第2章自动控制系统的数学模型ppt课件

1、第第2 2章章 自动控制系统的数学模型自动控制系统的数学模型 第第2章章 自动控制系统的数学模型自动控制系统的数学模型 2.1 系统的微分方程系统的微分方程 2.2 拉普拉斯变换拉普拉斯变换 2.3 传送函数传送函数 2.4 系统方框图系统方框图2.5 典型环节的传送函数和方框图典型环节的传送函数和方框图 2.6 环节的根本衔接方式及其总传送函数环节的根本衔接方式及其总传送函数 2.7 方框图的等效变换及化简方框图的等效变换及化简习题习题 第第2 2章章 自动控制系统的数学模型自动控制系统的数学模型 2.1 系统的微分方程系统的微分方程 描画系统的输入量和输出量之间的关系的最直接的数学方法是列

2、写系统的微分方程Differential Equation of Systems。 当系统的输入量和输出量都是时间t的函数时， 其微分方程可以确切地描画系统的运动过程。 微分方程是系统最根本的数学模型。 第第2 2章章 自动控制系统的数学模型自动控制系统的数学模型 1. 建立系统微分方程的普通步骤 建立系统微分方程的普通步骤如下： 1 全面了解系统的任务原理、 构造组成和支持系统运动的物理规律， 确定系统的输入量和输出量。 2 普通从系统的输入端开场， 根据各元件或环节所遵照的物理规律， 依次列写它们的微分方程。 第第2 2章章 自动控制系统的数学模型自动控制系统的数学模型 3 将各元件或环节

3、的微分方程联络起来消去中间变量， 求取一个仅含有系统的输入量和输出量的微分方程， 它就是系统的微分方程。 4 将该方程整理成规范方式。 即把与输入量有关的各项放在方程的右边， 把与输出量有关的各项放在方程的左边， 各导数项按降幂陈列， 并将方程的系数化为具有一定物理意义的表示方式， 如时间常数等。 第第2 2章章 自动控制系统的数学模型自动控制系统的数学模型 2. 建立系统微分方程举例 下面举例进一步阐明建立系统微分方程的过程。 【例 1】 有源电路网络如图 2 - 1所示， 试列写其微分方程。 系统中： ur(t)输入电压； uc(t)输出电压； K0运算放大器开环放大倍数。 第第2 2章章

4、 自动控制系统的数学模型自动控制系统的数学模型 图 2 - 1 有源电路网络 RCi1i2ur(t)AIiK0Ruc(t)第第2 2章章 自动控制系统的数学模型自动控制系统的数学模型 【例2】 图 2 - 2所示为一有源RC网络， 设电路输入电压为ur(t)， 输出电压为uc(t)。 图中A为理想运算放大器， 试列写其微分方程。 第第2 2章章 自动控制系统的数学模型自动控制系统的数学模型 图 2 - 2 有源RC网络 C1R1i3A0Ri2R0i1ur(t)uc(t)第第2 2章章 自动控制系统的数学模型自动控制系统的数学模型 【例3】 如图 2 - 3所示的RLC串联电路， 设输入量为ur

5、(t)， 输出量为uc(t)， 试列写出该网络的微分方程。 图 2 - 3 RLC串联电路 ur(t)Cuc(t)RLi(t)第第2 2章章 自动控制系统的数学模型自动控制系统的数学模型 【例4】 如图 2 - 4所示为一化工消费中常见的双容液位对象。 设输入量F1为流入液体流量， 输出量L2为储罐2的液位高度。 试建立L2与F之间的动态方程。 第第2 2章章 自动控制系统的数学模型自动控制系统的数学模型 图 2 - 4 两个串联液体储罐 储罐2储罐1L1R1F2F3R2L2F1第第2 2章章 自动控制系统的数学模型自动控制系统的数学模型 【例5】 如图 2 - 5所示为电枢电压控制的他励直流

6、电动机的表示图。 直流电动机是调速系统的被控对象。 现以电枢电压ua为输入量，电动机转速n为输出量， 试建立其微分方程。 第第2 2章章 自动控制系统的数学模型自动控制系统的数学模型 图 2 - 5 他励直流电动机表示图 uaiaRaeufifLaMnJTeTL第第2 2章章 自动控制系统的数学模型自动控制系统的数学模型 【例6】 如图 2 - 6所示为一个弹簧、 质量和阻尼器组成的机械系统， 假设外力F(t)作用于质量为m的物体， 其输出量y(t)为位移， 试列写该系统F(t)与y(t)之间的微分方程。 图 2 - 6 弹簧-质量-阻尼系统 mBy(t)F(t)k第第2 2章章 自动控制系统

7、的数学模型自动控制系统的数学模型 解 根据牛顿第二定律， 可得 22)()()()(dttydmtFtFtFkB (2 - 19)式中， FB(t)为阻尼器的粘性阻力， Fk(t)为弹簧的弹性力。 又有)()()()(tkytFdttdyBtFkB(2 - 20) (2 - 21) 第第2 2章章 自动控制系统的数学模型自动控制系统的数学模型 将式(2 - 20)、 式(2 - 21)代入式 2 - 19， 可得微分方程为22)()()()(dttydmtkydttdyBtF移项整理得 )(1)()()(22tFktydttdykBdttydkm(2 - 22)第第2 2章章 自动控制系统的数

8、学模型自动控制系统的数学模型 式 2 - 22描画的弹簧-质量-阻尼系统为二阶常系数线性微分方程， 此系统也是一个二阶系统环节。 对于由多个环节组成的各类控制系统的微分方程， 其建立过程可由原理图画出系统方框图， 并分别列写出各环节的微分方程， 再消去中间变量， 即可得到描画该系统的输入量与输出量之间关系的微分方程。 第第2 2章章 自动控制系统的数学模型自动控制系统的数学模型 2.2 拉普拉斯变换拉普拉斯变换 1. 拉氏变换的概念 假设将时间域函数f(t)， 乘以指数函数e-st其中s=+j， 是一个复数， 再在0(本书如无特指， 均指+)之间对t进展积分， 就得到一个新的复频域函数F(s)

9、。 F(s)称为f(t)的拉氏变换式， 并可用符号 L f(t)表示。 dtetftfLsFst)()()(0 (2 - 23)第第2 2章章 自动控制系统的数学模型自动控制系统的数学模型 式(2 -23)称为拉氏变换的定义式。 为了保证式中等号右边的积分存在收敛， f(t)应满足以下条件： (1) 当t0时， f(t)分段延续； (3) 当t时， f(t)上升较est慢。 第第2 2章章 自动控制系统的数学模型自动控制系统的数学模型 【例1】 求单位阶跃函数Unit Step Function1(t)的象函数。 解 在自动控制系统中， 单位阶跃函数是一个突加作用信号， 相当于一个开关的闭合或

10、断开， 单位阶跃函数的定义式为0010)( 1ttt第第2 2章章 自动控制系统的数学模型自动控制系统的数学模型 图 2 - 7 单位阶跃函数 t11(t)0第第2 2章章 自动控制系统的数学模型自动控制系统的数学模型 由拉氏变换的定义得1(t)的象函数为sesdtetLsFstst1|11)( 1 )(00(2 - 24)单位阶跃函数如图 2 - 7所示。 第第2 2章章 自动控制系统的数学模型自动控制系统的数学模型 【例2】 求斜坡函数Ramp Function的象函数。 斜坡函数的定义式为000)(ttKttf式中， K为常数。 第第2 2章章 自动控制系统的数学模型自动控制系统的数学模

11、型 解 在自动控制系统中， 斜坡函数是一个对时间作均匀变化的信号。 在研讨跟随系统时， 常以斜坡信号作为典型的输入信号。 同理， 根据拉氏变换的定义式有20000|)(sKdtesKdtsKeseKtdtKteKtLsFstststst(2 - 25) 这里运用了积分学中的分部积分法， 即 。 假设式 2 - 25中K=1， 那么单位斜坡函数的象函数为 duuud21)(stLsF第第2 2章章 自动控制系统的数学模型自动控制系统的数学模型 【例3】 求指数函数Exponential Functione-t的象函数。 解 由式(2 - 23)， 有sesdtedteeeLsFtastassta

12、tat1|1)(0)()(00(2 - 26) 第第2 2章章 自动控制系统的数学模型自动控制系统的数学模型 表 2 - 1 常用函数的拉氏变换对照表 第第2 2章章 自动控制系统的数学模型自动控制系统的数学模型 第第2 2章章 自动控制系统的数学模型自动控制系统的数学模型 2. 拉氏变换的运算定理 在运用拉氏变换时， 常需求借助于拉氏变换运算定理， 这些运算定理都可以经过拉氏变换定义式加以证明。 下面引见几个常用定理。 1) 叠加定理 两个函数代数和的拉氏变换等于两个函数拉氏变换的代数和。 即)()()()(2121tfLtfLtftfL (2 - 28)第第2 2章章 自动控制系统的数学模

13、型自动控制系统的数学模型 证 )()()()()()()()()()(2121201021021sFsFtLftfLdtetfdtetfdtetftftftfLststst第第2 2章章 自动控制系统的数学模型自动控制系统的数学模型 2) 比例定理 K倍原函数的拉氏变换等于原函数拉氏变换的K倍。 即 L Kf(t)=K L f(t) (2 - 29) 证 )()()()(00sKFdtetfKdtetKftKfLstst第第2 2章章 自动控制系统的数学模型自动控制系统的数学模型 3) 微分定理 L f(t)=sF(s)-f(0) (2 - 30)及在零初始条件下， L f (n)(t)=sn

14、F(s) (2 - 31)第第2 2章章 自动控制系统的数学模型自动控制系统的数学模型 证 )0()()()0()(|)()()()()(00000fssFdtetfsfdtestfetftdfedttfdtdetfdtdLtfLststststst第第2 2章章 自动控制系统的数学模型自动控制系统的数学模型 当初始条件f(0)=0时， 有 L f(t)=sF(s) 同理， 可求得 L f(t)=s2F(s)-sf(0)-f(0) L f (n)(t)=snF(s)-sn-1f(0)-f (n-1)(0) 第第2 2章章 自动控制系统的数学模型自动控制系统的数学模型 假设具有零初始条件， 即

15、f(0)=f(0)=f(n-1)(0)=0那么 Lf(t)=s2F(s) Lf(n)(t)=snF(s) 第第2 2章章 自动控制系统的数学模型自动控制系统的数学模型 4) 积分定理 nnntssFtdtLsdttfssFdttfL)()()(|)()()(0 及在零初始条件下, (2 - 32)(2 - 33) 第第2 2章章 自动控制系统的数学模型自动控制系统的数学模型 5) 位移定理 Le-tf(t)=F(s+) (2 - 34) 证 )()()()()(00sFdtetfdtetfetfeLtsstatat第第2 2章章 自动控制系统的数学模型自动控制系统的数学模型 6) 初值定理)(

16、lim)(lim00tsFtfst(2 - 35) 证由微分定理有 )0()()(0fssFdtetfst第第2 2章章 自动控制系统的数学模型自动控制系统的数学模型 当s时， e-st0， 对上式左边取极限有 , 代入上式有0)(lim0dttfsts)(lim)(lim0)0()(lim0ssFtffssFsts即 第第2 2章章 自动控制系统的数学模型自动控制系统的数学模型 7) 终值定理 )(lim)(lim0ssFtfst(2 - 36) 证 由微分定理有)0()()(0fssFdtetfst对上式两边取极限 )0()(lim)(lim000fssFdtetfssts(2 - 37)

17、 第第2 2章章 自动控制系统的数学模型自动控制系统的数学模型 由于当s0时， e-st1， 所以式(2 - 37)左边可写成)0()(lim| )()()(lim0000ftftfdttfdtetftsts将上式代入式(2 - 37)， 两边消去f(0)， 得)(lim)(lim0ssFtfst第第2 2章章 自动控制系统的数学模型自动控制系统的数学模型 表 2 - 2 拉氏变换的主要运算定理第第2 2章章 自动控制系统的数学模型自动控制系统的数学模型 3. 拉氏反变换 由象函数F(s)求取原函数f(t)的运算称为拉氏反变换Inverse Laplace Transform。 拉氏反变换常用

18、下式表示: f(t)= L-1F(s) 拉氏变换和拉氏反变换是一一对应的， 所以， 通常可以经过查表来求取原函数。 在自动控制实际中常遇到的象函数是s的有理分式， 即01110111)()()()(asasasAbsbsbsbsAsBsFnnmmmm第第2 2章章 自动控制系统的数学模型自动控制系统的数学模型 这种方式的原函数普通不能直接在拉氏变换对照表中查得。 因此， 要用部分分式展开法先将B(s)/A(s)化为一些简单分式之和， 而这些简单分式的原函数可以经过查表得到, 那么所求原函数就等于各分式原函数之和。 第第2 2章章 自动控制系统的数学模型自动控制系统的数学模型 2.3 传传 递递

19、 函函 数数 1. 传送函数的定义 传送函数是在用拉氏变换求解微分方程的过程中引申出来的概念。 微分方程这一数学模型不仅计算费事， 并且它所表示的输入、 输出关系复杂而不明显。 但是， 经过拉氏变换的微分方程却是一个代数方程， 可以进展代数运算， 从而可以用简单的比值关系描画系统的输入、输出关系。据此， 建立了传送函数这一数学模型。 第第2 2章章 自动控制系统的数学模型自动控制系统的数学模型 传送函数的定义为： 在初始条件为零时， 输出量的拉氏变换式与输入量的拉氏变换式之比。 即传送函数G(s)= 输出量的拉氏变换 输入量的拉氏变换 )()(sRsC (2 - 41) 第第2 2章章 自动控

20、制系统的数学模型自动控制系统的数学模型 2. 传送函数的普通表达式 假设系统的输入量为r(t)， 输出量为c(t)， 并由以下微分方程描画:)()()()()()()()(0111101111trbtrdtdbtrdtdbtrdtdbtcatcdtdatcdtdatcdtdammnmmnnnnnnn第第2 2章章 自动控制系统的数学模型自动控制系统的数学模型 在初始条件为零时， 对方程两边进展拉氏变换, 有 ansnC(s)+an-1sn-1C(s)+a1sC(s)+a0C(s) =bmsmR(s)+bm-1sm-1R(s)+b1sR(s)+b0R(s)即 (ansn+an-1sn-1+a1s

21、+a0)C(s) =(bmsm+bm-1sm-1+b1s+b0)R(s) 第第2 2章章 自动控制系统的数学模型自动控制系统的数学模型 根据传送函数的定义有 01110111)()()(asasasabsbsbsbsRsCsGnnnnmmmm (2 - 42) 第第2 2章章 自动控制系统的数学模型自动控制系统的数学模型 3. 传送函数的性质 传送函数有以下性质： (1) 传送函数是由微分方程变换得来的， 它和微分方程之间存在着一一对应关系。 对于一个确定的系统输出量与输入量都已确定， 它的微分方程是独一的， 所以， 其传送函数也是独一的。 第第2 2章章 自动控制系统的数学模型自动控制系统的

22、数学模型 (2) 传送函数是复变量s(s=+j)的有理分式， s是复数， 而分式中的各项系数an,an-1,a1,a0, 以及bm,bm-1,b1,b0都是实数， 它们是由组成系统的元件的参数构成的。 第第2 2章章 自动控制系统的数学模型自动控制系统的数学模型 (3) 传送函数是一种运算函数。 由G(s)=C(s)/R(s)可得C(s)=G(s)R(s)， 此式阐明， 假设知一个系统的传送函数G(s)， 那么对任何一个输入量r(t)， 只需以R(s)乘以G(s)， 即可得到输出量的象函数C(s)， 再经拉氏反变换， 就可求得输出量c(t)。 第第2 2章章 自动控制系统的数学模型自动控制系统

23、的数学模型 (4) 传送函数的分母是它所对应系统微分方程的特征方程的多项式， 即传送函数的分母是特征方程Characteristic Equation ansn+an-1sn-1+a1s+a0=0 等号左边的部分。 而以后的分析阐明： 特征方程的根反映了系统动态过程的性质， 所以由传送函数可以研讨系统的动态特性。 特征方程的阶次n即为系统的阶次。 第第2 2章章 自动控制系统的数学模型自动控制系统的数学模型 2.4 系系 统统 方方 框框 图图 方框图Block Diagram又称构造图， 它是传送函数的一种图形描画方式， 它可以笼统地描画自动控制系统中各单元之间和各作用量之间的相互联络， 具

24、有简明直观、 运算方便的优点， 所以方框图在分析自动控制系统中获得了广泛的运用。 方框图由信号线、 引出点、 比较点和功能框等部分组成， 它们的图形如图 2 -8所示。 第第2 2章章 自动控制系统的数学模型自动控制系统的数学模型 图 2 - 8 方框图的图形符号 (a 功能框; (b 引出点及信号线; (c 比较点G(s)R(s)C(s)N(s)N(s)R(s)E(s) R(s) B(s)B(s)(a)(b)(c)第第2 2章章 自动控制系统的数学模型自动控制系统的数学模型 1. 功能框Block Diagram 如图 2 - 8(a)所示， 框左边向内箭头为输入量拉氏式， 框右边向外箭头为

25、输出量拉氏式， 框内为系统中一个相对独立的单元的传送函数G(s)。 它们间的关系为C(s)=G(s)R(s)。 第第2 2章章 自动控制系统的数学模型自动控制系统的数学模型 2. 信号线Signal Line 信号线表示信号流通的途径和方向， 流通方向用箭头表示。 在系统的前向通路中， 箭头指向右方， 信号由左向右流通。 因此输入信号在最左端， 输出信号在最右端。 而在反响回路中那么相反， 箭头由右指向左方， 参见图 2 - 9。 第第2 2章章 自动控制系统的数学模型自动控制系统的数学模型 图 2 - 9 典型自动控制系统方框图 H2(s)H1(s)G1(s)G2(s)G3(s)前向通路局部

26、反馈回路主反馈回路C(s)B2(s)E(s)B1(s)R(s)第第2 2章章 自动控制系统的数学模型自动控制系统的数学模型 3. 引出点(Pickoff Point) 如图 2 - 8(b)所示， 引出点(又称分点)表示信号由该点取出。 从同一信号线上取出的信号， 其大小和性质完全一样。 4. 比较点Comparing Point 比较点如图 2 - 8(c)所示。 比较点又称和点Summing Point， 其输出量为各输入量的代数和。 因此在信号输入处要注明它们的极性。 第第2 2章章 自动控制系统的数学模型自动控制系统的数学模型 图 2 - 9为一典型自动控制系统的方框图。 它通常包括前

27、向通路和反响回路主反响回路和部分反响回路、 引出点和比较点、 输入量R(s)、 输出量C(s)、 反响量B(s)和偏向量E(s)。 图中, 各种变量均标以大写英文字母的拉氏式如X(s)， 功能框中均为传送函数。 第第2 2章章 自动控制系统的数学模型自动控制系统的数学模型 2.5 典型环节的传送函数和方框图典型环节的传送函数和方框图 1. 比例环节(Proportional Element) 输出量与输入量成比例的环节称为比例环节, 如图 2 - 10所示， 其微分方程为 c(t)=Kr(t) (2 - 43)式中， K为比例环节的放大系数。 第第2 2章章 自动控制系统的数学模型自动控制系统

28、的数学模型 图 2 - 10 比例环节方框图及呼应曲线 (a 比例环节方框图； (b 比例环节单位阶跃呼应KR(s)C(s)c(t), r(t)c(t)r(t)Kr(t)t10(a)(b)第第2 2章章 自动控制系统的数学模型自动控制系统的数学模型 将式(2 - 43)两边取拉氏变换有 C(s)=KR(s)整理后得该环节的传送函数G(s)， 即KsRsCsG)()()(当r(t)=1(t)时， 有 sKsRsGsC1)()()(得到 c(t)= L-1C(s)=K第第2 2章章 自动控制系统的数学模型自动控制系统的数学模型 比例环节的单位阶跃呼应曲线如图 2 - 10(b)所示。 可见, 比例

29、环节的输出量能立刻呼应输入量。 常见的比例环节， 如电阻分压器、 比例运算放大器、 齿轮减速器和测速发电机等， 分别如图 2 - 11(a)、 (b)、 (c)、 (d)所示。 比例环节是最根本的环节。 第第2 2章章 自动控制系统的数学模型自动控制系统的数学模型 图 2 - 11 常见的比例环节TG0RurR1R2uc(a)urR0i1R1i2ucUfnn1z2z1n2n(b)(c)(d)第第2 2章章 自动控制系统的数学模型自动控制系统的数学模型 2. 积分环节(Integral Element) 输出量与输入量对时间的积分成正比的环节称为积分环节， 如图 2 - 12(a)所示， 其微分

30、方程为dttrTtc)(1)(2 - 45)式(2 - 45)经拉氏变换， 并整理可得该环节的传送函数为 TssRsCsG1)()()(2 - 46)式中， T为积分时间常数。 第第2 2章章 自动控制系统的数学模型自动控制系统的数学模型 图 2 - 12 积分环节方框图及呼应曲线 (a 积分环节方框图； (b 积分环节单位阶跃呼应Ts1R(s)C(s)c(t), r(t)10Tc(t)r(t)t(a)(b)第第2 2章章 自动控制系统的数学模型自动控制系统的数学模型 当输入量r(t)=1(t)时， 输出量C(s)为 2111)(1)(TssTssRTssC那么输出量呼应为 tTsCLtc1)

31、()(1第第2 2章章 自动控制系统的数学模型自动控制系统的数学模型 积分环节的单位阶跃呼应曲线如图 2 - 12(b)所示。 可见, 积分环节的输出量随时间的变化而不断添加， 其斜率为1/T。 积分环节是过程控制中最重要的环节， 常见的积分环节如图 2 - 13所示。 第第2 2章章 自动控制系统的数学模型自动控制系统的数学模型 图 2 - 13 常见的积分环节 0RurR0C1uc(a)储 罐LFAUaMy(t)rJGn,(b)(c)(d)第第2 2章章 自动控制系统的数学模型自动控制系统的数学模型 3. 微分环节(Derivative Element) 输出量与输入量的导数成正比的环节称

32、为微分环节, 如图 2 - 14(a)所示， 其微分方程为dttdrTtc)()( (2 - 47)式中， T为微分时间常数。 经拉氏变换， 得该环节的传递函数为TssRsCsG)()()(2 - 48) 第第2 2章章 自动控制系统的数学模型自动控制系统的数学模型 图 2 - 14 微分环节方框图及呼应曲线 (a 微分环节方框图； (b 微分环节单位阶跃呼应TsR(s)C(s)(a)c(t)r(t)t)(tc10(b)c(t), r(t)第第2 2章章 自动控制系统的数学模型自动控制系统的数学模型 当输入量r(t)=1(t)时， 微分环节输出量C(s)为)()()(1)()()(1tsCLt

33、cTsTssRsGsC那么呼应 式中， (t)为单位脉冲函数。 第第2 2章章 自动控制系统的数学模型自动控制系统的数学模型 c(t)的单位阶跃呼应曲线如图 2 - 14(b)中的c(t)所示， c(t)是理想微分环节的单位阶跃呼应曲线， 其在t=0的时辰， 输出c(t)从0， 再从0。 实践上微分特性总是含有惯性的， 实践微分环节的微分方程为TsTsGsdttdrTtcdttdcT1)()()(其传送函数为 (2 - 49)第第2 2章章 自动控制系统的数学模型自动控制系统的数学模型 那么单位阶跃呼应 )( 1)()(111)(/1tesCLtcTsTsTsTssCTtc(t)的输出量变化曲

34、线如图 2 - 14(b)所示。 第第2 2章章 自动控制系统的数学模型自动控制系统的数学模型 4. 惯性环节(Inertial Element) 含有一个储能元件和一个耗能元件的环节， 其输出量与输入量的微分方程为)()()(tKrtcdttdcT式中， T为惯性环节的时间常数； K为惯性环节的放大系数。 第第2 2章章 自动控制系统的数学模型自动控制系统的数学模型 对式(2 - 50)作拉氏变换并整理， 得惯性环节的传送函数G(s)为1)()()(TsKsRsCsG (2 - 51)惯性环节的方框图如图 2 - 15(a)所示。 第第2 2章章 自动控制系统的数学模型自动控制系统的数学模型

35、 图 2 - 15 惯性环节方框图及呼应曲线 (a 惯性环节方框图； (b 惯性环节单位阶跃呼应1TsKR(s)C(s)(a)r(t)c(t)c(t), r(t)10.6320Tt(b)第第2 2章章 自动控制系统的数学模型自动控制系统的数学模型 当输入量r(t)=1(t)时， 输出量C(s)为 sTsKsRsGsC11)()()(可得其单位阶跃呼应为 c(t)= L-1C(s)=K(1-e-t/T) 第第2 2章章 自动控制系统的数学模型自动控制系统的数学模型 当K=1时， 惯性环节的单位阶跃呼应曲线如图 2 - 15(b)所示。 对惯性环节的阶跃呼应曲线进展分析， 可得C(0)=0， C(

36、T)=0.632，C(3T)=0.95，C(4T)=0.982，C()1。因此， 惯性环节在输入量突变时， 输出量不能突变， 只能随着时间的推移按指数规律变化， 这阐明该环节具有惯性特点。 常见的惯性环节如图 2 - 16所示。 第第2 2章章 自动控制系统的数学模型自动控制系统的数学模型 图 2 - 16 常见的惯性环节 ur(t)RCuc(t)C1R10RR0ur(t)uc(t)ur(t)RTJBi(t)L(a)(b)(c)(d)第第2 2章章 自动控制系统的数学模型自动控制系统的数学模型 5. 一阶微分环节(ProportionalDerivetive Element) 一阶微分环节也称

37、比例微分环节， 它是由比例环节加微分环节构成的， 它的微分方程为)()()(trdttdrTtc (2 - 52)式中， T为微分时间常数。 对式(2 - 52)作拉氏变换并整理， 得传送函数G(s)为1)()()(TssRsCsG (2 - 53) 比例微分环节的方框图如图 2 - 17(a)所示。 第第2 2章章 自动控制系统的数学模型自动控制系统的数学模型 图 2 - 17 比例微分环节方框图及呼应曲线 (a 比例微分环节方框图； (b 比例微分环节单位阶跃呼应 Ts1R(s)C(s)(a)r(t)10ttc(t)c(t)1c(t) r(t)(b)0第第2 2章章 自动控制系统的数学模型

38、自动控制系统的数学模型 当输入量r(t)=1(t)时， 即R(s)=1/s， 有输出量C(s)为sTsTssRsGsC11) 1()()()(那么其单位阶跃呼应为 c(t)= L-1C(s)=T(t)+1比例微分环节的呼应曲线如图 2 - 17(b)所示。 第第2 2章章 自动控制系统的数学模型自动控制系统的数学模型 一阶微分环节的实例如图 2 - 18所示。 分析该环节， 不难得到其传送函数为) 1() 1()()()(00001sTKsCRRRsUsUsGrc其中， K=-R1/R0为比例放大系数； T0=R0C0为微分时间常数。 第第2 2章章 自动控制系统的数学模型自动控制系统的数学模

39、型 图 2 - 18 一阶微分环节 R10RR0C0ur(t)uc(t)第第2 2章章 自动控制系统的数学模型自动控制系统的数学模型 6. 振荡环节(Oscillating Element) 振荡环节也称二阶环节， 它的微分方程通常表达为)()()(2)(222trtcdttdcTdttcdT (2 - 54)式中, T为振荡环节的时间常数； 为振荡环节的阻尼比又称阻尼系数。 第第2 2章章 自动控制系统的数学模型自动控制系统的数学模型 对式(2 - 54)作拉氏变换， 可得 T2s2C(s)+2TsC(s)+C(s)=R(s)移项整理有121)()()(22TssTsRsCsG (2 - 5

40、5) 第第2 2章章 自动控制系统的数学模型自动控制系统的数学模型 令T=1/n, n为该环节的无阻尼自然振荡频率, 那么式(2 - 55)可改写成如下方式:2222)(nnnsssG(2 - 56) 振荡环节的方框图如图 2 - 19(a)所示。 第第2 2章章 自动控制系统的数学模型自动控制系统的数学模型 图 2 - 19 振荡环节方框图及单位阶跃呼应曲线 (a 振荡环节方框图； (b 振荡环节单位阶跃呼应(a)2nn22n2ssR(s)C(s)c(t)c(t)r(t)t(b)10第第2 2章章 自动控制系统的数学模型自动控制系统的数学模型 假设输入量为r(t)=1(t)， 那么输出量的传

41、送函数为sssCnnn12)(222查表 2 - 1， 可得该环节的单位阶跃呼应为 )sin(111)(2tetcdtn(2 - 57) 第第2 2章章 自动控制系统的数学模型自动控制系统的数学模型 振荡环节的单位阶跃呼应曲线普通如图 2 - 19(b)所示。 振荡环节的单位阶跃呼应， 随着阻尼比的不同， 表现出不同的动态呼应过程， 如图 2 - 20 所示。 第第2 2章章 自动控制系统的数学模型自动控制系统的数学模型 图 2 - 20 振荡环节的单位阶跃呼应曲线 0c(t)10nt 0.2 0.4 0.7 1.0 2.0第第2 2章章 自动控制系统的数学模型自动控制系统的数学模型 从图 2

42、 - 20中不难发现， 二阶振荡环节的单位阶跃呼应曲线c(t)的振荡过程猛烈程度随阻尼比值的变化而变化， 值越小， 振荡越剧烈。 当=0 时， 呼应c(t)为等幅振荡过程； 当01 时， 呼应c(t)为衰减振荡过程， 它是过程控制中经常采用的方式； 当1时， 呼应c(t)为单调非振荡上升过程， 当对被控变量要求超调量为零时， 采用此过渡过程方式, 其中, =1时是临界振荡过程。 第第2 2章章 自动控制系统的数学模型自动控制系统的数学模型 图 2 - 21 RLC串联电路 ur(t)uc(t)Li(t)CR第第2 2章章 自动控制系统的数学模型自动控制系统的数学模型 二阶环节振荡过程的实例很多

43、。 在控制系统中， 假设含有两种不同方式的储能元件， 而这两种储能元件又能进展能量交换， 就有能够出现振荡而构成振荡环节， 如图 2 - 21所示的RLC串联电路。 在图 2 - 21所示电路中， 假设输入量为ur(t)=1(t)， 输出量为uc(t)， 那么微分方程为)()()()(22tutudttduRCdttudLCrccc第第2 2章章 自动控制系统的数学模型自动控制系统的数学模型 其传送函数G(s)为 11)()()(2RCsLCssUsUsGrc 令T2=LC, 那么T= , 得LCLCTn11为无阻尼自然振荡频率。 第第2 2章章 自动控制系统的数学模型自动控制系统的数学模型

44、又令2T=RC, 得 LCRTRC22为系统的阻尼比。 第第2 2章章 自动控制系统的数学模型自动控制系统的数学模型 根据的不同取值， 该二阶系统可构成如下单位阶跃呼应uc(t)的过程： 1 当=0， 即R=0时， 呼应uc(t)为等幅振荡过程。 2 当01， 即0R1， 即R2 时， 呼应uc(t)为非周期振荡过程， 此时该二阶系统为二阶惯性环节。 LCLCLC第第2 2章章 自动控制系统的数学模型自动控制系统的数学模型 2.6 环节的根本衔接方式及其总传送函数环节的根本衔接方式及其总传送函数 1. 串联衔接(Series Connection) 环节间的串联衔接是指环节间输入信号和输出信号

45、的串联传送关系， 如图 2 - 22所示。 前一个环节的输出即为后一环节的输入， 第一个环节的输入作为整个环节组的输入， 最后一个环节的输出作为整个环节组的输出。 第第2 2章章 自动控制系统的数学模型自动控制系统的数学模型 图 2 - 22 环节串联衔接的方框图 G1(s)R1R2G2(s)R3Rn 1Gn 1(s)RnGn(s)Rn 1第第2 2章章 自动控制系统的数学模型自动控制系统的数学模型 设各串联环节的传送函数分别为G1(s), G2(s), , Gn(s)， 那么各环节串联以后总的传送函数等效传送函数G(s)为)()()()()()()()()()()()()()()()(112

46、111231211sGsGsGsGsGsRsRsRsRsRsRsRsRsRsRsGininnnnnnn (2 - 58) 即假设干个环节串联后的总传送函数等于各个环节传送函数的乘积。 第第2 2章章 自动控制系统的数学模型自动控制系统的数学模型 2. 并联衔接(Parallel Connection) 环节的并联衔接方式如图 2 - 23所示。 在并联衔接中， 各环节的输入一样， 而总的输出为各个环节输出的代数和。 第第2 2章章 自动控制系统的数学模型自动控制系统的数学模型 图 2 - 23 环节的并联衔接的方框图 G1(s)RG2(s)RG3(s)RRC1C2C3C C1 C2 C3第第2

47、 2章章 自动控制系统的数学模型自动控制系统的数学模型 设有三个环节并联衔接见图 2 - 23， 各环节的传送函数分别为)()()(,)()()(,)()()(332211sRsCsGsRsCsGsRsCsG那么并联后总的传送函数为)()()()()()()()()()()(31321321sGsGsGsGsRsCsCsCsRsCsGii第第2 2章章 自动控制系统的数学模型自动控制系统的数学模型 对于n个环节的并联衔接， 总的传送函数为 )()()()()()()()()()()()()(12121sGsGsGsGsRsCsRsCsRsCsRsCsGininn(2 - 59) 即环节并联后的

48、总传送函数等于各个环节的传送函数的代数和。 第第2 2章章 自动控制系统的数学模型自动控制系统的数学模型 3. 反响衔接(Feedback Connection) 两个环节的反响衔接方式如图 2 - 24所示。 两个环节相互作用构成一个闭环系统。 设系统的输入信号为R(s)， 输出信号为C(s)， 前向环节的传送函数为G1(s)， 反响环节的传送函数为H(s)。两个环节反响衔接时的传送函数G(s)=C(s)/R(s) 可以从图 2 - 24的关系中求出。 第第2 2章章 自动控制系统的数学模型自动控制系统的数学模型 图 2 - 24 环节的反响衔接 G1(s)H(s)C(s)R(s)B(s)第

49、第2 2章章 自动控制系统的数学模型自动控制系统的数学模型 1 负反响的情况 当反响信号B(s)与输入信号R(s)相减时， 称为负反响， 此时 C(s)=G1(s)R(s)-H(s)C(s) 整理后得)()()(1)()(11sRsHsGsGsC因此， 负反响衔接的总传送函数为 )()(1)()()()(11sHsGsGsRsCsG(2 - 60)第第2 2章章 自动控制系统的数学模型自动控制系统的数学模型 2 正反响的情况 当反响信号B(s)与输入信号R(s)相加时， 称为正反响， 此时 C(s)=G1(s)R(s)+H(s)C(s) 整理后得)()()(1)()(11sRsHsGsGsC因

50、此， 正反响衔接的总传送函数为 )()(1)()()()(11sHsGsGsRsCsG (2 - 61)第第2 2章章 自动控制系统的数学模型自动控制系统的数学模型 综合负反响和正反响两种情况， 闭环系统的总传送函数G(s)为)()()(1)()(11sRsHsGsGsG (2 - 62)从式2 - 62中， 可以看到一个很有意义的景象， 假设前向环节放大倍数很大， 那么反响系统的传送函数就简化为)(1)()()(sHsRsCsG (2 - 63)第第2 2章章 自动控制系统的数学模型自动控制系统的数学模型 即反响系统的动态特性主要决议于反响环节的动态特性。 总的传送函数近似为反响环节传送函数

51、的倒数， 而与前向环节的特性无关。 假设前向环节的放大倍数趋向无限大， 那么反响系统的传送函数为)(1)(sHsG(2 - 64) 反响系统的动态特性仅仅决议于反响环节。 这种反响系统称为极限系统， 它在调理仪表中得到了广泛运用。 第第2 2章章 自动控制系统的数学模型自动控制系统的数学模型 2.7 方框图的等效变换及化简方框图的等效变换及化简 1. 方框图的等效变换规那么 方框图的等效变换根本规那么如表 2 - 3所示。 这里要阐明以下几点： (1) 环节前后比较点的挪动: 根据坚持比较点挪动前后系统的输入/输出关系不变的等效原那么， 可以将比较点向环节前或后挪动。 第第2 2章章 自动控制

52、系统的数学模型自动控制系统的数学模型 (2) 环节前后引出点的挪动: 根据坚持引出点挪动前后系统的输入/输出关系不变的等效原那么， 可以将引出点向环节前或后挪动。 (3) 延续比较点、 延续引出点的挪动: 由于信号具有线性性质， 它们的相加次序可以恣意交换, 因此它们的引出点也可以恣意交换。 第第2 2章章 自动控制系统的数学模型自动控制系统的数学模型 表2-3 方框图的等效变换根本规那么 变换类型变换前变换后等效关系串 联反 馈比较点之间移动引出点之间移动并 联R1(s)R2(s)R3(s)R4(s)G1(s)G2(s)R(s)C(s)G1(s)G2(s)R(s)C(s)G(s)H(s)R(

53、s)C(s)G(s)C(s)C2(s)C1(s)G(s)C(s)C2(s)C1(s)R4(s)R2(s)R3(s)R1(s)G1(s) G2(s)C(s)R(s)R(s)G1(s)G2(s)C(s)GRRGGC21C(s)R(s)()(1)(sHsGsGGRRGGC)(21RGHGC12314RRRR21CCC第第2 2章章 自动控制系统的数学模型自动控制系统的数学模型 比较点前移比较点后移引出点前移引出点后移非单位反馈G(s)R1(s)C(s)R2(s)G(s)R1(s)R2(s)C(s)G(s)R(s)C(s)C(s)G(s)R(s)R(s)C(s)G(s)H(s)R(s)C(s)(1sH

54、R(s)G(s)H(s)C(s)G(s)(1sGR(s)R(s)C(s)G(s)G(s)G(s)R(s)C(s)C(s)G(s)G(s)G(s)C(s)R1(s)R2(s)G(s)(1sGC(s)R2(s)R1(s)1(21RGRGC21GRGRCGRC RGGRR1GRC RGHGHHC11第第2 2章章 自动控制系统的数学模型自动控制系统的数学模型 2. 方框图的化简举例 系统方框图的化简过程， 普通可分为以下几步： (1) 根据研讨目确实定系统的输入和输出。 输入、 输出确定后， 从输入至输出的通道就成为前向通道。 (2) 串联、 并联、 反响衔接的环节由等效环节替代。 (3) 把闭环系

55、统简化成最根本的方框图方式， 并求出其总的传送函数。 第第2 2章章 自动控制系统的数学模型自动控制系统的数学模型 【例1】 化简图 2 - 25中的交叉反响系统， 并求出它的传送函数。 解 交叉反响系统是一种较复杂的多环系统， 它的根本方式如图 2 - 25a所示为简化起见， 传送函数中的(s)省去。 第第2 2章章 自动控制系统的数学模型自动控制系统的数学模型 图 2 - 25 交叉反响系统的化简1G1G2G3H1H21G1G2G3H1H231G(a)(b)G1H131G(c)232321HGGGG2321213211HGGHGGGGG(d)第第2 2章章 自动控制系统的数学模型自动控制系

56、统的数学模型 由图 2 - 25(a)可见， 该系统的两个回环的反响通道是相互交叉的。 对这类系统的化简， 主要是运用引出点和比较点的挪动来解除回路的交叉， 使之成为普通的不交叉的多回路系统。 在图 2 - 25(a)中， 只需将引出点1后移， 即可解除交叉， 成为如图 2 - 25(b)所示的方式。由图 2 - 25(b)再援用求闭环传送函数的公式即可得到图 2 - 25(c)和图 2 - 25(d)， 从而得到系统总的闭环传送函数GB(s)为)()()()()()(1)()()()(232121321sHsGsGsHsGsGsGsGsGsGB第第2 2章章 自动控制系统的数学模型自动控制系

57、统的数学模型 以上虽然是一个典型的例子， 但从中可以引申出普通交叉反响系统闭环传送函数的求取公式： GB(s)= 前向通道各串联环节传送函数的乘积 (每一负反响回环的各传送函数的乘积) ni 11(2 - 65)式中， n为反响回环的个数。 第第2 2章章 自动控制系统的数学模型自动控制系统的数学模型 3. 自动控制系统闭环传送函数的求取 自动控制系统的典型框图如图 2 - 26所示。 图中R(s)为输入量， C(s)为输出量，N(s)为扰动量。 第第2 2章章 自动控制系统的数学模型自动控制系统的数学模型 图 2 - 26 自动控制系统的典型构造 G2(s)G1(s)H(s)输 入 量R(s

58、)N(s)扰 动 量输 出 量C(s)第第2 2章章 自动控制系统的数学模型自动控制系统的数学模型 1) 在输入量R(s)作用下的闭环传送函数和系统的输出 假设仅思索输入量R(s)的作用， 那么可暂略去扰动量N(s)。 由图 2 - 27(a)可得输出量C(s)对输入量的闭环传送函数GBr(s)为)()()(1)()()()()(2121sHsGsGsGsGsRsCsGrBr (2 - 66)第第2 2章章 自动控制系统的数学模型自动控制系统的数学模型 此时系统的输出量拉氏式r(s)为)()()()(1)()()()()(2121sRsHsGsGsGsGsRsGsGBrr(2 - 67)第第2

59、 2章章 自动控制系统的数学模型自动控制系统的数学模型 2) 在扰动量N(s)作用下的闭环传送函数和系统的输出 假设仅思索扰动量N(s)的作用， 那么可暂略去输入量R(s)， 这时图 2 - 26可变换成图2 - 27(b)的方式在进展图形变换时， 负反响环节中的负号仍需保管。 这样输出量Cn(s)对扰动量N(s)的闭环传送函数GBn(s)为)()()()(1)()()()(212sRsHsGsGsGsNsCsGnBn(2 - 68) 第第2 2章章 自动控制系统的数学模型自动控制系统的数学模型 此时系统输出量拉氏式Cn(s)为)()()()(1)()()()(212sNsHsGsGsGsNsCsCBnn(2 - 69) 第第2 2章章 自动控制系统的数学模型自动控制系统的数学模型 图 2 - 27 仅思索一个作用量时的系统方框图 (a 仅思索给定量R(s)的作用; (b 仅思索扰动量N(s)的作用G2(s)G1(s)H(s)R(s)Cr(s)G2(s)N(s)Cn(s)H(s)G1(s)(a)(b)第第2 2章章 自动控制系统的数学模型自动控制系统的数学模型 3) 在输入量和扰动量同时作用下系统的总输出 由于设定此系统为线性系统， 因此可以运用叠加原理, 即当输入量和