8.广东11.已知递增的等差数列满足,则

1、8广东11.已知递增的等差数列an满足ai=1,a3=a；4，则a. =【解析】an =2n -12 2ai = 1,a3 = a2 4：= 1 2d = (1，d)4：= d=2：= an=2n-19广东19.(本小题满分14分)设数列an的前n项和为Sn，满足2S =an 2n 1 1(n N*)，且a1,a2 5ia3成等差数列。(1)求a1的值；(2)求数列aj的通项公式。1113(3)证明：对一切正整数n,有丄丄 a1a2an2【解析】(1)2Sn = an 1 - 21,2 & 1 = an 2 - 21 相减得：an 2 - 3an 1 2(2)2S| = a2 -3= a2 =

2、 2c 3厲二 3a2 4 = 6 13 a1,a2 - 5,a3 成等差数列=a1 - a3 =2(a2 5)= a1 =1,a2 =5得 an3an 2n对 一 n N* 均成立an3an 2n% 1 2n 1 = 3(a. 2n)得a)= 1nan 2(3)当n二1时,当n _2时,=111 =1彳31 -a-i23 n 3 2n n()_( )2= 32 2 = a2 22n1111117 71占占川古aa?an222由上式得：对一切正整数 n,有丄丄 HL -a1 a2an 21一 an=1 1 -2 23 an12n13一 -n 210.湖北7定义在(丄：,0)U(0,；)上的函数

3、f(x)，如果对于任意给定的等比数列an,f(an)仍是等比数列，则称f(x)为“保等比数列函数”.现有定义在(-：,o)u (0,；)上的如下函数：2x f (x) =x ； f(x) =2 ； f (x) = . |x |; f (x) = In |x |.贝y其中是“保等比数列函数”的f(x)的序号为A .B .C.D .考点分析：本题考察等比数列性质及函数计算.难易度：解析：等比数列性质，a*an之二a； 1，f an fanU2=afa；二a；计=an -1；f an f an 2 l=2an2an2,2an 气 2 = 22an= f2 斗 1 ；f )f (an 羊)=Van a

4、n 22 2f an .1 选 C由题意得3印 3d =七a1 (a1 d )(a12d) =8.印=2,亠 a1 解得du,或&d = 3.f (an )f (an 羊)=ln a. In a讦珂n11.湖北18.(本小题满分12分) 已知等差数列an前三项的和为-3，前三项的积为8 .(I)求等差数列an的通项公式；(H)若a2, a3, d成等比数列，求数列| an |的前n项和.18.解:(I)设等差数列an的公差为d，则a2 = a! d ,玄3二q 2d ,所以由等差数列通项公式可得a =2-3(n-1) -3n5，或an_-43(n-1)=3n - 7.故 an - -3n 5，

5、或 an = 3n - 7.(n)当an - ； n时，a2, a3 , a1分别为-1 , -4 , 2，不成等比数列;当an =3n-7时，a?, a3, &分别为-1 , 2 , -4，成等比数列，满足条件n =1,2,故 |an|=|3n7 1=； :7,1.3 n 7,记数列| an |的前n项和为Sn .当 n =1 时，S1 =|a1 | = 4 ; 当 n =2 时,S =|a1 | - |a2 |二5 ;当n _3时，Sn 二S2 心3 I 6 | |an | =5(3 3 - 7)(3 4 -7) UI (3 n-7)综上,c (n -2)2(3n -7)=5n2 n =1

6、,n 10.当n =2时，满足此式24,5=322n-亠 10,212湖南19.(本小题满分12分)已知数列an的各项均为正数，记 A (n) =a1+a2+an, B (n) =a2+a3+an+1, C ( n)= a3+a4+an+2, n=1,2,来A&源:中教网C1) 若a1=1, a2=5，且对任意n N *，三个数A ( n) , B (n) , C (n )组成等差数列, 求数列 an 的通项公式.(2) 证明：数列 an 是公比为q的等比数列的充分必要条件是：对任意n，N”，三个数A ( n), B (n), C ( n)组成公比为q的等比数列.【解析】 解(1)对任意n N

7、 ”,三个数A(n), B(n),C(n)是等差数列，所以B(n) _A(n) =C(n) _B(n), 即 an 1 - 4 = an .2,亦即 an .2 - an J = a2 - ai 二 4.故数列；Gn 是首项为1,公差为4的等差数列于是an =1(n -1) 4 = 4n - 3.(n) (1)必要性 若数列是公比为q的等比数列，则对任意 nN”，有an 厂 anq.由 a“0 知，A(n), B( n),C( n)均大于o,于是B(n) a2 a3 . % 1q(q a? . %)=q,A(n)aa2-. - ana1 a2.anC(n)a3a4. - a. 2q2 a?.a

8、. 1)q,B(n)a2a3. a. 1a? V3.% 1即BI = C(n) = q，所以三个数 A(n), B(n), C(n)组成公比为q的等比数列. A(n)B( n)(2)充分性：若对于任意nN ”，三个数A(n), B(n),C(n)组成公比为q的等比数列，则B( n)二 q A n , C( n) ,q B n于是 C(n) - B(n) =qB(n) - A(n) 1,得 a. 2 - a?勺何 1 - aj,即an 2 - qan 2 1= a Ta .由 n 有 B(1)=qA(1),即 a?，从而 a. 2 -qa. 1 =0.因为a. 0，所以旦“2 =电=q，故数列*昇是首项为a1，公比为q的等比数列，an+ai综上所述，数列an ?是公比为q的等比数列的