式的特征与记忆，首先公式左边角是右边角的倍；左边是2a的三角函数的一次式，右边是a的三角函数的二次式，即左到右T升幕缩角，右到

9、左T降幕扩角、二 倍角的正弦是单项式，余弦是多项式，正切是分式问题,因为还没有应用，对公式中的含义学生可能还理解不到位，教师要引导学生观察思考并初步感性认识到:（I ）这里的“倍角”专指“二倍角”，遇到“三倍角”等名词时,字等不可省去；（n）通过二倍角公式 ,可以用单角的三角函数表示二倍角的三角函数；（m）二倍角公式是两 角和的三角函数公式的特殊情况；（眄公式（S2a）,（C 2a）中的 角a没有限制，都是a R.但公式（T 2a）需在aZ丄kn + 和24aZ kn + -（k Z）时才成立，这一条件限制要引起学生的注2意.但是当a =kn+-,k Z时，虽然tan a不存在，此时不能2用此

10、公式，但tan2 a是存在的，故可改用诱导公式.问题，填空是为了让学生明了二倍角的相对性，即倍角公式不仅限于2a是a的二倍的形式，其他如4a是2a 的二倍，a是a的二倍,3 a 是3a的二倍，空是空的二倍，-a242362是_- a的二倍等，所有这些都可以应用二倍角公式.42例女n:sin a=2sin acosa,cos -=cos2a-sin 2-等等.244366问题,本组公式的灵活运用还在于它的逆用以及它:sin3 a cos3 a =sin6 a的变形用，这点教师更要提醒学生引起足够的注意.24sin acosa=2（2sin acos a）=2sin -,44442駕备=tan80

11、 °2 2cos 2 a -sin 2 a =cos4 atan2 a =2tan a (1-tan2a )等等.,F：sin2 a 工 2sina ,cos2 aZ 2cos a ,tan2 aZ 2tan a.若 sin2 a =2sin a ,贝U 2sin a cos a =2sin a ,即 sin a =0 或cos a =1,此时a =kn (k Z).若 cos2 a =2cos a,贝 U2COS a - 2COS a -1=0, cos a= J(COS a=舍去).若 tan2 a =2tan a,2 "2tana=2tan a , . tan a =

12、0,1 tan2 aa =kn (k Z).解答：一（略） 应用示例思路1例1已知sin2 a= 2 134<a< ,求 sin4 a ,cos4 a ,tan4 a2活动：教师引导学生分析题目中角的关系，观察所给条件与结论的结构，注意二倍角公式的选用，领悟“倍角”是 相对的这一换元思想.让学生体会“倍”的深刻含义，它是描述两个数量之间关系的.本题中的已知条件给出了2 a正弦值.由于4a是2a的二倍角，因此可以考虑用倍角公式 本例是直接应用二倍角公式解题，目的是为了让学生初步熟 悉二倍角的应用，理解二倍角的相对性，教师大胆放手，可 让学生自己独立探究完成 解：由一Vav ,得一 &

13、lt;2 a < n.422又sin2 a=,13-cos2 a= V1 sin2 2a =(1 ()2sin4 a =sin2 X (2 a )=2sin2 a cos2 a =2X5 x(131213)=120.169，cos4a =cos2 X (2 a )=1 -2sin 22a =1-2X( 2) LU9；13129tan4 a=cns=（-挣x 陽需点评：学生由问题中条件与结论的结构不难想象出解 法，但要提醒学生注意，在解题时注意优化问题的解答过程， 使问题的解答简捷、巧妙、规范，并达到熟练掌握的程度 本节公式的基本应用是高考的热点 变式训练1. 不查表，求值:sin15 &

14、#176; +cos15°.解:原式=J_cos15 )2 Jsin215_2sin15_cos215普点评：本题在两角和与差的学习中已经解决过，现用二倍角公式给出另外的解法，让学生体会它们之间的联系， 会数学变化的魅力.2.（2007 年高考海南卷,9）若 cos 2a sin (a )4cos a +sin a 的值为C.答案:C3.（2007年高考重庆卷,6）F列各式中,值为丰的是（）A.2sin15 ° -cos15°B.cos 215° -sin 215°C.2sin 215° -1D.sin 215° +cos2

15、15°答案：B例 2 证明 1 sin2一=tan 9.1 sin2 cos2活动：先让学生思考一会，鼓励学生充分发挥聪明才智，战胜它，并力争一题多解.教师可点拨学生想一想，到现在为止，所学的证明三角恒等式的方法大致有几种：从复杂端化向简单一端；两边化简，中间碰头；化切为弦；还可以利用分析综合法解决，有时几种方法会同时使用等.对找不到思考方向的学生，教师点出：可否再添加一种，化倍角为 单角？这可否成为证明三角恒等式的一种方法？再适时弓导，前面学习同角三角函数的基本关系时曾用到“1”的代换，对“ 1”的妙用大家深有体会，这里可否在“ 1”上做做文章?待学生探究解决方法后，可找几个学生到

16、黑板书写解答过程，以便对照点评及给学生以启发.点评时对能够善于运用所学的新知识解决问题的学生给予赞扬；对暂时找不到思路的学生给予点拨、鼓励.强调“ 1”的妙用很妙，妙在它在三角恒等式中旦出现，在证明过程中就会起到至关重要的作用，在今后的证题中，万万不要忽视它证明：方法左=sin2(1 cos2 )sin2 (1 cos2 )22sin cos (1 1 2cos )2sin cos(12cos21). 2= sin cos 1 cos' 2 sin cos cos.2=Sin cossin 2 Sin coscose =右.sin (cossin )门玄ncos (sincos )所以

17、,原式成立.方法二:.22左= sincossin2cos2sin 22 2 Sin sin2 cos2 cos2 sinsin 22sin2sin 22 cos=2sin (sin cos ) 门玄n2 cos (sin cos )e =右.方法三:左=(1 sin 2 ) cos2(1 sin2 ) cos2(sin2(si n2222cos2sin?cos )(cossin)222cos2 sin?cos )(cossin)(sin cos )2 (cossin )(cos sin )(sin cos )2 (cos sin )(cos sin )=(sincos )(sincossin

18、cos)(sincos )(sincoscossin)=_=tan e 二右.(sin cos ) ? 2 cos点评：以上几种方法大致遵循以下规律：首先从复杂端化向简单端；第二，化倍角为单角，这是我们今天刚刚学习 的；第三，证题中注意对数字的处理，尤其“ 1”的代换的妙用，请同学们在探究中仔细体会这点.在这道题中通常用的几种方法都用到了，不论用哪一种方法，都要思路清晰， 书写规范才是.思路2例 1 求 sin10 ° sin30 ° sin50 ° sin70。的值 .活动：本例是一道灵活应用二倍角公式的经典例题，有定难度，但也是训练学生思维能力的一道好题.本题

19、需要公式的逆用，逆用公式的先决条件是认识公式的本质，要善 于把表象的东西拿开，正确捕捉公式的本质属性，以便合理 运用公式.教学中教师可让学生充分进行讨论探究，不要轻 易告诉学生解法，可适时点拨学生需要做怎样的变化，又需 怎样应用二倍角公式.并点拨学生结合诱导公式思考.学生经过探索发现，如果用诱导公式把10°，30°，50°，70。正弦的积化为 20° ,40 °,60 ° ,80 °余弦的积，其中60是特殊角，很容易发现40°是20°的2倍,80。是40°的2倍,故可考虑逆用二倍角公式解：原式=

20、cos80° cos60°cos40° cos20°3 2 ?sin20 cos 20 cos40 cos8023 ?2sin20二 sin 160 sin 20116sin2016sin2016.点评：二倍角公式是中学数学中的重要知识点之一，又是解答许多数学问题的重要模型和工具，具有灵活多变，技巧性强的特点，要注意在训练中细心体会其变化规律.例 2 在 ABC中,cosA= 4 ,tanB=2,求 tan(2A+2B)的值.5活动：这是本节课本上最后一个例题，结合三角形，具有一定的综合性，同时也是和与差公式的应用问题.教师可引导学生注意在三角形的背景下

21、研究问题，会带来一些隐含的条件，女n A+B+Cn ,0<A< n ,0<B< n ,0<C<n ,就是其中的个隐含条件.可先让学生讨论探究，教师适时点拨.学生探究 解法时教师进一步启发学生思考由条件到结果的函数及角 的联系.由于对2A+2B与A,B之间关系的看法不同会产生不同的解题思路，所以学生会产生不同的解法，不过它们都是对倍角公式、和角公式的联合运用，本质上没有区别.不论学生的解答正确与否，教师都不要直接干预.在学生自己尝试解决问题后，教师可与学生一起比较各种不同的解法，并 引导学生进行解题方法的归纳总结.基础较好的班级还可以 把求tan(2A+2B)

22、的值改为求tan2C的值.sinA= Ji cos2 A J解：方法一：在 ABC中，由cosA=- ,0<A< n ,得 51 （第3所以 tanA= S!nA = 3 X 5 = 3,cosA 544tan 2A= 2ta "A1 tan1 2 A2 ?4_1 (3)24247又 tanB=2,所以tan2B=啓 r 22244于是 tan(2A+2B)= 1tani总73442441771 (-) 73方法二：在 ABC中，由 cosA=2sin2 2a 2 sin 2a cos2a,0<A< n ,得5sinA=山 cos2 A 話F1)2 3所以 t

23、anA= SinA 解： 原式一 2cos 2a 2 sin 2acos2a X 5=-3.又 tanB=2,cosA 544所以 tan(A+B)= 1ta421124于是 tan(2A+2B)=tan2(A+B)112tan(A B) ( "2)44=2cos2a(cos2a sin 2a)2sin 2a(sin 2a cos2a)=C0t2 a.知能训练（2007 年高考四川卷,17）已知cos a= 1 ,cos( a7-P )=14,且 0vp Va< ,2求tan2 a的值;(1)sin:(1) 由 cos a =,0<a= J1cos2 a =111 2(7

24、)二 tan a =sin a cosa4J37=473tan2 a= 2 tan a1 tan2 a1 tan2 a8 7347由 0va < p<2,得 0va-p<? cos(1314，Sin( a - P )= J1 cos2(a3罷14由 P = a - ( a - P )，得cos P =cosa - ( a - P)=cos a cos( a - p )+sin a sin(a - P )=7 X 护伴343 =114 =2卩=亍点评：本题主要考查三角恒等变形的主要基本公式、三角函数值的符号，已知三角函数值求角以及计算能力 作业 课本习题 3.1 A 组15、16、17.课题小结1.先由学生回顾本节课都学到了什么？有哪些收获？对前面学过的两角和公式有什么新的认识？对三角