第七章：立体几何

1、五年高考真题分类汇编：立体几何一、填空题1 （2013 安徽高考理）如图，正方体ABCD-AiBiCiDi的棱长为1, P为BC的中点，Q为线段CC1上的动点，过点 A, P, Q的平面截该正方体所得的截面记为S则下列命题正确的（写出所有正确命题的编号）.C,当0<cq<2时，S为四边形;当CQ= 2时，S为等腰梯形;当3CQ=3时，S与CiDi的交点R 满足 CiR=3；3当4<cq<i时，S为六边形;当cq= 1时，S的面积为普.【解析】本题考查空间点、线、面的位置关系，平行转化及考生的计算能力.对于，如图1,因为正方体 ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,当cq

2、 = 1时，pq = ¥，这时过A, P, Q三点的截面与正方体表面交于点D1, AP = D1Q=，且PQ /AD1，截面S为等1腰梯形，当O<CQ<2时，过A, P, Q三点的截面与正方体表面的交点在棱DD1上，截面S为四边形，故正确;图2对于，如图2,延长QR交DDi的延长线于点N，连接AN交AiDi于点M ,连接MCi.取AD的中点G,作GH /PQ交DDi于点H，可得，GH AN，且GH = 珈，设CQ= tg<tw i）则 DN = 2t, NDi= 2t 1,i t3RCi iiNDCDi，当t= 3时，RR=i，可得CiR=i，故正确,CiQ RCi

3、3当4<t<i时，S为五边形，故错误,当t = 1时，M为AiDi的中点,S为菱形 APCiM , AN = 75, AP = PCi = ¥,iCiN = /2, S的面积=菱形 APCiM的面积=2S>MN = 2 X-X羽X云=亚-书，故正确.【答案】2. （20i3 北京高考理）如图，在棱长为2的正方体 ABCD-AiBiCiDi中,E为BC的中点,点P在线段DiE上.点P到直线CCi的距离的最小值为4|亠I'!讥JJ'Cl【解析】本题考查空间几何体、点到直线的距离等基础知识，意在考查等价转化的数学思想和考生的空间想象能力.点P到直线CCi的

4、距离等于点P在平面ABCD上的射影到点 C的距离，设点P在平面ABCD上的射影为P',显然点P到直线CCi的距离的最小值为 P C的长度的最小值.当 P C1DE时，P C的长度最小，此时 P' C= 2 i【答案】建53 （2013 大纲卷高考理）已知圆3半径，OK = 2且圆0与圆K0和圆K是球0的大圆和小圆，其公共弦长等于球0的所在的平面所成的一个二面角为60°则球0的表面积等于【解析】 本题考查立体几何问题,考查球体的有关性质.设点A为圆0和圆K公共弦的中点，则在RtOAK中，/OAK为圆0和圆K所在的平面所成的二面角的一个平面角，即/OAK = 60

5、76;由OK = 2,可得OA = 3,设球的半径为 R,则（書）2 + 雳 =R2,解得R= 2,因此球的表面积为 4nR2= 16 n.4 （2013 江苏高考文）如图，在三棱柱 A1B1C1-ABC中，D , E, F分别是AB, AC, AA1的 中点，设三棱锥F-ADE的体积为V1,三棱柱A1B1C1-ABC的体积为V2,则V1 : V2 =.【解析】本题考查多面体的体积，意在考查学生的化归能力及运算能力.设三棱柱AiBiCi-ABC的高为111 1 1h底面三角形ABC的面积为S,则V1 = 3X-Sy；h= 24Sh=24V2,即 Vi V2= 1 ：24.【答案】1 : 245

6、. （2013 安徽高考文）如图,正方体 ABCD-A1B1C1D1的棱长为1, P为BC的中点，Q为线段CC1上的动点，过点 A,P, Q的平面截该正方体所得的截面记为S则下列命题正确的（写出所有正确命题的编号）.当当1CQ= 2时，S为等腰梯形;当CQ= 3时，S与C1D1的交点R满足C1 R= 3；3当4<CQ<1时，S为六边形;当CQ= 1时，S的面积为警.【解析】本题主要考查空间几何体中的点、线、面的位置关系以及有关正方体的截面计算问 题，意在考查考生的空间想象能力和推理论证能力.对于，当O<CQ<2时，过点A在面ADDiAi内作PQ的平行线交线段 DD i于

7、一点，故截面S为四边形；对于，当 CQ = 2时，同的作法可知，此时的截面为AP QDi,且DiQ= AP=¥，故该截面为等腰梯形；对于，当CQ = 3时，过点A在面ADD iAi内作PQ的平行i线交线段DiAi于点M ,且MDi = 3,然后再过点M在面AiBiCiDi内作AP的平行线交CiDii 3于点R,且满足Ci R= §，此时的截面是五边形 APQRM ;对于，由可知，当字CQ<i时,截面是五边形，故错误；对于，当CQ = i时，即点Q在Ci处，取AiDi的中点M,此时过点A, P, Q的截面是菱形APQM,边长为 乎，其中一条对角线 AQ=/3，所以可得截

8、面S的面积为爭.【答案】6. （20i3 大纲卷高考文）已知圆 0和圆K是球0的大圆和小圆，其公共弦长等于球0的半径，0K = 2,且圆0与圆K所在的平面所成的一个二面角为 60°则球0的表面积等于O的半径为R,【解析】 本题主要考查球的截面、球的表面积及二面角.如图所示，设球i过K作公共弦的垂线，垂足为 M，连接0M , ON，则/OMK = 60° |MN| =孑只，所以|0M| =si0K0 =73，于是在RtDMN中，由勾股定理可得 r）+ （>/3）2= R2，解得R2= 4,所以球2的表面积S= 4 nR = i6 n.【答案】16 n7. （20i3 新

9、课标n高考文）已知正四棱锥0-ABCD的体积为呼，底面边长为a/3,则以0为球心，0A为半径的球的表面积为【解析】本题主要考查棱锥的概念与性质、球的表面积等，意在考查考生的空间想象能力与 运算求解能力.过 0作底面ABCD的垂线段0E，贝y E为正方形ABCD的中心.由题意可知（3）929 n,即R2=8.由球的表面积公式，得s= 4 nR2=.【答案】y9 （2013 天津高考文）已知一个正方体的所有顶点在一个球面上.若球的体积为 方体的棱长为【解析】 本题主要考查球的体积、正方体与其外接球的关系，意在考查考生的空间想象能力设正方体的棱长为 X,其外接球的半径为 R,则由球的体积为 

10、5;，得3点=竽解得R 2R=2由 2R=3x,得 Y=丽【答案】7310 （2013 湖北高考文）我国古代数学名著 数书九章中有“天池盆测雨”题： 在下雨时， 用一个圆台形的天池盆接雨水. 天池盆盆口直径为二尺八寸， 盆底直径为一尺二寸， 盆深一X 0E= 呼，所以0E = 誓，故球的半径R= 0A=p0E2 + EA2 =6，则球的表面积 S= 4 nR2 = 24 n.【答案】24 n 8. （2013 新课标I高考文）已知 H是球0的直径AB上一点，AH : HB = 1 : 2, AB丄平面 a, H为垂足，a截球O所得截面的面积为 n则球0的表面积为【解析】本题主要考查球及其组合体

11、的基本知识.如图,设截面小圆的半径为r，球的半径有R2= r2 + 0H2,又由题意得n2= n1则 r = 1，故 R2= 1 +97，则正为R,因为AH HB = 1 ：2,所以OH = 3R.由勾股定理,尺八寸.若盆中积水深九寸，则平地降雨量是寸.（注：平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积；一尺等于十寸【解析】本题以我国数学名著数书九章为题材，考查台体的体积.圆台中截面圆的半径为十寸，圆台内水的体积为V = 3 m(r中 + r下+ r中r下)=fx 9X (i02 + 62 + i0X 6)= 588 n降33雨量为3X9?6丄3.14 n 196 n【答案】3a上，且ii （20i

12、3 江西高考文）如图，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面AB / CD,则直线EF与正方体的六个面所在的平面相交的平面个数为/I:【解析】本题主要考查空间的线、 面位置关系，考查考生的逻辑推理能力和空间想象能力.在 正四面体中取 CD的中点为G,连接FG, EG,作FH丄平面CDE于点H.因为正四面体的高FH在平面EFG内，且FH平行于正方体的咼，所以可证得平面EFG平行于正方体的左、右两个侧面，故直线 EF仅与正方体的六个面中的上、下两个平面及前、后两个平面相交,共有4 个.【答案】412. （ 2012 山东高考理）如图，正方体ABCD AiBiCiDi的棱长为1, E、F分别为线段

13、AAi,BiC上的点，则三棱锥 Di EDF的体积为，又因为F点在线段BiC 上,【解析】i所以点F到平面DEDi的距离为i,即h= i，所以VDi EDF = VF DEDi = 3X SEDiX h ix 1X iJ3 26'i【答案】ii3. （20i2 四川高考理）C,fi如图，在正方体 ABCD A1B1C1D1中，M、N分别是棱 CD、CC1的中点，则异面直线与DN所成的角的大小是【解析】依题意，知直线 AiM在平面CDD iCi内的射影是直线 DiM，且DiM JDN，因此由三垂线定理，知 AiM JDN，即直线AiM与DN所成的角是90 °【答案】90

14、6;14. （2012 辽宁高考理）已知正三棱锥P ABC，点P, A, B, C都在半径为Q3的球面上,若PA, PB, PC两两相互垂直，则球心到截面ABC的距离为 .【解析】fi如图，满足题意的正三棱锥 P-ABC可以是正方体的一部分， 其外接球的直径是正方体的体所以球心到平面ABC的对角线，且面ABC与体对角线的交点是体对角线的一个三等分点, 距离等于体对角线长的1故球心到截面 ABC的距离为7 23=乂3663【答案】申32 n的半圆面，则该圆锥的体积15. （2012 上海高考理）若一个圆锥的侧面展开图是面积为【解析】因为半圆的面积为 2n,所以半圆的半径为2,底面圆的周长为2n所

15、以圆锥的母线长为2，底面圆的半径为1,所以圆锥的高为3,体积为警n.【答案】当n3ABCD中互相垂直的棱，BC= 2若16. （2012 上海高考理）如图， AD与BC是四面体AD = 2c,且AB + BD = AC+ CD = 2a,其中a、c为常数，则四面体 ABCD的体积的最大值【解析】过点B在平面BAD中作CE,因为 BClAD，所以 AD丄平面BCE ,所以四面体 ABCD的体积为tSzsceAD ,3当BCE的面积最大时，体积最大.因为AB + BD = AC + CD = 2a,所以点 B、C在一个椭圆上运动,由椭圆知识可知当AB= BD=AC = CD = a时，BE= CE

16、 =寸a2 c2为最大值，此时截面 BCE面积最大，为-X 2寸a2 c2 i =寸a2 c2 i，此时四面体 ABCD的体积最大，最大值为 gs/ecE AD =2ca2 c2 i.【答案】c2 i17.（2012 江苏高考理）如图，在长方体 ABCD AiBiCiDi 中，AB = AD = 3cm, AAi = 2 cm,则四棱锥A-BBiDiD的体积为3【解析】22 i由题意得 VA BBiDiD = 3VABD AiBiDi = 3X X 3X 3X 2 = 6.【答案】i8. （20i2 大纲卷高考理）三棱柱 ABC AiBiCi中，底面边长和侧棱长都相等，/BAAi =/ CAA

17、i= 60°则异面直线 ABi与BCi所成角的余弦值为【解析】 将三棱柱ABC AiBiCi补充成为四棱柱 ABCD AiBiCiDi,其中四边形ABCD 为菱形因为BCi/ADi，所以异面直线 ABi与BCi所成的角为/ BiADi.设棱长为a,则由题中2 2 2厂厂厂3a + 2a 3a条件可知 ABiyj3a, BiDi = V3a, ADiV2a,则由余弦定理可得 cos/BiADi =刃6a26 .【答案】¥19. （2012 四川高考文）如图，在正方体ABCD A1B1C1D1中，M、N分别是棱CD、CC1的中点，则异面直线 A1M与DN所成的角的大小是 .Cl

18、jV7i【解析】依题意，知直线 AiM在平面CDDiCi内的射影是直线 DiM，且DiM JDN，因此由三垂线定理，知 AiM JDN，即直线AiM与DN所成的角是90 °【答案】90°20 （2012 辽宁高考文）已知点 P, A, B, C, D是球0表面上的点，PA丄平面ABCD，四边形ABCD是边长为2寸3的正方形.若FA= 2（6，则 OAB的面积为 .【解析】把球0的内接四棱锥还原为长方体，则球0的直径为长方体的体对角线，则（2R）2=（273）2 + （2的）2 + （2J6）2，可得 R2= 12.OAB 中，设 AB 边上的高为 h,贝UR2小）21=9，

19、贝U h= 3，所以 SOAB= 2 X 2筋 X 3 = 3治.【答案】3羽21 （ 2012 山东高考文）如图，正方体ABCD AiBiCiDi的棱长为1, E为线段BQ上的一点，则三棱锥 A DEDi的体积为- r-【解析】 三棱锥A DED1的体积等于三棱锥 E DD1A的体积，即VA DED1 = VE DD识1 1 1 1X1X1X1X 1=6.【答案】122. （ 2012 江苏高考文）如图，在长方体 ABCD A1B1C1D1 中，AB = AD = 3 cm,AA1 = 2 cm,则四棱锥A BB1D1D的体积为3 cm .c,2 2 1【解析】 由题意得 VA- BB1D1

20、D = -VABD A1B1D1=rX 3X 3X 2 = 6.3 3 2【答案】623. （2012 上海高考文）一个高为 2的圆柱，底面周长为 2 n该圆柱的表面积为【解析】由题可知该圆柱是底面半径为1,高为2的圆柱，所以该圆柱的表面积S= 2n+ 4n =6 n.【答案】6n24 （ 2012 安徽高考文）若四面体 ABCD的三组对棱分别相等，即 AB = CD , AC= BD, AD=BC,则（写出所有正确结论的编号 ）四面体ABCD每组对棱相互垂直四面体ABCD每个面的面积相等四面体ABCD每个顶点出发的三条棱两两夹角之和大于90°而小于180连接四面体ABCD每组对棱中

21、点的线段相互垂直平分 从四面体ABCD每个顶点出发的三条棱的长可作为一个三角形的三边长【解析】错误，当 AB = 4, AC= 3, AD = 3时，AC与BD不垂直；正确，在 ABC与ACDA中,AB = CD, AD = BC, AC= AC,故ABC与ACDA全等；同理四面体的四个面都全等，故四面体ABCD每个面的面积相等；错误，根据四面体的四个面都全等可得从四面体ABCD每个顶点出发的三条棱两两夹角为一个三角形的三个内角，故其和为180°正确，如图所示，E、F、G、H是所在边的中点时，则四边形EFGH为菱形，故EG与FH互相垂直平分，同理可得连接四面体 ABCD的每组对棱中点

22、的线段相互垂直平分；正确，因为AD =BC, AB= CD , AC = BD，所以从四面体 ABCD的顶点A出发的三条棱的长可组成 BCD ,同理可得从四面体 ABCD的每个顶点出发的三条棱的长可作为一个三角形的三边长.【答案】25. （2012 大纲卷高考文）已知正方体ABCD A1B1C1D1中，E、F分别为BB1、CC1的中点，那么异面直线 AE与D1F所成角的余弦值为 .【解析】 连接DF，因为DF与AE平行，所以/ DFDi即为异面直线 AE与DiF所成角的平面角，设正方体的棱长为2,则FD1= FD = 75,由余弦定理得cos g=（何F 2=3=5.3【答案】3526 （ 2

23、011 新课标高考）已知矩形 ABCD的顶点都在半径为 4的球0的球面上，且 AB= 6,BC = 23,则棱锥0 ABCD的体积为【解析】设矩形对角线AC, BD 交于点 01，贝U B01 = 23，因此 OO1 = P|ObF|01b|2 =肃-（2寸3 2= 2,因此V = 3sh= 3 X 6X 3x 2=亦.【答案】8/327. （2011 大纲卷高考）已知点 E、F分别在正方体 ABCD A1B1C1D1的棱BB" CC1 上, 且B1E = 2EB, CF = 2FC1，则面AEF与面ABC所成的二面角的正切值等于【解析】设面AEF与面ABC所成的二面角为 0,正方体

24、ABCD A1B1C1D1的棱长为3,则 AEF 在面 ABC 上的射影是 ABC.在 AEF 中，AE=寸 32+ 12 = 0,AF =寸+ 22 =伍,EF =<, AEF的面积等于1X 回X寸= 呼1SABC3129而 ABC的面积等于只3 = 9,因此有cos0= Saaef = sin 0=寸1 cos2 0=扌11' ta n0= 00=普,即面AEF与面ABC所成的二面角的正切值是 警.【答案】普28. （2011 四川高考）如图，半径为 R的球O中有一内接圆柱.当圆柱的侧面积最大时，球的表面积与该圆柱的侧面积之差是【解析】由球的半径为R,可知球的表面积为4nR.

25、设内接圆柱底面半径为 r，高为2h,则 h2 + r2 = R2.r2+ h2 而圆柱的侧面积为2 n 2h = 4 nh< 4 n2 =2 n2(当且仅当r = h时等号成立)，即内接圆柱的侧面积最大值为 2泯2,此时球的表面积与内接圆柱的侧面积之差为2nR2.【答案】2泯229. (2011 福建高考)三棱锥 P ABC中，PA丄底面 ABC, PA = 3,底面 ABC是边长为2的正三角形，则三棱锥 P ABC的体积等于 .【解析】依题意有，三棱锥 P ABC的体积V = SABC |PA| = gx 4 X 22 X 3 = 3.30. (2011 湖北高考)如图，直角坐标系xO

26、y所在的平面为 a,直角坐标系x' Oy'(其中y轴与y轴重合)所在的平面为 3,(I )已知平面3内有一点P' (22 , 2)，则点P'在平面a内的射影P的坐标为 ；(n )已知平面3内的曲线C '的方程是(X'>/2)2 + 2y2 2= 0，则曲线C'在平面a内的射 影C的方程是.【解析】(J可知二面角a y 3为45°点P'到y轴的距离为2f2，所以点P到y轴的距离为2寸2 X COS45 = 2，点P的y轴坐标与点P'的y'轴坐标相同，故点 P的坐标为(2,2).(n曲线C'的方

27、程可化为匚严'+ y2= 1,是一个椭圆.设 O' (£, 0)，因为 yfix 警=1,故中心O '在面a内的射影0的坐标为(1,0).令曲线C'长轴的一个端点 A' (22,0),由上问可知其对应的射影为A(2,0)，曲线C'短轴的一个端点B '(迈,1)，对应的射影 为B（1,1），由0，B, A三点坐标可知曲线C是一个以（1,0）为圆心，1为半径的圆，方程为(X- 1)2 + y2 = 1.【答案】(2,2)(X- 1)2+ y2= 131. （2010 北京高考理）如图放置的边长为1的正方形PABC沿 X轴滚动.设顶点

28、P （X, y）；y = f（x）在其两个相邻零的轨迹方程是y = f（X），贝y f （x）的最小正周期为点间的图像与X轴所围区域的面积为【解析】“正方形PABC沿7轴滚动”包括沿/轴正方向和沿/轴负方向滚动.沿Z轴正方 向滚动指的是先以顶点 A为中心顺时针旋转，当顶点 B落在Z轴上时，再以顶点 B为中心顺时针旋转，如此继续.类似地，正方形 PABC可以沿/轴负方向滚动.【答案】4 兀+132. （2010 四川高考理）如图，二面角 a -丨-P的大小是60°AB与l所成的角为30.则AB与平面P所成的角的正弦值是【解析】过点A作平面B的垂线，垂足为 C,在B内过C作I的垂线.垂足

29、为D,连接AD，有三垂线定理可知 AD丄I，故/ ADC为二面角a l - P的平面角，为60°又由已知，/ ABD = 30°，连接CB,则/ ABC为AB与平面P所成的角设AD = 2，贝yAC =73 , CD = 1 , AB = AD 0 = 4Sin 300sin / ABC =AB 4（写出所有正确命33. （2009 安徽高考文）对于四面体 ABCD下列命题正确的是题的编号）.相对棱AB与CD所在的直线是异面直线;由顶点A作四面体的高，其垂足是 A BCD的三条高线的交点;若分别作A ABC和A ABD的边AB上的高，则这两条高的垂足重合;任何三个面的面积之

30、和都大于第四个面的面积;直径即为10,也即半径是5，设球心到小圆的距离是d ,贝y由d2 +52=132，可得 d =12.（2）设过ABC三点的截面圆的圆心是O1, AB中点是D点，球心是O点，则连三角形分别作三组相对棱中点的连线，所得的三条线段相交于一点【解析】由空间四面体棱，面关系可判断正确，可举例说明错误.【答案】34 （200 9 -湖南高考理）在半径为13的球面上有 A , B, C 三点，AB=6 , BC=8 , CA=10，贝U（1）球心到平面 ABC的距离为（2）过人，B两点的大圆面为平面 ABC所成二面角为（锐角）的正切值为A,B,C三点小圆的【解析】（1 ）由 MBC的

31、三边大小易知此三角形是直角三角形，所以过=4，所DO1OD，易知N0D01就是所求的二面角的一个平面角,以NODO1嚼=牛3，即正切值是3.【答案】(1) 12(2) 335. （2009 上海高考理）已知三个球的半径R , R2 , R3满足尺+2R2 =3只3，则它们的表面积S1, S? , S3，满足的等量关系是._厉【解析】S|= 4兀R1，寸S"!= 2勺际"R1，同理：P S2= 2 R2寸S3= 2J兀R3，即R1 =严",2J兀R2=, R3=学，由 R1 +2R2 =3R3 得尺+ 2j<=3/瓦 2J兀2J兀【答案】虑+2虑=3卮二、解答

32、题36. （2013 安徽高考理）如图，圆锥顶点为 P,底面圆心为 O,其母线与底面所成的角为22.5 ° AB和CD是底面圆O上的两条平行的弦，轴OP与平面PCD所成的角为60 °fi（1）证明：平面PAB与平面PCD的交线平行于底面;求 cos/ COD.解：本题考查空间直线、 平面平行关系的性质与判定，线线角、线面角的求解等基础知识和 基本技能，意在考查考生的空间想象能力、 逻辑推理能力与运算求解能力， 题目有一定难度.(1) 证明：设平面FAB与平面PCD的交线为l.因为AB/CD , AB不在面PCD内，所以 AB /平面PCD.又AB?平面FAB ,平面FAB与

33、平面PCD的交线为I, 所以AB/.由直线AB在底面上而I在底面外可知，I与底面平行.设CD的中点为F.连接OF , PF.由圆的性质，/ COD = 2/COF , OF JCD.因为OP丄底面，CD?底面，所以 OP1CD，又OPn OF = O, 故 CD丄平面OPF.又CD?平面PCD,因此平面 OPF丄平面PCD,从而直线 OP在平面PCD上的射影为直线PF，故/OPF为OP与平面PCD所成的角.由题设，/ OPF = 60 ° 设 OP= h，贝U OF = OP tan/OPF = h tan 60 = Sh.根据题设有/ OCP= 22.5 °得 OC= O

34、Ptan/OCP tan 22.5 -0 + d QQ Co由 1 = tan 45 =22和 tan 22.5 >°，可解得 tan 22.51 tan 22.5 °=72 1,因此OC =h7= =+ 1)h.V2 1厂在 RtDCF 中，cos/COF = OF = ,3h =寸6 品OC &2 + 1 h故 cos/COD = cos(2/COF)= 2cos2/COF 1 = 26/s)21= 17 12 迄.37. (2013 北京高考理)如图，在四棱锥P-ABCD中，AB / CD, AB丄AD , CD= 2AB, 平面PAD丄底面ABCD ,

35、 PA丄AD , E和F分别为CD和PC的中点，求证:(1)PA丄底面 ABCD ;BE/平面PAD ;平面BEF丄平面PCD.证明：本题主要考查空间中点、线、面的位置关系，意在考查考生的空间想象能力和推理论 证能力.(1)因为平面PAD丄底面ABCD，且PA垂直于这两个平面的交线AD，所以PA丄底面ABCD.(2)因为 AB CD , CD = 2AB , E 为 CD 的中点, 所以 AB/DE，且 AB = DE.所以ABED为平行四边形.所以BE/AD.又因为BE?平面PAD , AD?平面PAD,所以BE/平面PAD.因为AB lAD，而且ABED为平行四边形.所以 BEICD ,

36、AD1CD ,由知PA丄底面ABCD ,所以FAICD,所以CD丄平面PAD.所以CD _LPD.因为E和F分别是CD和PC的中点,所以PD /EF,所以CD _LEF.所以CD丄平面BEF.所以平面 BEF丄平面PCD.38. （2013 重庆高考文）如图，四棱锥P-ABCD中，PA丄底面 ABCD , PA= 2匹 BC = CDn=2, / ACB=/ ACD = 3.3（1）求证：BD丄平面PAC;DAC若侧棱PC上的点F满足PF = 7FC,求三棱锥P-BDF的体积.解：本题主要考查空间直线、平面的位置关系等基础知识，考查考生的空间想象能力、逻辑思维能力、运算能力及转化能力.证明：因

37、为BC= CD，所以 BCD为等腰三角形.又/ ACB = / ACD，故 BD 丄 AC.因为PA丄底面 ABCD，所以PA丄BD.从而BD与平面PAC内两条相交直线 PA, AC都垂直,所以 BD丄平面PAC.1三棱锥P-BCD的底面 BCD的面积 0BCD = 2BC CDsin/ BCD = 2 2 x 2X sin争V3.由PA丄底面ABCD，得1 1Vp-BCD = 3 SBCD PA = 3X V3 X 2歩=2.1由PF = 7FC，得三棱锥F-BCD的高为TPA,故81 11 1 1 Vf-BCD = 3 $ BCD gPA= 3 x Z3 x 8X 2= 4.、17所以 V

38、p-BDF = Vp-BCD VF-BCD = 2 4=才.39. （2013 江苏高考文）如图，在三棱锥S-ABC中,=AB 过A作AF丄SB,垂足为F，点平面 SAB丄平面 SBC, AB丄BC, ASE, G分别是棱 SA, SC的中点.C求证：平面EFG /平面ABC;(2) BC 丄 SA证明：本题考查直线与直线，直线与平面，平面与平面的位置关系，意在考查学生的空间想 象能力和推理论证能力.(1)因为AS= AB, AF ISB,垂足为F，所以F是SB的中点.又因为 E是SA的中点，所以EF AB.因为EF?平面 ABC, AB?平面 ABC,所以EF /平面ABC.同理 EG/ 平

39、面 ABC.又 EF n EG= E,所以平面EFG /平面ABC.因为平面 SAB丄平面SBC,且交线为 SB,又AF?平面SAB, AF _LSB,所以AF丄平面SBC.因为BC?平面SBC,所以 AF LBC.又因为 ABIBC, AF n AB = A, AF, AB?平面SAB，所以BC丄平面SAB.因为SA?平面SAB,所以BCLsA.163. (2013 安徽高考文)如图，四棱锥 P-ABCD的底面ABCD是边长为2的菱形，/ BAD=60° 已知 PB=PD = 2, FA=y6.P4ti(1)证明：PC丄BD;若E为PA的中点，求三棱锥 P-BCE的体积.解：本题主

40、要考查空间直线与直线、直线与平面的位置关系， 三棱锥体积等基础知识和基本 技能，考查空间想象能力，推理论证能力和运算求解能力.(1) 证明：连接AC,交BD于0点，连接P0.因为底面ABCD是菱形，所以 ACIBD, B0 = DO.由PB = PD知，POIBD再由POn AC= O知，BD丄面APC, 又 PC?平面PAC,因此BD JPC.因为E是PA的中点，所以 Vp-bce= Vc-peb= gVc-PAB 古 a pc.由 PB = PD = AB= AD = 2 知, ABD也ZPBD.因为 /BAD = 60°所以 PO= AO=>/3, AC= 273, BO

41、= 1.又 FA=V6, PO2+ AO2= pa2,即卩 PO丄AC,故 S4KPC= 2po AC= 3.由知，BO丄平面APC,因此1 1 1 1Vp-BCE= 2Vb-apc= 2 BO S4pc = 2.40. ( 2013 山东高考文)如图,四棱锥 P-ABCD 中，AB丄 AC, AB 丄 PA, AB / CD , AB = 2CD ,E, F , G, M, N 分别为 PB,(1)求证：CE /平面PAD;求证：平面EFG丄平面EMN.证明：本题主要考查空间直线与平面、平面与平面间的位置关系， 考查推理论证能力和空间想象能力.(1)法一：取PA的中点H，连接EH , DH.

42、因为E为PB的中点,1所以 EH /AB, EH = 2AB.又 AB /CD , CD = 2ab,所以 EH /CD, EH = CD , 因此四边形DCEH是平行四边形.所以CE /DH .又DH?平面PAD, CE?平面PAD,因此CE/平面PAD.法二：连接CF.因为F为AB的中点,1 所以 AF = 2AB.1又 CD = 2AB,所以AF = CD.又 AF /CD,所以四边形AFCD为平行四边形.因此CF /AD.又CF?平面PAD, 所以CF /平面PAD.因为E, F分别为PB, AB的中点,所以EF /PA.又EF?平面PAD, 所以EF /平面PAD.因为 CF n E

43、F = F , 故平面CEF /平面PAD.又CE?平面CEF, 所以CE/平面PAD.因为E, F分别为PB, AB的中点,所以EF /PA.又 AB IPA,所以ABIEF.同理可证AB JFG.又 EF n FG = F , EF?平面 EFG , FG?平面 EFG , 因此AB I平面EFG.又M , N分别为PD, PC的中点,所以MN CD.又 AB /CD,所以MN AB,因此MN丄平面EFG.又MN?平面EMN , 所以平面 EFG丄平面EMN.41. （2013 大纲卷高考文）如图，四棱锥P-ABCD 中，/ ABC =/ BAD = 90° BC= 2AD ,

44、PAB和 PAD都是边长为2的等边三角形.(1)证明：PB丄CD ;求点A到平面PCD的距离.解：本题主要考查空间直线、平面的垂直和平行的判定定理与性质定理、点到平面的距离;考查空间想象能力、逻辑推理能力、识图能力；考查转化思想.(1)证明：取BC的中点E，连接DE，则ABED为正方形.pB过P作PO丄平面ABCD，垂足为 O.连接 OA, OB, OD, OE.由FAB和FAD都是等边三角形知 PA= PB = PD,所以OA= OB = OD，即点O为正方形ABED对角线的交点，故 OE IBD，从而PBIOE.因为O是BD的中点，E是BC的中点，所以 OE CD.因此，PBICD.取PD

45、的中点F,连接 OF，贝y OF /PB.由(1)知，PBICD，故 OF JCD.又 OD = 2bd = 72, OP =寸PD2 OD2 =V2,故APOD为等腰三角形，因此 OF IPD.又PD n CD = D，所以OF丄平面PCD.因为AE/CD , CD?平面PCD, AE?平面PCD ,所以 AE/平面PCD .1因此O到平面PCD的距离OF就是A到平面PCD的距离，而 OF = 2PB = 1，所以A到平面PCD的距离为1.42. （2013 福建高考文）如图，在四棱锥P-ABCD中，PD丄平面 ABCD , AB / DC , AB丄AD , BC= 5, DC = 3,

46、AD = 4, / PAD = 60 °（1）当正视方向与向量 AD 的方向相同时，画出四棱锥 并写出演算过程）；P-ABCD的正视图（要求标出尺寸,若M为PA的中点，求证：DM /平面PBC;求三棱锥D-PBC的体积.解：本题主要考查直线与直线、直线与平面的位置关系及几何体的三视图和体积等基础知识,考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想.法一：在梯形ABCD中，过点由已知得，四边形 ADCE为矩形,E.在RtABEC中，由BC= 5, CE= 4,依勾股定理得 BE= 3，从而 AB = 6.又由PD丄平面ABCD得,PD _1AD ,从而在

47、 RtAPDA 中，由 AD = 4,/FAD = 60°得 PD = 4j3.正视图如图所示:证明：取PB中点N，连接MN，CN.在APAB中，TM是PA中点,MN /AB, MN = 2aB = 3.又CD /AB，CD = 3, MN /CD , MN = CD ,四边形MNCD为平行四边形,DM CN.DM ?平面 PBC, CN?平面 PBC ,DM /平面PBC.(3)Vd-PBC= Vp-DBC =PD ,又 Smbc= 6, PD = 4寸3,所以 Vd-pbc=法二：（1）同法一.证明：取AB的中点E,连接ME , DE.在梯形 ABCD 中，BE CD，且 BE=

48、 CD , 四边形BCDE为平行四边形,DE /BC.DE?平面 PBC, BC?平面 PBC, DE /平面 PBC. 在ZPAB 中，ME /PB,ME?平面 PBC, PB?平面 PBC,.ME /平面PBC. -DE n ME = E,平面DME /平面PBC.DM ?平面 DME ,DM /平面PBC.（3）同法一.43. （2013 新课标n高考文）如图，直三棱柱ABC-AiBiCi中，D , E分别是AB, BBi的中点.cc,证明：BCi /平面AiCD;(2)设AAi = AC= CB= 2, AB = 2羽，求三棱锥 C-Ai DE的体积.解：本题主要考查直三棱柱的概念、空

49、间直线与平面的位置关系、棱锥体积的计算，意在考查考生的空间想象能力、推理论证能力和运算求解能 力.(1)证明：连接 ACi交AiC于点F，则F为ACi中点.ClC又D是AB中点，连接DF，则BCi/DF.因为DF?平面AiCD , BCi?平面AiCD，所以BCi /平面AiCD.因为ABC-AiBiCi是直三棱柱，所以 AAilCD.由已知AC= CB, D为AB的中点，所以CD 1AB又 AAi n AB = A,于是 CD 丄平面ABBiAi.由 AAi = AC = CB = 2, AB= 2寸2得ZACB = 90° CD = 72, AiD = 76, DE = 73,

50、AiE = 3,故 AiD2 + DE2= AiE2,即 DE lAiD.i i所以 VC-AiDE = 3X2xy6xy(3xyf2= i.44. (20i3 湖南高考文)如图在直棱柱ABC-AiBiCi 中，/ BAC = 90° AB = AC=/2, AAi=3, D是BC的中点，点 E在棱BBi上运动.(i)证明：AD 丄 CiE;当异面直线AC, CiE所成的角为60。时，求三棱锥Ci-AiBiE的体积.能力和空间想象能力.(1)证明：因为 AB= AC, D是BC的中点，所以 AD IBC.又在直三棱柱 ABC-AiBiCi中，BBi丄平面ABC，而AD?平面ABC，所

51、以ADlBBi.由，得 AD丄平面BBiCiC.由点E在棱BBi上运动，得 CiE?平面BBiCiC,所以AD ICiE.因为AC AiCi,所以/AiCiE是异面直线 AC, CiE所成的角，由题设，/ AiCiE= 60°因为/BiAiCi = /BAC = 90° 所以 AiCilAiBi，又 AAiJAiCi,从而 AiCi 丄平面 AiABBi，于是AiCilAiE.故 CiE = cos 60 于 2V2，又 BiCi = pAiCi + AiBi = 2,所以 BiE=7CE2BiC2 = 2.ii i2从而 V 三棱锥 Ci-AiBiE= 3SiBiE X

52、AiCi = 3X 3 X 2/2 /2=-.45. (20i3 浙江高考文)如图，在四棱锥P-ABCD中，PA丄平面 ABCD , AB = BC = 2, AD=CD = 7, FA=73, / ABC = i20°.G 为线段 PC 上的点.(i)证明：BD丄平面APC;若G是PC的中点，求DG与平面APC所成的角的正切值;若G满足PC丄平面BGD，求GC的值.解：本题主要考查空间点、线、面的位置关系，线面所成的角等基础知识，同时考查空间想 象能力和推理论证能力.证明：设点0为AC, BD的交点.由AB = BC, AD = CD，得BD是线段AC的中垂线.所以0为AC的中点，

53、BD丄AC.又因为FA丄平面ABCD , BD?平面ABCD ,所以FAIBD.又ACn FA= A,所以BD丄平面APC.(2)连接OG.由(1)可知OD丄平面APC,贝y DG在平面APC内的射影为 OG ,所以/OGD是DG与平面APC所成的角.由题意得OG = PA = 23.在ABC 中，AC=pAB2 + BC2- 2AB BC cosZABC = 2伍 所以OC= 2ac =书.在直角 OCD 中，OD =寸CD2- OC2= 2.在直角 OGD中，tan/OGD =孚一也OG所以DG与平面APC所成的角的正切值为呼.连接OG.因为PC丄平面BGD , OG?平面BGD，所以PC JOG.在直角PAC中，得PC = VTs所以GC= ACCC-血从而PG=琴55所以GC=|.46 （ 2013 新课标 I 高考文）如图，三棱柱ABC-AiBiCi 中，CA = CB, AB = AAi,/ BAAi=60°(1)证明：AB丄 AiC;若AB= CB= 2, AiC = /6,求三棱柱