9《静电场》内容讲解

1、静电场【全国物理竞赛知识要点 2003】库仑定律、电荷守恒定律、电场强度、电场线、点电荷的场强、场强叠加原理、均匀带电球壳壳内的场强和壳外的场强公式（不要求导出）、匀强电场、电场中的导体、静电屏蔽、电势和电势差、等势面、点电荷电场的电势公式（不要求导出）、电势叠加原理、均匀带电球壳壳内的电势和壳外的电势公式（不要求导出）、电容、电容器的连接、平行板电容器的电容公式（不要求导出）、电容器充电后的电能、电介质的极化、介电常数【内容讲解】（一）场强、电势的计算1、点电荷的电场2、均匀线分布电荷产生的场强净电荷均匀分布在一条线上，在空间某点产生的场强，通常可用微积分的方法进行 定量计算，但运用微积分的

2、方法进行定量计算，必须确定场强的方向才能方便可行。下 面将介绍一种等效方法来求解均匀线分布电荷的场强问题。如图所示，线段AB上均匀分布着线电荷密度为p的正电荷，其旁边有一点P, P点到直线AB的距离为R，贝U P点的电场强度大小、方向如何确定？现以 P点为圆心以R 为半径做一个与直线 AB相切的圆弧，认为圆弧上也均匀分布着线电荷密度为p的正电荷，今在AB上C点取一微元 L,在圆弧上对应取下微元厶 L/ （取法如图），令PC=r , 则微元 L在P点产生的场强是：Ei而 L, sinsin所以：Ei k -Rl/在P点产生的场强是:/EikR2R2第1页所以：Ei/ k R由以上论证可知：Ei

3、Ei/，且二者方向也相同。可见 L在P点产生的场强可由L/在P点产生的场强代替，不难得出，AB直线上的电荷在 P点产生的场强，可由图中MEN 弧在P点产生的场强来代替。下面将介绍均匀分布在圆弧上的电荷在圆心处产生的场强 的计算公式。如图所示，半径为 R的圆弧AB，其圆心角为其上均匀分布着线电荷密度为p 的正电荷，圆心 0点的场强设为E o,由对称性可得，E o的方向一定沿 AB的连线的中垂线向右，即图中x方向，取圆弧上一微元 Li，它在0点的场强为Ei k21，所R以：E。 Ei coskcos二R2R2Li cos而 L cos ABk k则：Eo 亡 AB -2Rsin-2k所以：Eows

4、in2 若对于无限长均匀带电直线，在距离直线为R的一点（相当于式中B =n）,场强为2kR若在均匀带电线段的延长线上一点，场强公式又如何?如图所时，在线段 AB上均匀分布着线电荷密度为p的正电荷，其旁边有一点P, P点到线段 AB的A、B两点的距离分别为 di、d2，点P到线段AB的垂直距离为 R，线 段AB的长为L,点P与A、B两点的连线之间的夹角为则由公式得，P点的场强为：2k .sin R 211d1d2 sinLR22dd sinRL代入P点的场强公式整理得:Lk第5页d1d2 cos2若在长为L的均匀带电（线电荷密度为p）线段AB的延长线上一点P，P点距离线段AB较近的一点的距离为

5、d,则根据上述表达式,di d d2 d L代入得:Lkd(d L)3、均匀面分布电荷的场强（1）无限大的带电平面的场强（2）均匀带电球面的场强参考均匀带电圆弧在圆心处产生的场强公式的推导，同样可推出面电荷密度为b的 均匀带电球冠在球心处产生的场强为：式中S为球冠的底面积，R为球面半径。若球冠的高为 h，则面电荷密度为b的均 匀带电球冠在球心处产生的场强还可表示为：k2E 兀（2Rh h ）R（3）、球面分布电荷的电场均匀球分布电荷对球外空间产生的电场，等价于置于球心的等量点电荷产生的电场。处理不均匀球分布电荷的电场问题时，一般是列出球心的电势方程来解决问题。k ；若电荷在球面RQk ，在球面

6、内各点产R半径为R、带电量为 Q的球面，在球心处产生的电势为:上均匀分布，则球面上的电荷在球面内各点产生的电势均为生的场强均为零。4、均匀体分布电荷的场强问题、把半径为 R的球体用过球心的三个平面分割成八等分，取其中一份使之均匀 带电，电荷体密度为P,求此八分之一带电球体在球心处产生的场强。5、电偶极子的电场例1、例1、线电荷密度为p的无限长均匀带电线，弯成图中所示的形状，若圆弧半 径为R，图中0点的场强为 。例2、边长为L的正方形ABCD，现将电荷+q,-q,+q,-q依次放在A,B,C,D,四点上, 求此过程中外力做的总功。例3、图中实线代表三根首尾相接的绝缘细棒，上面均匀分布着相同的电荷

7、，A点是三角形abc的中心，B点是和A点关于be边对称的点。已知 A、B两点的电势分别为a、 b，若将棒ab去掉，而其它两棒的带电情况不变，求这时 A、B两点的电势分别 为多少?AOB为其底面的一例4、如图所示，有一绝缘材料的半球面上均匀分布着正电荷，条直径，OC与AOB垂直，P为OB上一点，D与C关于O对称。回答下列问题:(1)将一正电荷从P移到C电场力做正功还是负功?(2) 将一正电荷从(3) 将一正电荷从P移到D电场力做正功还是负功?P移到A电场力做正功还是负功?例5、一个半径r = 10cm的金属球放置于半径R = 20cm的薄金属空心球内， 两球同Q =心。内球靠一根长导线经过外球的

8、开孔接地。若外球带电量例6、如图所示A、B、C为三个金属薄球壳，三者的半径分别为r A=10cm、r B=5cm、rc=20cm，所带的电量分别为 Qa=10-9C, Qb=O, Qc = 2X 10-9C。A和B为同心放置,C远离A、B。现在A上开一小孔，并用一金属细丝穿过此小孔将B与C连接，然后立即取走此金属细丝。试问经此连接后球壳B将带上多少电量？(被金属丝带带走的电量 极少，可忽略不计。)例7、半径为r的金属球远离其他物体，通过一电阻为 R的电阻器接地，电子束从 远处以速度 v落到金属球上，每秒钟落到球上的电子数为 n ,试求金属球每秒钟释放的 能量Q及球上的电量q。例8、一球壳内外半

9、径分别为 R、 距离为r处一点的场强及电势。（二）电场中的导体、电像法、感应电荷在图甲中，电荷q与导体表面上的感应电荷q/和 q/对导体表面S以内空间的场强总贡献为零（在 S面以内各点产生的场强为零）;在图乙中，导体内有两个空腔，空1、导体对电场的屏蔽现象第31页腔内各有一点电荷 q1、q2，则q1与它在内壁上的感应电荷对S1以外的空间电场总贡献为零，q2与它在内壁上的感应电荷对 S2以外的空间电场总贡献为零。2、电像法之无限大金属平面的电像3、电像法之金属球壳的电像在计算球壳外部电场的问题时,RzqR2q例1、如图所示，半径为 R的金属球内有两个空腔，空腔A内有一点电荷+q 1， B是一个半

10、径为r的球形空腔，在其球心处有一点电荷+q2，在金属球外有一点 M距离球 心为l1（ l1 R），在球形空腔B内有一点N，距离点电荷+q2为12（丨2 r），求M、N两点的场强和电势。例2、如图所示，无限大的金属板接地，距金属板距离为L的A点，有一正电荷+Q ,金属板上一点P,P距O为x.求P点的场强大小和方向.O点、P点的电荷面密度各 为多少？PO亠L¥A例3、两个互成直角的很大的金属板间有一距两板距离均为d的点电荷，试确定q 受的电场力大小和方向。例4、一个接地的无限大的金属板前垂直放置一半无限长均匀带电直线，该带电直 线的一端距金属板距离为 d,如图所示，带电直线上电荷的线密度

11、为p,求垂足0处的面电荷密度为多少？平面上距0的距离为x处的面电荷密度为多少?例5、如图所示，半径为 R的接地薄球壳内放一点电荷 q，该点电荷距球心的距离R为一，求该点电荷受到感应电荷的吸引力。2例6、有一半径为 R的接地金属球，离球心距离为 L （ L»R ）处放一正点电荷，将 此系统放入一匀强电场 E中，E的方向与L平行，如图所示。求点电荷的电量为多少时， 才能使它受到的电场力为零。例7、如图所示，内外半径分别为 Ri、R2的均匀金属球壳，球心为 0，其内有一点 电荷+Q距0点为R/2。（ 1） P点距电荷+Q为r，且P、0、Q在一条直线上。已知 P点 场强为丘，求（1）内壁上感

12、应电荷在 P点产生的场强为多大？（ 2） M为球内壁上的一 点， 0MQ= a, MQ0 为锐角，M点场强为Eo,求内壁上感应电荷在 M点产生的 场强为多大？例8、如图所示，两不带电的金属球壳同心放置，内外球壳的半径分别为 a、b ( a<b),内球壳接地。在距离球心为 的电势。L处放置一点电荷+Q，平衡时，求内球壳的带电量及外球壳例9、半径为R1的金属球与半径为 R2 ( R2> R1 )的薄金属球壳同心放置，且用细导线连接，在金属球和金属球壳之间距离球心为R处固定一正点电荷+Q，如图所示。求:(1) 金属球上的感应电荷(2)薄金属球壳内外壁上的感应电荷例10、如图所示，在电场强

13、度为 E的匀强电场中，放着一个半径为 R的金属球，求 平衡后金属球上各处的感应电荷面密度（三）平行板导体组的带电问题、电容、电容器1、平行板导体组的带电问题2、几种常见电容器的电容S 平行板电容器 C d 球形电容器真空中孤立球体： C 4 0R同心球壳，内外半径各为4 0 R1 R2R1R2（球壳间为真空）圆柱电容器长L,内外柱面半径各为Ri、R2,其间为真空:2 oLInR2Ri电容器储存的静电能W CU 2-QU2 2Q22C论证:给电容器充电克服电场力所做的功就是电容器增加的静电能，所以，电容 器储存的能量为：w u q qqgqq1 2 q q qW d CU2 ZqU 2C 22电

14、容器的连接：串联总电容的倒数等于每个电容的倒数之和；并联总电容等于每 个电容之和。例1、两个面积均为 S的圆形金属板 A B,带电量各为 Q 2Q,今将两金属板正对 平行靠近，距离为 d（d很小），求两板间的电势差。例2、三块面积均为 S且靠得很近的金属板，分别带电，电量分别为Q 2Q -Q,试求六个导体面上的电荷面密度各是多少？例3、如图所示，空气平行板电容器是由两块相距为 0.5mm的薄金属平板 A、B构成，若将此电容器放在一金属盒 K内，金属盒上下两壁与 A、B分别相距0.25mm，在不计边缘效应时，电容器电容变为原来的接，这时电容又变为原来的 倍。倍。若将盒中电容器的一极板与金属盒连例

15、4、由许多电容量都为 C的电容器组成一个多级网络，如图所示，当无限地增加T TT T T-例5、将一只电容为Co的空气平行板电容器接在电源上, 不变。若用外力将两平行板的距离增加一倍（不考虑边缘效应）（1）静电势能改变多少？（ 2）电场力对电源做多少功？少功？并维持两板间的电势差 U。问：（3）外力克服静电力做多例6、如图所示，开始时断开K,给Ci充电到电压稳定后Ci的带电量为 ，C2的带电量为例7、3个相同的电容与 2个电池连接成如图所示的电路,已知 & i=3V,£ 2=4.5V,当 Si、S2 接通后，求 U ao、U bo、Uco。级数，整个网络的中电容为 例8、如图

16、所示，平行金属板 A、B、C正对面积为S, A与B、B与C间距离分别为di、d2，AB间为真空，BC间充有相对介电常数为r的电解质，现在使 BC（ C板 接地）间充电至电压为 U （B板电势高），然后再闭合开关 S,电源提供的电压为 U0，求稳定后AB间的场强。例9、如图所示的电路，电源电动势为，三个电容器电容均为C,两个电阻阻值都是R，开始时三个开关都处于断开状态。现闭合Ki，稳定后再断开Ki,再将k2、k3同时闭合，求（1）每个电阻上释放的热量是多少？（2） 当中间的电容器电压减到时，流过两电阻的电流是10多少？例10、如图所示，电容器 Ci=C2=C3=C，电源电动势为 E，单刀双掷开关

17、先接 a， 再接b，然后再接a，而后接b，如此反复。且每次接通前电路都达到了稳定，求（1）开关第n次接b稳定后，各电容器两端的电压各是多少？（2）当开关反复接通的次数无限增多时，线路中电阻上消耗的总热量为多少？例11、电容式电压计是空气平行板电容器，它一个极板固定不动，另一个极板可以垂直板面方向平动。劲度系数为k0的弹簧固定在可动极板上，如图所示。两极板之间空隙的变化作为待定电压的量度，求使用此仪器可以测量的最大电压。已知极板面积为s，当电压为零时两极板之间空隙为d。I I h 111 h 11 I h 111 hZ|例12、长方形板伸出水平放置的电容器中部，板可以在电容器两极板之间无摩擦的

18、滑动。电容器接到恒定电压为 U的电源上，如图所示。在某一时刻无推动地放开板，释 放时，板有一半长度在电容器中。求板的速度与时间的关系，并作出此关系图像。已知，密度为，电容器两极板间的距离板的几何尺寸为 b b d，它的绝对介电常数为 恰好为d，其几何尺寸为b b。（四）带电粒子在电场中的运动1、运用开普勒定律解决带电粒子在电场中的运动问题例1、如图所示，固定的点电荷 +Q的电场中有一点 P，P距+Q距离为R，质量m， 电量-e的一个电子运动到 P点时的速度为v 2kQe，v的方向与PQ连线成60°角，V mR试问：（1）电子还能再次返回 P点吗？（2）运动中电子距+Q的最小距离为多少

19、？（3）当电子距+Q距离为2R时，其速度大小、方向如何?例2、固定的点电荷+Q的电场中有一点 P, P距+Q距离为R，质量m，电量-e的 一个电子运动到 P点时的速度为v ,.lkQe，v的方向与PQ连线成30°角，如图所示。 mR试问电子还能返回 P点吗？若能试求出再次返回P点的时间；若不能，试说明理由。例3、质量为m、电量为Q的粒子放在离无限大导体板 I处，现释放该粒子，求它经 过多长时间飞到板上？重力不计。2、运用简谐运动规律解决带电粒子在电场中的运动问题例1、在-d< xw d的空间区域内，电荷(体)密度p> 0为常数，其他区域均为真空。 若在x=2d处将质量为m

20、、电量为-q ,不计重力的带负电质点由静止释放， 试问经多长时 间它能到达x=0的位置？例2、边长为L的正方形四个顶点各固定电量均为+Q的点电荷，在对角线交点上放置一质量为 m、电量为+q的自由点电荷，今将+q沿对角线方向移动一小距离，若电荷 +q只受库仑力作用，试证明它将做简谐运动，并求出其周期。+0说例3、如图所示，两同轴带电无限长半圆柱面，内外半径分别为a、b，在两柱面之k间只有沿径向向外的电场，场强分布为：E ，式中k为常数，r为观察点到圆心的r距离。有一质量为m、电量为-q (q>0 )的不计重力的粒子，以一定初速度vo从左端射入，初速度方向既与圆柱面轴线垂直由与入射处直径垂直

21、。(1)初速度Vo ?粒子可沿半径为 R的圆周以圆柱面轴线为圆心做匀速圆周运动。(2) 右入射方向与上述 V。方向偏离一个很小的角度，其他条件不变，则粒子将偏离原来的轨道，设新轨道与原来的轨道相交于P点,求 AOP ?例4、长为I的轻杆上端可绕 O点在竖直面内自由旋转，下端固定一质量为m的小球，小球带有Q的正电荷，在 O点正上方固定一负点电荷 q，点电荷q到O点的距离为O动d，求小球绕O点在竖直面内做为振动的周期，并确定Q满足什么条件时才能发生上述恒定电流【全国物理竞赛知识要点 2003】恒定电流：欧姆定律、电阻率和温度的关系、电功和电功率、电阻的串并联、电动势、 闭合电路的欧姆定律、一般含源

22、电路的欧姆定律、基尔霍夫定律、电压表、电流表、欧 姆表、惠斯通电桥、补偿电路、物质导电性：金属中的电流、欧姆定律的微观解释、 液体中的电流、法拉第电解定律、 气体中的电流、被激放电和自激放电 （定性）、真空中的电流、示波器、半导体的导电性、 P型半导体和N型半导体、晶体二极管的单向导电性、三极管的放大作用（不要求机理） 超导现象第一部分：内容讲解【内容讲解】一、 法拉第电解定律、惠斯通电桥、电位差计1法拉第电解定律法拉第第一电解定律：电解时，电流在极板上析出的物质的质量跟电解液中的电流强度和通电时间的乘积成正比。m kit或m kq， k为电化当量。法拉第第二电解定律：各种物质的电化当量 价n

23、成反比。1 AkF为普适恒量，FF n2、惠斯通电桥k跟它们的原子量A成正比，跟它们的化合96484C / mol1 A所以：mItF n如上图所示的电路称为惠斯通电桥，当R1 色 时,R2 民电阻R5上没有电流流过，电路变成R、R2 串联，R3、R4串联，然后两者并联，达到上述条件为电桥平衡。3、电位差计一一用补偿法测电源的电动势 用补偿法测电源的电动势的电路如下图所示:hP b|II Eo为标准电源，Ex为被测电源。条件： E Eo、E Ex。只闭合ki，调节滑动触头的位置，使灵敏电流计示数为零，测出AP间的距离为11 ；只闭合k2，调节滑动触头的位置，使灵敏电流计示数为零，测出AP间的距

24、离为12，则有:巨所以：Ex “EoEx l2l2二、二端网络的处理方法二端网络包括无源二端网络和有源二端网络。处理二端网络的基本原理是“基尔霍 夫方程组”和“戴维南定理（仅用于有源二端网络）”。解决无源二端网络应用基尔霍夫方程组；解决有源二端网络可用基尔霍夫方程组或戴维南定理。除此之外，还有一些特 殊方法：对称性原理、电流叠加原理、电压叠加原理等。1、戴维南定理：戴维南定理描述的是，将一个有源二端网络简化为一个电动势为 内阻为re的电源的方法。一个有源二端网络的二端之间开路时，这二端间的电压为 将这个有源二端网络的内部所有的电动势取消，变为一个无源二端网络，这个无源二端 网络的等效电阻就是

25、re。2、 基尔霍夫方程组：在一个二端网络中，若有n个节点，k个独立回路，则可列出 n 1节点方程和k个回路回路方程。节点方程就是电流方程，回路方程就是电压方程。3、电流叠加原理、电压叠加原理电流叠加原理一一二端网络的二端为 a、b，若c点为网络中的任意一点， 则有a入 b出的电流I在电路中各处形成的电流， 等于a入c出的电流I和c入b出的电流I在电 路中各处形成的电流的叠加。电压叠加原理一一有源二端网络中某点的电势等于网络中个电源独立存在时在该点 产生的电势的代数和。（一）有源二端网络的处理一一戴维南定理、基尔霍夫方程组戴维南定理是将有源二端网络简化为一个有内阻的电源；如下左图，若讨论R2的

26、电流或功率，R2之外的电路就是一个有源二端网络，可将该有源二端网络简化右图的电路。其中e等于该有源二端网络的二端开路时的路端电压，re等于该有源二端网络内电源短路时二端间的总电阻。用戴维南定理分析，当 R2增大时，R2的功率如何变化?根据戴维南定理电路可简化为:其中R4R1R4R3R1 R4R1R4当R2= R3旦比 时电源e输出功率最大，即 R2的功率最大Ri R4所以：当R2增大时，R2的功率可能增大；可能减小；也可能先增大后减小。例1 :试应用戴维南定理求不平衡电桥电流计的电流Ig与四臂电阻的关系，设电源内电阻为零。例2、在如图所示的电路中，已知£ 求电阻R2和电流Il、13。

27、Ee J1 131 1 _ii=12V , £ 2=2V, Ri=1.5 Q, R3=2 Q, |2=1A ,例3、如图所示，电池 A的电动势为12 V，内阻2Q,电池 B的电动势为 6V，内阻1 Q。(1)当开关K打开时，求电势差 Ua/b/；(2) 当开关K闭合时，R中的电流是(3) 求电阻R。3A，从A/到B/，试计算电池A和B支路的电流;例4、在如图所示的电路中，已知28V、R16、R23 、R3 4 、R4 10 、R5 8 、R6的电流I3。22。求通过rp点是各支路中连接两个电阻的& ,内阻为ro的电源接到任意例5、将200个电阻连成如图所示的电路，图中各 导线

28、上的点，所有导线的电阻都可忽略。现将一电动势为 两个P点处，然后将任一个没接电源的支路在P点处切断，发现流过电源的电流与没切断前一样，则这200个电阻Ri、R2、R3Rioo, ri、2、r3r 100应有什么样的普遍关系? 这时图中AB导线与CD导线之间的电压等于多少？(四届预)rioo例6、有若干个电阻组成如图所示的电路，输入电压Ui、U2Un仅取1V或0V两个值，0V表示接地。确定下列问题：（1 ）当n 3时，B点的输出电压有几个可能值?（2）当n时，B点的最大输出电压为多少？例7、如图所示的网络中，仅知道部分支路上的电流值及方向，某些元件的参数和支路交点的电势值已在图中标出，请根据所给

29、的有关数据求出电阻上的电流大小和方向。例8、有n个电容器：Ci ,C2 ,C3Cn连接如图，分别给各电容器充电至电压各为Ui ,U2 ,U3Un撚后将A,B连接起来，求稳定后各电容器所带的电量。HHHP旧Cl Ca CsCn例9、如图所示，两电容器的电容量均为C,电源电动势为E,双刀双掷开关先接a、n次接a、b时输出端efb，再接c、d，然后再接a、b，而后接c、d，如此反复，求第 的电压。（二）、无源二端网络的处理I、基尔霍夫方程组n、电阻的型接法和 丫型接法的转换A iARi/7 hp可A.c “ 型变Y型”公式：戌Ri R3RR1R2R/、R2、R3RR2R3R2 R3RiR2R3R1

30、R2“Y型变型”公式：Rir/r2氏戌r/rKRRi/r2r2rJ R/R3r/r2r2r3/r/电流叠加原理、电压叠加原理川、对称性原理、 例1、如图所示, 之间的电阻值。例2、两个均匀金属圆环和四根均匀短直金属丝连成如图所示的网络，大、小圆环1的丄圆弧的电阻及每根短直金属丝的电阻均为R，求A、C两点间的等效电阻。4例3、如图所示的网络，每个小段的电阻均为R，求AB之间的等效电阻。例5、由相同规格的电阻丝制成的四面体，各边电阻分别为a、b、c，如图所示。求A、114_.bkGaCiibIrJA、B两点例6、电阻均为R的9根相同的电阻丝组成如图所示的构架，求构架上 间的等效电阻。例7、如图所示

31、的网络中，每边的电阻都是A心-12R，求AB间的等效电阻。II-LE例8、如图所示，边长为 91的正方形均匀薄金属板 ABCD，从AB中点和CD中点 接入电路时，电阻为 R。，若在该金属板上均匀挖去9个边长为I的小正方形，仍按原来的接法接入电路，求这时的电阻。A9J小ab例9、有一无限平面导体网络，它由大小相同的正六边形网眼组成，如图所示，所 有六边形每边的电阻均为Ro,求：（1）结点a、b间的电阻。（2） 如果有电流I由a点流入网络，由g点流出网络，那么流过 de段电阻的电流Ide为 多大？所以：R did2sin()I代入式得:0II cos cos4 d1d2 sin( )令y空 cos

32、 sin( )2cos cos2 2cos22sincos2 2sin 2将a =-3 = n代入上式得y 0所以：在通电直导线的延长线上任意一点的磁感应强度为B 0一、恒定电流的磁场1直线电流的磁场通有电流强度为I的无限长直导线，距导线为R处的磁感应强度为:距通有电流强度为I的有限长直导线为 R处的P点的磁感应强度为:0IB - (cos cos )4 R若P点在通电直导线的延长线上，则R=0 a =-3 = n无法直接应用上述式子计算，可进行如下变换11did2Si n() IR22上式中di、d2分别为P点到A、B的距离，I为直导线的长度微小电流元的磁场，根据直线电流的磁场公式B (co

33、s cos )得:4 rI若、都是锐角，如左图，有：B4(coscos )= 0 (sinj sin 2)0，所以B 0丄(sin4 r1 sin4 r所以：B 4 ?n若 、中有一个是钝角，如(右图)，则:(cos dcos )o4 rcos-sin(0o) sin osin(0) sin 0sincos 0 cos sin 0 sin 0因0 ,所以：sin(0) sin 0sincos 0cos 0-式代入式得:总上所述，电流元I在空间某点产生的磁场为:,式中r为电流元到该点的距离，为电流元端点与该点连线张开的角度。3、环形电流的磁场半径为R的圆环通有电流I，则n、sin环心处的磁场：

34、B 必4 R在垂直于环面的轴线上，距环心为X处的磁场:Bj sino1sin4 r0I sin4 r、R2X2_RR2o I2R_2_RR2第35页将代入得：B与环心距离为x的一点，磁感应强度为:oIR23"2(R2 x2)2结论：半径为 R的金属园环，其内通有电流I，则在过环心垂直于园环面的直线上oIR23"2(x2 R2)2若x 0，即环心处的磁感应强度为:B 012RL、通电电流为I的4、磁极子在轴线上距其中心为 X的点产生的磁场为:磁极子在平行与其平面距中心为X的点产生的磁场，以边长为磁极子为例:(xo.5Lx o.5L)oIL4 x2o.25L2因x L,所以，L

35、，代入上式，并略去二级无穷小量，得：B 嗎x4 x以上结论可推广到其它磁极子。有一磁极子，磁矩为pm ,p点距磁极子距离为 X , p点与磁极子中心连线与磁极子 轴线成角，求P点的磁场0 Pm COSTVByoPmSinBy20_ Jsi n24 cos24 x3P点磁场的两个根据磁极子在轴线上和在平行与其平面的某点产生的磁场公式可得 分量分别为：5、无限长直螺线管的电流的磁场若无限长直螺线管单位长度的匝数为n,通有电流I，则螺线管内部的磁感应强度Bi、螺线管端口的磁感应强度B2分别为：1B1onl B2onl2例1、水平放置的边长为 L的正三角形导线框内通有恒定电流I，求以该正三角形为底面的

36、正四面体的顶点的磁感应强度例2、边长为L的正方形线圈通有电流 I，求（1）正方形中心处的磁感应强度为多少？（2）过正方形中心垂直于线圈平面的轴线上一点P距正方形中心为x，P点的磁感应强度为多少？若 x>>L，求P点的磁感应强度的近似值。例3、对磁现象的成功解释最早是由安培提出来的，按照安培的计算，长直细导线通过恒定电流I，并被弯成“ V”形，半张角为a,如图所示。在“ V”形导线包围面以 外对称轴上的P点（OP=d ）的磁感应强度 B的大小正比于tan_。安培的研究后来被总2结到麦克斯韦电磁理论中而被普遍接受。求(1)P点的磁感应强度B的方向(2)按照安培的研究，P点的磁感应强度

37、B的大小为：B ktan，k ?2(3)p/点是对称轴上与P点关于顶点O对称的点，p/点的磁感应强度的大小为多少？例4、有一无限长的金属圆筒，今在圆筒中沿轴线方向通入均匀电流，试证明在筒 内任意一点的磁感应强度都为零。例5、在半径为R的木球上紧密的绕有细导线，相邻线圈可认为相互平行，以单层盖住半个球面，如图所示。导线中通有电流 心处的磁感应强度。（1）线圈沿球的半径方向均匀分布（2）线圈沿球的弧面方向均匀分布I，线圈总匝数为N，试按以下两种情况求球例6、一根很长的直长铜导线，载有电流I，导线的横截面半径为 R，在导线内以轴线为边界，沿半径方向做一个平面S,如图所示。求通过每米导线内S平面的磁通

38、量。第55页例7、（ 1）电流均匀地通过宽为 2d的无限长平面导体薄板，电流强度为 I。通过板 的中心并与板面垂直的直线上有一点 P, P到板的距离为x，不计板的厚度，求P点的磁 感应强度。（2） 无限大的导体平面，以面电流密度i均匀通有电流，求空间一点的磁感应强 度。（3） 厚度为2d的无限大导体平板，电流密度为j，求空间一点的磁感应强度。例8、如图所示，一半径为 R的无限长半圆柱面导体，其上电流与其轴线上一无限长直导线的电流等值同向，电流强度为I，均匀分布。求第32页(1) 轴线上直导线单位长度所受的力(2) 若用另一无限长直导线(通有与半圆柱面导体相同的电流)代替半圆柱面导 体，产生同样

39、的作用力，该导线应放在何处？例9、将一均匀分布着面电流的无限大载流平面放入均匀磁场中，平面中电流方向 垂直于纸面向里。已知平面两侧的磁感应强度分别为Bi、B2,如图所示。求该载流平面上单位面积所受的磁场力的大小和方向。例10、在半径为R的无限长均匀金属圆柱体内平行于轴线挖去一半径为r的无限长分的轴线上任意一点的磁感应强度。圆柱体，两圆柱体轴线间距离为a，今在此空心导体中沿轴线通一均匀电流I，求空心部例11、真空中有一个无限长的薄壁导体圆筒，截面半径为R，通以均匀恒定的电流I，将其沿轴线切成两半，分开一极小距离，设电流分布不变，试求其中一部分上L长度的电流受到的安培力。例12、半径为R载有电流I

40、i的导体圆环与载有电流 I2的无限长直导线 AB共面。AB通过圆环的铅直直径且与圆环彼此绝缘。求圆环所受的力。A例13、（ 1）如图所示，两个完全相同的导体环A、B的中心都在Z轴（竖直方向）上，两环面平行且水平，分别位于Z= ± h的平面，为使两环相互排斥，它们通的电流方向相同还是相反？（2） 一个通有电流的导体园环，能够不用任何机械的情况下飘浮在水平的超导平面之 上。假设平面 Z=0就是一个水平的超导平面，A是一个通有电流的导体园环，它的质量 为m，半径为r （ r>>h ），求A平衡时距离超导平面的距离。（3）如果A环在竖直方向上微振动，求其振动周期。例14、长同为L

41、、质量同为m的两根细长匀质导体棒，与两根自由长度同为lo(|o<<L )、劲度系数同为k的轻质金属弹簧连接成如图所示的系统，并将该系统放在光滑绝缘的水 平面上，设法使系统内通有稳恒电流I,在两棒达平衡状态后将它们各自左右对称的稍稍偏离平衡位置，而后两棒将对称的在各自平衡位置两侧附近振动，试求其振动周期。例15、将截面半径为r=9.85cm的铜管插进另一个截面半径为R=10cm的等长的铜管中，两管之间留有均匀的d=1.5mm的缝隙，在缝隙中充满变压器油，油的相对介电常数为& =5。两管的轴水平，并垂直于磁子午线，细铜管内有一小磁针，它可以在水平面 内自由旋转。两铜管构成的电容

42、器用静电机充电至30kV，外管开始以f=50r/s的转速匀速转动，求磁针偏离磁子午面的角度。已知地磁场的水平分量为Bz=2 X 10-5T，真空中的1磁导率与介电常数之积满足：0 0 , c为光速，该问题中认为铜管长度远大于其c半径，两铜管构成的电容器可近似使用平行板电容器公式。二、带电粒子在磁场中的运动（一）用运动分解法解决带电粒子在磁场中的运动问题例1、如图所示，光滑绝缘水平面上，有一质量 m，带电量为+q的小球，该空间有场强为E水平向右的匀强电场和垂直纸面向里的匀强磁场，磁感强度为B.现将小球由静止释放，求小球运动中的最大速率。-=.X * X旨El込例2、如图所示，磁感强度为B的水平匀

43、强磁场的上边界为水平线MN ,边界线MN以下磁场分布范围较宽， 今有一质量为 m、带电量为q的正电粒子以速度u 0竖直向下射 入磁场中，粒子重力不可忽略，求粒子向下运动的最大距离及粒子从磁场中飞出点与入 射点之间的距离。例3、如图所示，在真空中建立一坐标系xoy-z, x轴正方向水平向右，y轴正方向竖直向下，z轴正方向垂直于纸面向里，在0 y L的区域内有沿z轴正方向的匀强磁场，L 0.8m， B 0.1T。今把一何质比k 50C/kg的带正电质点在x 0、 my 0.20m、z 0处由静止释放，将带电质点经过原点的时刻定为t 0的时刻，求带电质点在磁场中任一时刻g 10m/s2t的位置坐标，

44、并求它刚离开磁场时的位置和速度。取q.芒LLI ?XXXBXXXy例4、如图所示，磁感强度为 B的匀强磁场有一水平的上边界，质量为 m、带电量 为+q的微粒（重力不能忽略）从边界上 0点以与边界成B角方向，大小为u 0的速度斜 向上射出，微粒运动一段时间后恰好经过边界上的 P点，已知OP=L，试讨论物理量 m、 q、B、u 0应满足的条件。V_ 0XXXXXXXfixXXXXXXXXKXMMX(二)综合性问题例1、如图所示，在一磁感强度为 B的无限大的匀强磁场中，一个粒子质量为 m、 电量为-q，在匀强磁场中运动，这个粒子在运动过程中受到大小恒为F的阻力作用。现在从y轴上P点沿x轴正方向发射这

45、个粒子， 初速度大小为u 0,不计重力，设0P= mV0qB问：(1) 粒子发射后作什么运动？(2) 粒子的这种运动可用一种什么样的力学模型来模拟？F2(3) 若粒子的初速度为vo ( . 3),求粒子从发射到第一次到达 x轴的时间qB3和位置。1XXXXXXXXXKXXXKPXXKXXXKCXX胃KXXCXXXXXXC斗XX丼X冀莒CXXKKXXXQ4XXXXXX例2 （15届决赛）、如图所示，在半径为R的圆形平面内分布有匀强磁场，磁场方向与圆面垂直且指向纸外，圆面的周界是一刚性的圆环。SD是圆环的一条直径，一束质量和电量都相等的带正电的粒子以不同的速度沿垂直于磁场的方向从S点射入磁场，速度

46、方向与SD的夹角不超过30°，粒子的重力不计。已知这种粒子在该磁场中做匀速圆周 运动的周期为 在D点圆环上有一小孔，只要粒子到达D点，该粒子就从小孔穿出磁场区域。设粒子与圆环的碰撞为完全弹性的，每次碰撞后粒子的电量都不变，不考虑粒 子间的相互作用与相互碰撞。求满足以下条件的那些粒子在射入磁场时的速度的大小和 方向。粒子在磁场内运动的总时间为T且与圆环的碰撞不超过 6次，其中最后一次“碰撞”是正好到达D点。例3、（ 16届决赛）围绕地球周围的磁场是两极强，中间弱的空间分布。1958年，范阿伦通过人造卫星搜集到的资料研究了带电粒子在地球磁场空间中的运动情况后， 得出了在距地面几千公里和几

47、万公里的高空存在着电磁辐射带（范阿伦辐射带）的结 论。有人在实验室中通过实验装置形成了如图所示的磁场分布区域MM仃在该区域中，沿z轴从左到右由强变弱再变强，对称轴为PP/。已知z轴上O点的磁感应强度大小为Bo,两端的磁感应强度大小为 Bm，现有一束质量均为 m、电量均为q、速度大小均为u °的不计重力的粒子，在 O点以与z轴成不同的投射角a向右半空间发射。设磁场足够 强，粒子只能在由紧邻 z轴的磁感线围成的截面积很小的“磁力管”内运动。试分析说 明具有不同的投射角a的粒子在磁场区域的运动情况。提示：在理论上可以证明：在细“磁力管”的管壁上粒子垂直磁场方向的速度V的平方与“磁力管”轴上

48、的磁感应强度的大小B之比为一常数。例4、如图所示，S为一粒子发射源，它均匀地向各个方向持续发射质量为m、电量为q的正粒子（不计重力），发射速率恒为u 屏，沿SO方向加一磁感强度为 B的匀强磁场,0,在发射源S的旁边有一半径为 R的圆 发射源到圆屏的垂线恰好过圆屏的中心，则打在圆屏上的粒子占总发射粒子的比例是多少?例5、空间有半径为 R、长度L很短的圆柱形磁场区域，圆柱形的轴为x轴，磁场中任意一点的磁感应强度都与到x轴的距离r成正比，即B=kr，k为常数。磁场关于 x轴有轴对称性，磁感线是以x轴为中心的圆形。一簇质量为m、电量为q的正粒子（不计重力），以平行于x轴的很大的速度u穿过该磁场。试分析

49、粒子穿过磁场后的运动情况。U4XX例6、在云室中，有如图所示方向的匀强磁场，一质子在其内做半径为ri的匀速圆周运动。现有一未知粒子沿x轴方向进入云室，并与质子发生完全弹性碰撞，碰后未知粒子朝与x轴、y轴均成450角方向做匀速直线运动， 质子则绕半径 辽的新轨道做匀速圆周运动，且ri和2恰成黄金分割，问未知粒子是什么?例7、在xyz坐标系中，质量为 m、电量为-q的不计重力的带负电粒子，从坐标原点0以速度u射出，u的方向在 yOz平面内，与y轴正向成30°角，如图所示。要使粒OA方向的匀强磁场，求磁感应强度的大小。例8、一不计重力的带电粒子，以一定速度射入某一区域，粒子受到的空气阻力大

50、小与其速度成正比，粒子停止运动前运动的距离为10cm，保持粒子的初速度不变，在该区域垂直于粒子运动方向加一匀强磁场，结果，粒子停止运动时与入射点相距6cm，若把磁感强度的大小减小为原来的 多远？半，其它条件不变，则粒子停止运动时与入射点相距例9、如图所示，一窄束单能（动能为定值）氩离子通过一扇形匀强磁场，图中60°，此束射线在进出磁场时离子束的轴线都与磁场的边界垂直。求质量数为m1电磁感应全国物理竞赛知识要点：法拉第电磁感应定律。楞次定律。自感系数。互感和变压器。交流发电机原理。交流电的最大值和有效值。纯电阻、纯电感、纯电容电路。整流和滤波。一、感应电动势、感应电流的计算基本原理：法

51、拉第电磁感应定律、麦克斯韦电磁场理论、电路分析的原理1、 如图 0C为一绝缘杆，C端固定着一金属杆 ab,已知ac=cb,ab=oc=R, / aco=60°, 此结构整体可绕 0点在纸面内沿顺时针方向以角速度3匀速转动，设有磁感应强度为 B,方向垂直于纸面向里的匀强磁场存在 ，则a、b间的电势差Uab是多少？2、如图所示，六根长度均为a的导线组成一个正三棱锥形， 绕过0点且垂直于 OBC 所在平面的轴，以角速度3匀速转动，匀强磁场 B垂直于OBC平面向下，求导线 AC中产 生的电动势大小。I轴用k均匀增加,A CD5、圆abed的半径为圆形磁场区域的2倍，磁场以k （常数）均匀增加，已知3、如图所示，在垂直与纸面向里磁感应强度为B的匀强磁场中，有一细金属丝环, 环上A点有长度为L的很小缺口，环面与磁场垂直，当环作无滑动地滚动时，环心以速 度v匀速向右运动，半径 0A与竖直方向成的角B不断增大，试求缺口处感应电动势与 B的关系。（A即为缺口）X