3.分式方程的解法及应用

1、分式方程的解法及应用要点一、分式方程的概念分母中含有未知数的方程叫分式方程要点诠释：（1）分式方程的重要特征：是等式；方程里含有分母；分母中含有未知数（2） 分式方程和整式方程的区别就在于分母中是否有未知数（不是一般的字 母系数）分母中含有未知数的方程是分式方程，分母中不含有未知数 的方程是整式方程（3）分式方程和整式方程的联系：分式方程可以转化为整式方程要点二、分式方程的解法解分式方程的基本思想：将分式方程转化为整式方程 转化方法是方程两边都乘以最简 公分母，去掉分母在去分母这一步变形时，有时可能产生使最简公分母为零的根，这种根 叫做原方程的增根因为解分式方程时可能产生增根，所以解分式方程时

2、必须验根解分式方程的一般步骤：（1）方程两边都乘以最简公分母，去掉分母，化成整式方程（注意：当分母是多项式时，先分解因式，再找出最简公分母）；（2）解这个整式方程，求出整式方程的解；（3） 检验：将求得的解代入最简公分母，若最简公分母不等于0,则这个解是原分式 方程的解，若最简公分母等于 0,则这个解不是原分式方程的解，原分式方程无解要点三、解分式方程产生增根的原因方程变形时，可能产生不适合原方程的根，这种根叫做原方程的增根产生增根的原因：去分母时，方程两边同乘的最简公分母是含有字母的式子，这个式子有可能为零，对于整式方程来说，求出的根成立，而对于原分式方程来说，分式无意义， 所以这个根是原分

3、式方程的增根要点诠释：（1 ）增根是在解分式方程的第一步“去分母”时产生的根据方程的同解原理，方程的两边都乘以（或除以）同一个不为0的数，所得方程是原方程的同解方程如果方程的两边都乘以的数是0,那么所得方程与原方程不是同解方程，这时求得的根就是原方程的增根（2）解分式方程一定要检验根，这种检验与整式方程不同，不是检查解方程过程中是否有错误， 而是检验是否出现增根， 它是在解方程的过程中 没有错误的前提下进行的要点四、分式方程的应用分式方程的应用主要就是列方程解应用题步骤进行:【典型例题】类型一、判别分式方程1、下列方程中，是分式方程的是（）八 x 3 x-21A.B431221小C. 3x x

4、 = 0 D5【答案】B；x T x 24x 1 x -1 x -1x ax , （ a , b为非零常数）a b【解析】A、C两项中的方程尽管有分母，但分母都是常数；D项中的方程尽管含有分母，但分母中不含未知数，由 定义知这三个方程都不是分式方程，只有B项中的方程符合分式方程的定义.【总结升华】要判断一个方程是否为分式方程，就看其有无分母，并且分母中是否含有未知 数.类型二、解分式方程2、解分式方程（1）解：（1）解方程，得1052x -11 -2x7x =4；(2) 2x +3x乘最简公分母时应乘原分式方程的每一项， 定要检验方程的根.（2解这个方程，得x=2 .不要【总结升华】将分式方程

5、化为整式方程时， 漏乘常数项特别提醒：解分式方程时，一 举一反三：2 x1【变式】解方程：亠丄-2 .x 33 x【答案】解:2-x12 ,x - 33 - x方程两边都乘x-3，得2-x=1-2（x-3）,解这个方程，得x =3 ,检验：当x = 3时，x 3 = 0 ,x =3是增根， 原方程无解.类型三、分式方程的增根3、m为何值时，关于x的方程2 mx =3会产生增根？x2 x 4 x+2【思路点拨】若分式方程产生增根，则（x-2）（x 2） =0 ,即x = 2或x = -2，然后把x二2 代入由分式方程转化得的整式方程求出m的值.【答案与解析】解：方程两边同乘（x，2）（x-2）约

6、去分母，得 2(x 2) mx =3(x -2).整理得(m -1)x - -10 ./ 原方程有增根，（x -2）（x 2） =0，即 x = 2 或 x - -2 .把 x = 2 代入（m -1）x = -10，解得 m = -4.把 x 二-2代入（m -1）x 二-10，解得 m = 6 .所以当m = -4或m = 6时，方程会产生增根.【总结升华】 处理这类问题时，通常先将分式方程转化为整式方程，再将求出的增根代入整式方程，即可求解.举一反三:11 _ x【变式】4如果方程_+3=匚彳有增根，那么增根是 x 22 x【答案】x = 2 ;提示：因为增根是使分式的分母为零的根，由分

7、母x 2 = 0或2 x = 0可得x = 2 所以增根是x = 2 类型三、分式方程的增根5、(1)若分式方程 m 3有增根，求m值；x2 x -4 x+2k 11 k 5(2)若分式方程 三厂丄二上厂2有增根x =-1，求k的值.x -1 x -x x -x【思路点拨】(1)若分式方程产生增根，则 (x2)(x2)=0 ,艮卩x = 2或x = 4，然后把x二2代入由分式方程转化得的整式方程求出m的值( 2)将分式方程转化成整式方程后，把x - -1代入解出k的值.【答案与解析】解：(1)方程两边同乘(x 2)(x -2)，得 2(x 2) mx =3(x -2).(m -1)x = -1

8、0 .10x =.1 -m由题意知增根为x =2或x - -2 ,101 -m=2或匹1 -m(2)方程两边同乘 x(x 1)(x -1)，得(k -1)x -(x 1) = (k - 5)(x 1).3x = k - 4.k 一4x =3增根为x = -1 ,k _4 _1 3 k =1 .【总结升华】(1)在方程变形中，有时可能产生不适合原方程的根，这种根做作原方程的增根在分式方程中，使最简公分母为零的根是原方程的增根；(2)这类问题的解法都是首先把它们化成整式方程，然后由条件中的增根，求得未知字母的值举一反三：3_2x 2+ax【变式】6.已知关于x的方程仝旦 =1无解，求a的值x -3

9、3 x【答案】 解：方程两边同乘(x -3)约去分母,得(3 _2x) 一(2 ax) 一(x _3)，即(a 1)x=_2 . x_3=0,即卩x =3时原方程无解，5(a 1) 3 - -2a =3 ° 当a1=0时，整式方程(a1)x = _2无解，. 当a二-1时，原方程无解.5综上所述，当a 或a = -1时，原方程无解.3xm7. 已知关于x的方程_2=有一个正数解，求 m的取值范围.x -3x -3解：方程两边同乘(x -3)约去分母，得 x2(x3) = m .整理，得 x = 6m ."m>0,"6m:>0,x3h0,6-m-3工&#

10、176;.解得m : 6且m = 3 ,. 当m ：6且m = 3时，原方程有一个正数解.类型四、分式方程的应用8、 甲、乙两班参加绿化校园植树活动，已知乙班每小时比甲班多种2棵树，甲班种60棵树所用的时间与乙班种 66棵树所用的时间相等.求甲、乙两班每小时各种多少棵树 ？ 【思路点拨】 本题的等量关系为：甲班种 60棵树所用的时间与乙班种66棵树所用的时间相等.【答案与解析】解：设甲班每小时种 x棵树，则乙班每小时种x 2棵树.由题意可得60二-6，解这个方程，得 x=20 .x x + 2经检验x =20是原方程的根且符合题意.所以x 2 =22(棵).答：甲班每小时种 20棵树，乙班每小

11、时种 22棵树.【总结 升华】解此题的关键是设出未知数后，用含x的分式表示甲、乙两班种树所用的时间.举一反三：19【变式】8两个工程队共同参与一个建筑工程，甲队单独施工1个月完成总工程的 丄，这3时增加了乙队，两队又共同工作了半个月，总工程全部完成.哪个队的施工速度快？ 【答案】1解：设乙队单独施工 1个月能完成工程的 丄，总工程量为1.x1 1 1根据工程的实际进度，得1.36 2x方程两边同时乘以 6x，得2x x 3 = 6x .解这个方程得x =1 .检验：当x =1时，6x = 6工0,所以x =1是原分式方程的解.1由上可知，若乙队单独工作1个月可以完成全部任务，对比甲队1个月完成

12、任务的-,3可知乙队施工速度快.答：乙队施工速度快.110. 甲工人工作效率是乙工人工作效率的2 倍，他们同时加工 1500个零件，甲比乙提前218个小时完工，问他们每人每小时各加工多少个零件？5解：设乙工人每小时加工 x个零件，甲工人每小时加工x个零件,2由题意，得：15001500 , c18x5x255整理得，15001500 18 x，解得 x = 50.225经检验，是x =50原方程的根.x = 125 .2答：甲工人每小时加工 125个零件，乙工人每小时加工 50个零件.11. 从甲地到乙地有两条公路，一条是全长600千米的普通公路，另一条是全长480千米的高速公路，某客车在高速

13、公路上行驶的平均速度比在普通公路上行驶的平均速度每小时 快45千米，由高速公路从甲地到乙地所需时间是由普通公路从甲地到乙地所需时间的 一半.求该客车由普通公路从甲地到乙地的平均速度.解：设客车由普通公 路从甲地到乙地的平均速度为x千米/时，列方程得：=2 二8 .x x +45解得：x =75 .经检验x =75是原方程的解且符合题意.答：客车由普通公路从甲地到乙地的平均速度为75千米/时.12、某市在道路改造过程中，需要铺设一条长为1000米的管道，决定由甲、乙两个工程队来完成这一工程.已知甲工程队比乙工程队每天能多铺设20米，且甲工程队铺设350米所用的天数与乙工程队铺设250米所用的天数

14、相同.（1）甲、乙工程队每天各能铺设多少米？（2）如果要求完成该项工程的工期不超过10天，那么为两工程队分配工程量（以百米为单位）的方案有几种？请你帮助设计出来.【思路点拨】（1）题中的等量关系是甲工程队铺设350米所用的天数与乙工程队铺设250米所用的天数相同.（2）由工期不超过10天列出不等式组求出范围.【答案与解析】解： 设甲工程队每天能铺设 x米，则乙工程队每天能铺设x-20米.350250根据题意，得350 = -25 解得x =70 .xx 20经检验，x = 70是原分式方程的解且符合题意.故甲、乙两工程队每天分别能铺设70米和50米.(2)设分配给甲工程队 y米，则分配给乙工程

15、队1000-y米.由题意，得弃10,100S10,.50解得 500W y < 700.方案一：分配给甲工程队方案二：分配给甲工程队方案三：分配给甲工程队500米，分配给乙工程队 500米.600米，分配给乙工程队 400米.700米，分配给乙工程队 300米.所以分配方案有3种.【总结升华】举一反三：本题主要考查列分式方程解应用题，考查学生分析和解决问题的能力13. 【变式】一慢车和 一快车沿相同路线从 A地到B地，所行的路程与时间的函数图象如图 所示，试根据图象，回答下列问题：(1) 慢车比快车早出发 h，快车追上慢车时行驶了 km快车比慢车早h到达B地；(2) 求慢车、快车的速度.

16、【答案】(1)2 276 4;2解：(2)设快车速度为x km/h，则慢车速度为x km/h3(因为快车跑完全程需12 h，慢车跑完全程需18 h).276276 小依题意，得2,x 2x3去分母，得 276 X 2= 276X 3 4x，所以 X = 69 ,2经检验知x =69是原方程的解，所以 x = 46 ,3答：慢车、快车的速度分别为46 km/h、69km/h .分式方程的解法及应用类型一、判别分式方程1下列方程中，是分式方程的是(a x 3 x -21A.B4 3122 1C. 3x x = 0 D5类型二、解分式方程）.x -1 x 2 _4x 1 x -1 x -1x ax

17、, （ a , b为非零常数）a b105512、 解分式方程（1） 一 一 2 ； （2） 2 = 02x -11 -2xx+3x x -x类型三、分式方程的增根5、(1)若分式方程 m L有增根，求m值;x2 x 4 x+2(2)若分式方程k -11x2 -1 x2 -xk _5占卫有增根x = -1，求k的值.x - x6.已知关于x的方程匕空 2 空=,无解，求a的值.x 33 x7.已知关于x的方程个正数解，求 m的取值范围.8、甲、乙两班参加绿化校园植树活动，已知乙班每小时比甲班多种2棵树，甲班种60棵树所用的时间与乙班种 66棵树所用的时间相等.求甲、乙两班每小时各种多少棵树 ?19两个工程队共同参与一个建筑工程，甲队单独施工1个月完成总工程的，这时增加了乙3队，两队又共同工作了半个月，总工程全部完成哪个队的施工速度快？110. 甲工人工作效率是乙工人工作效率的2 倍，他们同时加工 1500个零件，甲比乙提前218个小时完工，问他们每人每小时各加工多少个零件？11. 从甲地到乙地有两条公路，一条是全长600千米的普通公路，另一条是全长480千米的高速公路，某客车在高速公路上行驶的平均速度比在普通公路上行驶的平均速度每小时 快45千米，由高速公路从甲地到乙地所需时间是由普通公路从甲地到乙地所需时间的 一半求该客车由普通公路从甲地到乙地的平均速度.12、某市在道路改造过