一轮复习第九章平面解析几何9.8.3圆锥曲线的范围问题练习

1、983圆锥曲线的范围问题核心考点精准研析5*考点一几何法求范围*题组练透*1.已知直线I i：mx-y+m=O与直线l2：x+my-1=0的交点为Q,椭圆三+y2=1的焦点为F1,F2,则4|QF1|+|QF 2|的取值范围是（）A.2,+ S)C.2,4D.2 遁,42.（2020 绵阳模拟）设点P是抛物线C:y 2=4x上的动点,Q是C的准线上的动点，直线I过Q且与OQ（C为坐标原点）垂直，则点P到I的距离的最小值的取值范围是A.(0,1)B.(0,1C.0,1D.(0,22 23.过双曲线一-石=1（a>0,b>0）的右顶点且斜率为 2的直线,与该双曲线的右支交于两点，则此双

2、曲线离心率的取值范围为【解析】1.选D.椭圆l+y2=1的焦点为:F 1（- 苗,0）,4-F2（甘3,0）,由I1与I 2方程可知I 1± I 2,直线I i：mx-y+m=0与直线I 2：x+my-1=0的交点为Q,且两条直线分别经过定点（-1,0）,（1,0）,所以它们的交点 Q满足:x 2+y2=1（x丰-1）,当Q与(1,0)重合时,|QFi|+|QF 2|取最小值为|FiF2|=2V3,当Q与短轴端点重合时,|QF 1|+|QF 2|取最大值为2a=4,所以|QF1|+|QF 2|的取值范围是2*34.2.选B.抛物线C的准线方程是x=-1,若点Q的坐标为(-1,0),此

3、时直线I的方程为x=-1,显然点P到直线I的距离的最小值是1, 若点Q的坐标为(-1,t), 其中t丰0,L0则直线OQ的斜率为 k。=-t,-L-0直线I-1 1的斜率为kI=,直线I1 2的方程为 y-t=(x+1),即 x-ty+t +1=0,t设与直线I平行且与抛物线C相切的直线方程为x-ty+m=0，代入抛物线方程得y2-4ty+4m=0, 所以 =16t2-16m=0,解得m=t2,所以与直线I平行且与抛物线 C相切的直线方程为 x-ty+t 2=0,所以点P到直线I的距离的最小值为直线2 2x-ty+t +1=0与直线 x-ty+t =0的距离，即因为t丰0,所以0<d&l

4、t;1.综合两种情况可知点P到直线I的距离的最小值的取值范围是(0,1.3.由过双曲线44=1(a>0,b>0)的右顶点且斜率为2的直线,与该双曲线的右支交于两点可得-<2.所以e二 F 节 <<1 + 4=百,因为e>1,所以1<eV5 ,所以此双曲线离心 n口 V a率的取值范围为(1, 答案：(1，甘5)律方法1.当题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质来解决,然后利用平面几何中的2.利用圆锥曲线的定义、几何意义等转化为平面图形中的范围问题定理、性质等进行求解.*考点二 代数法求范围问题 命i考什么：(1)范围问题主要有：涉

5、及距离、 面积的范围以及与之相关的一些范围问题； 题i求直线或圆锥曲线中几何元素的范围；求目标代数式的取值范围(2)考查数学建模、数学运算、逻辑推理以及函数与方程、转化与化归的数学思想等怎么考：以直线和圆锥曲线的位置关系为背景，考查参数取值范围或目标代数式的取值:范围问题.新趋势：范围问题与不等式、函数值域等问题相结合! 1.解决圆锥曲线中的取值范围问题的5种常用解法1 (1)利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围.|(2)利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等,求其值域,从而确定参数! (3)利用隐含的不等关系建立不等式 ，从而

6、求出参数的取值范围1(4)利用已知的不等关系构造不等式 ，从而求出参数的取值范围! (5)利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数 !i的取值范围.S2.交汇问题i与不等式、函数问题交汇时，要注意参数取值范围的限制对解不等式、求函数值域的影-命®*度构造不等式求范围【典例】(2019 宜昌模拟)在直角坐标系xOy中，椭圆C的方程为；亍転=1(a>b>0),左右焦点分别为F1,F2,R为短轴的一个端点，且 RFF2的面积为7坷'.设过原点的直线I与椭圆C交3于A,B两点,P为椭圆C上异于A,B的一点，且直线PA,PB的斜率都存在,k pA<p萨-；.

7、4-(1)求a,b的值.设Q为椭圆C上位于x轴上方的一点,且QF丄x轴,M,N为椭圆C上不同于 Q的两点,且/MQ匡/ NQF,设直线MN与y轴交于点D(O,d),求d的取值范围.【解题导思】序号题目拆解(1)求参数a,b3点差法转化 kPAkPEF-,结合 RFF2的面积列出方程4组求解(2)设直线QM勺方程将两角相等转化为两直线 QM,QN斜率之间的关系求直线MN的斜率将直线方程与椭圆方程联立，分别求出M N点的横坐标，利用两点坐标表示出直线 MN的斜率.求d所满足的不等式将直线MN的方程与椭圆方程联立，由位置关系列出 不等关系解不等式求氾围解所得不等式即可求得 d的取值范围【解析】 设

8、A(xi,y 1),P(x 2,y 2),则 B(-x i,-y 1),疋1蚯 透vj 进一步得 V=1V=1,两个等式相减得，注尹牛尹=0,所能所以kpA 力2kpE=-=,因为kpA -3kpEF-,*1所以-即£兰设 bt,a=2t(t>0), CT 2因为 a2=b2+c2,所以 c=t,由REF2的面积为、尿，丁刊3即bcV3,即问2=3曰，所以a=2，b=®(2)设直线QM的斜率为k,因为/ MQF=/NQF,所以QM,QN关于直线QF对称,所以直线QN的斜率为-k,算得 F1(-1,0),Q (-1,寸;3所以直线QM的方程是y-=k(x+1),2设 M

9、(X3,y 3),N(x 4,y 4)由丫 2消去y得,y二心 + 1>, 2(3+4k2)x 2+(12+8k)kx+(4k 2+12k-3)=0,所以-1 X3严 +空罗,所以X3=°"将上式中的k换成-k得,x 4=所以kM=/a評+%旳吕+丸)+ 2丿 1所以直线MN的方程是1y=-?x+d,=1 得,x 2-dx+d 2-3=O,2 2 尤V 代入椭圆方程+4 32 2所以 =( -d) -4(d -3)>0,所以-2<d<2, 又因为MN在Q点下方,3 1所以二 >-7 x(-1)+d,2 2所以-2<d<1.-命氈构造

10、函数法求范围【典例】(2019 日照模拟)已知点E,F分别是椭圆c44=1(a>b>0)的上顶点和左焦点，42 2若EF与圆x+yh相切于点T,且点T是线段EF靠近点E的三等分点.3(1)求椭圆C的标准方程.(2)直线I :y=kx+m与椭圆C只有一个公共点 P,且点P在第二象限,过坐标原点0且与I垂直的直线I '与圆x 2 2(3k +1)x +6kmx+3m6=0.+y2=8相交于A,B两点,求PAB面积的取值范围.【解题导思】序号题目拆解(1)求参数a,b根据已知分别求出a,b的值.(2)建立k,m的关系式直线方程与椭圆方程联立，利用方程只有一解即可建立两者的关系式求

11、P到直线1 的距离求P点坐标，代入距离公式求解表示 PAB面积利用三角形面积公式建立目标函数求取值范围根据目标函数的结构特征,利用基本不等式求解最值，从 而确定其取值范围2124【解析】OT =ET - TF-a 孑Va2=6,b2=0E=012+E=2,r椭圆C的标准方程为+=1.g 2因为直线 I :y=kx+m 与椭圆 C相切于点 P,所以 =(6km) -4(3k +1)(3m -6)=12(6k +2 -m )=0,即 m=6k2+2,解得 x=字,y=7,S口 1预即点P的坐标为 因为点P在第二象限，所以k>0,m>0, 所以m6fr2 + 2,所以点P的坐标为赢T赢帚

12、丿，设直线1 '与1垂直交于点Q，则|PQ|是点P到直线I '的距离， 设直线l 的方程为y=-F,9则IPQF L賈心忍冰5所以 Sapae=-x4 2 X |PQ|= < =石=钿'3 -4,2仆圭V4+2V3 V3+1当且仅当 3=吉，即¥乜,k2=时，取得最大值43-4,所以 PAB面积的取值范围为-3 (0,4 34.1.已知椭圆C:一h+7=1(a>b>0)的焦距为 2 节"3, 且C与y轴交于A(0,-1),B(0,1) 两点.(1)求椭圆C的标准方程.设P点是椭圆C上的一个动点且在 y轴的右侧，直线PA,PB与直线x

13、=3交于M,N两点.若以MN为直径的圆与x轴交于E,F两点，求P点横坐标的取值范围.【解析】（1）由题意可得,b=1,c= 苗, 所以a=2,椭圆C的标准方程为兰L+y2=1.4(2)方法一：设 P(xo,y o)(0<x o< 2),A(0,-1),B(0,1),所以kPA=i,直线PA的方程为y如土ix-1,同理得直线PB的方程为y西2x+1,直线PA怎00芒0与直线x=3的交点为 M（3孔+ D_1）,直线PB与直线x=3的交点为3, 3 （珈T）+ ）线段MN的中点G严）,所以圆的方程为E+(y-警)0-寸.令 y=0,则(x-3)2+磚=（1 一旦）,因为Y阮=1,所以（

14、X-3）2罟上,因为这个圆与13 6x轴相交，所以该方程有两个不同的实数解，贝y ->0,又0<X0< 2,解得X0 心兀0兰2 .13方法二：由题意设直线 AP的方程为y=kix-1（k 1>0）,与椭圆x2+4y2=4联立得：(1+4 ft?)x -8k ix=0,x214十同理设直线 BP的方程为y=k2X+1,可得X吋,由可得 4klki 所以 M（3,3kl-1），N（3,3k 2+1）,MN 的中点为（3班）,所以以 MN为直径的圆为L. 3(珀19/ 2 -2 .(X-3) 2+当 y=0 时,(x-3) 2+兰9,所以（x-3）2 3广"卜 F

15、因为MN为直径的圆与x轴交于E,F两点，所以（&k坊（-駅2-2）0,代入(3亞1-1)(耳火1-3)134kik2=-1 得:<0,所以一<kik,34所以单调递增，在（孑f威1!Xp丁二 i丁）单调递减,所以xp （今'2 .4/Vi3 "2.（2019 焦作模拟）已知椭圆C竺+亡1与直线l1交于A,B两点，l1不与x轴垂直,圆432 2M:x +y -6y+8=0. 若点P在椭圆C上，点Q在圆M上,求|PQ|的最大值.（2）若过线段AB的中点E且垂直于AB的直线12过点（扌0）,求直线l1的斜率的取值范围.【解析】 依题意,圆M:x2+y2-6y+8

16、=0,即圆M:x2+（y-3） 2=1,圆心为M（0,3）.所以 |PQ| < |PMI+1.设 P(x,y),2 2则 |PM| =x +(y-3)222八小、=x +y -6y+9.(*)2 2主阳2而+=1,所以 x =4-4339-9代入(*)中，可得 |PM| =4+y -6y+93=-6y+13,y卜十3甘3.所以|PM爲=12+63即 |PM| ma)= 3+13,所以 |PQ| ma>=4W 3 .依题意，设直线I i：y=kx+m.消去 y 整理得(3+4k )x +8mkx+4rm12=0.因为直线与椭圆交于不同的两点 所以 =64mk2-4(3+4k 2)(4

17、m2-12)>0,整理得 m<4k2+3.设 A(xi,yi),B(x 2,y 2),Bmk 477/-12贝 y X1+X2=- ,x 1X2=r .3 + 4，3 + 4 好设点E的坐标为(x o,y 0),4TTlfe则X0=-齐克47713m所以 y0=kx0+m= +m=孑,3 nt所以点E的坐标为I一卄4泌“齐正刃.2 4771；所以直线l2的斜率为k、卫口G稣妒.芬活Sm一-又直线l 1和直线|2垂直，则-罷血- k=-1,所以3 + 4fe 将 m=-代入式，可得(誉/ <4k2+3.解得k>或10k<-.1013所以直线li的斜率的取值范围为1.

18、(2020 南昌模拟)已知椭圆C:訴+ 臣=1(a>b>0)的离心率为丁,短轴长为2.-£(1)求椭圆C的标准方程.a设直线I :y=kx+m与椭圆C交于M,N两点，0为坐标原点，若koM-辰書，求原点0到直线I的距离的取值范围.【解析】（1）由题知e,2b=2,a 2又 a2=b2+c2,所以 b=1,a=2.所以椭圆C的标准方程为 +y2=1.4 设 M(xi,y i),N(x 2,y 2),y - kx + TO,l+y? = 1,得(4k 2+1)x 2+8kmx+4n2-4=0,222依题意, =(8km) -4(4k +1)(4m -4)>0,化简得m&

19、lt;4k2+i，SkmXi+x2=-,x 1X2= r ,比宀T4炉+12 2yiy2=(kx i+m)(kx 2+m)=k xiX2+km(xi+X2)+m .若 koM- ko=,贝yh,4主1圍2； 4即 4yiy2=5xiX2,所以(4k2-5)x iX2+4km(xi+X2)+4m2=0,4fc + i所以(4k2-5).忖24km(一 聲)+4m=0,2 2即(4k -5)(m -1)-8k2222八八m+m(4k +1)=0,5化简得nf+k2h,6由得0W15vk2w7.4I ni因为原点O到直线I的距离d= 吞豆,所以02二=辽=-1 + 又<k2,所以 0w d222047所以原点0到直线I的距离的取值范围是2.已知椭圆cW+咯(a>b>0)的离心率是逻,且椭圆经过点(0,1).(1)求椭圆C的标准方程. 若直线 li：x+2y-2=0 与圆 D:x+y-6x-4y+m=0 相切.(i )求圆D的标准方程.(ii)若直线l 2过定点(3,0),与椭圆C交于不同的两点E,F,与圆D交于不同的两点M,N,求 |EF|