专训2菱形性质与判定的灵活应用

1、专训 2菱形性质与判定的灵活应用名师点金： 菱形具有一般平行四边形的所有性质，同时又具有一些特性，可以归纳为三个方面： (1) 从边看：对边平行，四边相等；(2) 从角看：对角相等，邻角互补；(3) 从对角线看 ：对角线互相垂直平分，并且每一条对角线平分一组对角判定一个四边形是菱形，可先判定这个四边形是平行四边形，再判定一组邻边相等或对角线互相垂直，也可直接判定四边相等利用菱形的性质与判定判断图形的形状1【 2017 ·北京】如图，在四边形 ABCD 中， BD 为一条对角线， AD BC，AD 2BC， ABD 90°， E 为 AD 的中点，连接 BE.(1)求证：四边

2、形BCDE 为菱形；(2)连接 AC，若 AC 平分 BAD ，BC 1，求 AC 的长(第 1题)利用菱形的性质与判定求角的度数2【 2017 ·滨州】 如图，在 ?ABCD 中，以点 A 为圆心， AB 长为半径画弧交AD 于点 F ，再分别以点 B、F 为圆心，大于 1P，连接 AP 并延长2BF 的相同长为半径画弧，两弧交于点交 BC 于点 E，连接 EF，则所得四边形 ABEF 是菱形(1)根据以上尺规作图的过程，求证：四边形ABEF 是菱形；(2)若菱形 ABEF 的周长为16，AE 43，求 C 的大小(第 2题)1利用菱形的性质与判定求线段长3【 2017 ·

3、;包头】 如图， 在 ABC 中， C 90°，B 30°，AD 是 ABC 的角平分线， DEBA 交 AC 于点 E，DF CA 交 AB 于点 F，已知 CD 3.(1)求 AD 的长；(2)求四边形AEDF 的周长 (注意：本题中的计算过程和结果均保留根号)(第3题)利用菱形的性质与判定解决面积问题4【 2017 ·云南】如图，ABC 是以 BC 为底的等腰三角形，AD 是边 BC 上的高，点E、 F 分别是 AB、 AC 的中点(1)求证：四边形AEDF 是菱形；(2)如果四边形AEDF 的周长为12，两条对角线的和等于7，求四边形AEDF 的面积 S.

4、(第4题)2答案1 (1)证明： AD 2BC， E 为 AD 的中点， DE BC. AD BC，四边形 BCDE 是平行四边形 ABD 90°， AE DE， BE DE .四边形 BCDE 是菱形(2)解： AD BC ，AC 平分 BAD， BAC DAC BCA. AB BC 1. ABD 90°， E 为 AD 的中点，1 BE AE 2AD . AD 2BC 2， BE AE AB 1. ABE 为等边三角形， BAE60°. DAC 30°， ADB 30°. ADC 60°. ACD 90°.在 RtACD

5、 中， AD 2， DAC 30°， CD1. AC 3.2 (1) 证明： 由作图过程可知，AB AF， AE 平分 BAD . BAE EAF .四边形 ABCD 是平行四边形， BC AD . AEB EAF . BAE AEB. BE AB. BE AF . AF BE，四边形 ABEF 是平行四边形 AB BE，四边形 ABEF 是菱形(2)解：如图，连接BF，交 AE 于 G，菱形 ABEF 的周长为16， AE 43， AB BE EF AF 4，AG 1AE 2 3， AE BF. 2在 RtABG 中， AB2 AG2 BG2， 42 (2 3)2BG2.BG 2.

6、 BF 2BG 4. AB AF BF 4. ABF 为等边三角形 BAF 60°.四边形 ABCD 是平行四边形， C BAF 60°.3(第 2题)3 解： (1) C 90°， B30°， CAB 60°. AD 平分 CAB ，1 CAD CAB 30°.在 RtACD 中， ACD 90°， CAD 30°， AD 2CD 6.(2)DEBA 交 AC 于点 E，DF CA 交 AB 于点 F，四边形 AEDF 是平行四边形， EAD ADF .又 EAD FAD ， ADF FAD. AF DF .四边

7、形 AEDF 是菱形 AE DE DF AF.在 RtCED 中， CDE B 30°， CE 1DE.又 CE2 CD 2 DE 2， 22 12DE 9 DE 2. DE 2 3(负值舍去 )四边形 AEDF 的周长为 8 3.4 (1) 证明： AD BC，点 E、 F 分别是 AB、 AC 的中点，1在 Rt ABD 中， DE 2AB AE，1在 RtACD 中， DF 2AC AF.又 AB AC， AE AF DE DF .四边形 AEDF 是菱形(2)解： 如图，设EF 与 AD 相交于点O.菱形 AEDF 的周长为 12， AE 3，设 EF x， AD y，则 xy 7， x2 2xy y2 49，易知