乘加乘减混合运算

1、几何直观：帮助学生直观地理解数学“乘加乘减混合运算”为例为把握对小学生几何直观能力的培养， 体会几何直观在整个数学 学习中的作用，下面，我们拟以“乘加乘减混合运算”为例，对些进 行教学分析。之所以选定“乘加乘减混合运算”进行分析，一是因为 修订后的教材在该课中突出了几何直观对理解 “先算乘法、后算加法” 算理的作用；二是意在通过对该课例的研讨，体会几何直观在“非图 形与几何”领域中直观理解数学的价值。“乘加乘减混合运算”是小学阶段首次把加减法和乘法混合在一起的两步式题运算，是一级运算向二级运算及更高级运算的转折。教学中，要结合问题解决的过程，让学生理解算式所表示的意义，体会 运算顺序规定的合理

2、性，明确算理，并能正确计算。下面是北师大版 数学修订前后的教材设计：（修订前的教材（二年级下学期）纵观教材设计的变化，我们可以看到，修订后的教材在解决“应付多 少元”时，呈现了两种解决问题的策略：一是用画图的方法表示解决 问题的思考的过程；二是先画图表示数量之间的关系，再根据几何直 观寻找解决问题的思路。无论是把画图作为解决问题的工具， 还是把 画图作为描述数学问题、理解数量关系的手段，两种策略都注重通过 画图帮助学生构建对算法合理性的直观认识， 体现了几何直观解决复 杂问题时的应用价值。义务教育数学课程标准（2011年版）（以下简称“课标2011 年版”对“几何直观”的论述是：“几何直观主要

3、是指利用图形描述 和分析问题。借用几何直观可以把复杂的数学问题变得简明、形象， 有助于探索解决问题的思路，预测结果。几何直观可以帮助学生直观 地理解数学，在整个数学学习过程中都发挥着重要作用。“从这个论述中，我们可以清晰地体会到”几何直观“在内容、意义和方法上远 远超出对几何图形本身的研究范畴，其基本思想引导着我们要借助于 直观看出不同事物之间的关联，借助于直观的形象关系产生对数量关 系的直接感知、整体把握，借助于直观提高对研究对象的思考能力。 也正是基于这一点，新修订的教材对”乘加乘减混合运算“的学习要 求变为“尝试借助直观图表示乘加乘减等实际问题的数量关系，感受画图策略的意义和价值，发展分

4、析问题和解决问题的能力。实践与思考：我们先看一个依据修订教材设计的教学片断。【教学片断】教师引导学生用面包和蛋糕图片摆出要买的 4个面包、1个蛋糕 或1个蛋糕、4个面包。（如下图）师：应付多少元？能列出算式吗？怎么计算？生1:我列的算式的算式是3M+6,先算4个面包的价钱，再加 上1个蛋糕的价钱，就是应付的价钱。生2:我列的算式是6+3M，也要先算4个面包的价钱，3X1=12 元，然后是1个蛋糕的价钱6元，加在一起，就是应付的价钱18元。（对于6+3X4的计算，学生能借助于所来的示意图，思考为什么先算3应该说这得益于直观情境示意图的支撑）师：若用这样短的小棒表示3元，长一点的小棒表示6元，同学

5、虽然上述摆法与用实物图的摆法从结构上看没有太大的差别，但是用有长短的小棒来摆的过程，一方面是发挥了直观替代物的作用， 是抽 象的符号化表示；另一方面是直观化的表象，是从几何直观抽象出相 同的几何结构。可贵的是，这样的摆法就是数线（数轴）的雏形，这 一点在我们的前测中（见下文）也得到了例证。我们观察到，两个学生在表述自己的计算时，都辅以手势，特别 是先圈出4个面包，再圈一个大圈，表示购买 4个面包和1个蛋糕。 从心理学角度分析，这是符合学生认知规律的。对于小学生来说，几 何直观首要的是学习如何用圆（圈）或者三角形等几何图形去替代实 物，画出所述情境的示意图来。从实物图到示意图是几何直观的初始 阶

6、段。尽管“课标2011年版”在第一湥（13年级）没有对几何直观提出具体的要求，但可以更多地通过教师的示范，让学生作为一个旁观 者去感受几何直观的价值，渗透几何直观的意识，随着年级的升高， 逐步发展几何直观的能力。从这个角度看，我们以“乘加乘减混合运 算”为例，来阐述几何直观如何帮助学生更直观地理解数学，就顺理 成章了。为了更深入地分析几何直观在乘加乘减混合运算中所发挥的作用，以及乘加乘减混合运算中所发挥的作用， 以及乘加乘减混合运算 对后续学习的影响，我们分别对还没有学习乘加乘减混合运算的二年 级学生和学习了两位数乘除法四年级学生进行了测试。下面是其中几道试题的测试情况。四年级:3X5+5=2

7、04 ><9-9=27画图表示用画一画的方法表示+5个'十位个位39*(9)(3)验算：4 ><9+3=36+3=39AAAAAAAAAAAAAAAA7V aaaaaaa7v AAAAAAAAA 27X 182 1 627486上面的计算正确吗？阴影部分“ 21”是原样得到的？答：上面的计算正确，阴 爹部分“ 21”是因为7X 8=56，写“6 ” 址“ 5”，2X 6=16, 16+5=21，阴影部 于“ 21”是这样得到的。27X 182 1 627486上面的计算正确吗？阴影部分 “21”是 怎样得到的？正确。 阴影部分“ 21”是 因为 7X 8=56,

8、写 “6” 进“5”, 2X 6=16 , 16+5=21，表示“ 21” 个 10。从测试情况看，对即使没有学习乘加乘减混合运算的二年级学生来说，通过画图表示 3>5+5、4刈-9，并进行正确计算的有近 70%的 学生；而对于“乘在后”（如6+3X7、9-4 >2）的算式，有近60%的学 生出现错误。四年级学生中，能正确填写 39网=（）（）并进行验算 的，占 95%，但采用 4>9+3=39 综合算式进行验算的，不足 20%；能 说明“ 21”是怎么得来的及其表示什么的，正确率相对低一些，有 52%。当然，在这里我们不是强调必须用“ 4>9+3=39”的综合算式来

9、验证“394=93”的正确性，而是可以看出学生从整体上运用 “乘 加”的意识不强，对“394=93”的直观表征及乘加之间的关系 理解不到位。为了从另一个侧面探讨几何直观在乘加乘减混合运算中的作用， 我们创设了根据学生的座位情况，提出与乘加乘减混合运算有关的 “一共有多少位同学 “的实际问题， 以激发学生的学习兴趣和探究欲 望，进一步观察学生对几何直观意识的把握情况。那么，如何帮助学生利用几何直观更加直观地理解数学呢？我们 认为，一是教师本身要有几何直观的课程意识，二是要注意挖掘、利 用几何直观的资源， 三是要关注学生对数学问题的个性化直观表征与 直观理解，四是要加强借助几何直观主动思考数学问题能力的培养以 推动思维展开。从低年级开始，借助丰富的学习素材，引导学生通过