二项式定理的应用1证明整除或求余数

1、r n r. r通项Tr+=Cnran丄b是（a+b）n的展开式的第r+1项，这里=0,1,2,n .1. 二项式定理 二项式定理（a +b j =C0an + Cn1anb +C2a2b2 +C；bn （n 迂 N*）这个公式表示的定理叫做二项式定理.二项式系数、二项式的通项C：an +C1af+c2a2b2+.+Cnnbn叫做（a+b）的二项展开式，其中的系数Cnr （r =0, 1, 2,，n ）叫做二项式系数，式中的C；abr叫做二项展开式的通 项，用Tr十表示，即通项为展开式的第 "1项：时=山2只.二项式展开式的各项幕指数 二项式（a+bf的展开式项数为n+1项，各项的幕

2、指数状况是 各项的次数都等于二项式的幕指数n . 字母a的按降幕排列，从第一项开始，次数由n逐项减1直到零,字母b按升幕排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到 几点注意二项式（a+bj的r+1项和（b+a）的展开式的第r+1项Cnrbn-ar是有区别 的，应用二项式定理时，其中的a和b是不能随便交换的. 注意二项式系数（cn ）与展开式中对应项的系数不一定相等，二项 式系数一定为正，而项的系数有时可为负.通项公式是（a+b）n这个标准形式下而言的，如（a_b）的二项展开式的 通项公式是Tr+=（-1）C；an"br （只须把4看成b代入二项式定理）这与TT=Cnra2br是不同的，在

3、这里对应项的二项式系数是相等的都是 Cnr , 但项的系数一个是（_ijcnr，个是cn，可看出，二项式系数与项的系 数是不同的概念.设 a=1,b=x，贝J得公式：(1 + X ) =1 tclx +Cnx2 +.+ cnX +. + £ .通项是 T = cnanfr (r =0, 1, 2,., n )中含有，a, b, n, r 五个元素, 只要知道其中四个即可求第五个元素.当n不是很大，IX比较小时可以用展开式的前几项求（1 + x）n的近似值.2. 二项式系数的性质 杨辉三角形: 对于n是较小的正整数时，可以直接写出各项系数而不去套用二项式 定理，二项式系数也可以直接用杨

4、辉三角计算.杨辉三角有如下规律：“左、右两边斜行各数都是1.其余各数都等 于它肩上两个数字的和.”【例2】若代N *，证明：32n* -24n+37能被64整除.二项式系数的性质:(a+bj展开式的二项式系数是：C°,C；,C2,., cn，从函数的角度看cn可以看成是r为自变量的函数f(r )，其定义域是：O, h 2, 3,n.当n =6时，f (r )的图象为下图:20 '1 ti - 16I 2 LJOH吞L 这样我们利用“杨辉三角”和n =6时f(r )的图象的直观来帮助我们研究二项式系数的性质.对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等.事实上，这一性质可直

5、接由公式CU得至U.【例4】证明：（1 +73）2n*（1 -两2"十（n亡N*）能被2n+整除.增减性与最大值 如果二项式的幕指数是偶数，中间一项的二项式系数最大;如果二项式的幕指数是奇数，中间两项的二项式系数相等并且最大.由于展开式各项的二项式系数顺次是Q ,儿n 小2n(nCn =1, Cn = , Cn =1 1 2n(n-qn -2)Cn ，.n(n 1 Jn -2 ).(n -k +2 ) k n(n -1 n -2 ).(n -k +2 J n -k +1)1 2 3(k 1 *Cn L7T, , C n 1 2 3 :fk 一1 )其中，后一个二项式系数的分子是前一个

6、二项式系数的分子乘以逐次 减小1的数（如n,n _1, n_2,），分母是乘以逐次增大的数（如1, 2,3, ）.因为，一个自然数乘以一个大于 1的数则变大，而乘以一 个小于1的数则变小，从而当k依次取1, 2, 3,等值时，Cnr的值 转化为不递增而递减了.又因为与首末两端“等距离”的两项的式系 数相等，所以二项式系数增大到某一项时就逐渐减小， 且二项式系数 最大的项必在中间.当n是偶数时，n+1是奇数，展开式共有n+1项，所以展开式有中间一n项，并且这一项的二项式系数最大，最大为 Cn2.当n是奇数时，n+1是偶数，展开式共有n+1项，所以有中间两项.n 丄nH1这两项的二项式系数相等并且最大，最大为 Cn2 =Cn2'.二项式系数的和为 2n，即 C：+C1+C2+.+Cnr+.+ =2n . 奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和，即024135Cn +Cn +Cn +. =Cn +Cn=2常见题型有: 求展开式的某些特定项、项数、系数，二项式定理的逆用，赋值用,简单的组合数式问题.典例分析二项式定理的应用1证明整除或者求余数【例11利用二项式定理证明：3加七-8 n-9是64的倍数.【例3】证明：（1 +点）2n +（17