(完整版)勾股定理练习题及答案(共6套)

1、勾股定理课时练（1）1. 在直角三角形ABC中，斜边AB=1，则AB 2 bc2 AC 2的值是（）A.2B.4C.6D.82. 如图18 -2-4所示，有一个形状为直角梯形的零件 ABCD , AD / BC ,斜腰DC的长为10 cm,/ D=120，则该零件另一腰 AB的长是cm （结果不取近似值）.3. 直角三角形两直角边长分别为5和12,则它斜边上的高为 .4. 一根旗杆于离地面 12m处断裂，犹如装有铰链那样倒向地面，旗杆顶落于离旗杆地步16m , 旗杆在断裂之前高多少 m ?8. 一个零件的形状如图所示，已知AC=3Cm , AB=4cm , BD=12cm。求CD的长.9. 如

2、图，在四边形 ABCD中，/ A=60°,Z B=Z D=90°, BC=2 CD=3 求 AB的长.A第9题图5. 如图，如下图，今年的冰雪灾害中，一棵大树在离地面3米处折断，树的顶端落在离树杆底部410. 如图，一个牧童在小河的南 4km的A处牧马，而他正位于他的小屋B的西8km北7km处,他想把他的马牵到小河边去饮水，然后回家.他要完成这件事情所走的最短路程是多少？米处，那么这棵树折断之前的高度是 米.第5题图11如图，某会展中心在会展期间准备将高5m,长13m,宽2m的楼道上铺地毯，已知地毯平方米186.飞机在空中水平飞行，某一时刻刚好飞到一个男孩子头顶正上方400

3、0米处,过了 20秒,飞机距离这个男孩头顶5000米，求飞机每小时飞行多少千米 ？元，请你帮助计算一下，铺完这个楼道至少需要多少元钱5m7. 如图所示，无盖玻璃容器，高18cm，底面周长为60cm，在外侧距下底1 cm的点C处有一蜘蛛，与蜘蛛相对的容器的上口外侧距开口1 cm的f处有一苍蝇，试求急于扑货苍蝇充饥的蜘蛛，所走的最短路线的长度12.甲、乙两位探险者到沙漠进行探险，没有了水，需要寻找水源为了不致于走散，他们用两部 对话机联系，已知对话机的有效距离为15千米早晨8 : 00甲先出发，他以6千米/时的速度向东行走，1小时后乙出发，他以 5千米/时的速度向北行进，上午 10: 00,甲、乙

4、二人相距多远？ 还能保持联系吗？第7题图第一课时答案:2 2 2 2 21.A，提示：根据勾股定理得 BC AC 1,所以ab BC AC =1+1=2 ；2.4，提示：由勾股定理可得斜边的长为5m，而3+4-5=2 m，所以他们少走了 4步.60 ； 2 2 :3. ，提示：设斜边的高为 x，根据勾股定理求斜边为125169 13，再利13用面积法得，1 5 12- 13 x,x 60 ;22134.解：依题意，AB=16 m , AC=12 m ,在直角三角形ABC中，由勾股定理，2 2 2 2 2 2BC2AB2AC2162122202 ,所以 BC=20 m ,20+12=32( m

5、),故旗杆在断裂之前有 32 m高.5.8在直角三角形 CBD中，根据勾股定理，得 CB+B=25+122=169,所以CD=13.9.解：延长BC AD交于点E.(如图所示)VZ B=90°,Z A=60°,./ E=30° 又t CD=3 二 CE=6 / BE=8,设 AB=X，则 AE=2X，由勾股定理。得(2x)2 X282 , X 83310.如图，作出A点关于MN的对称点A',连接A B交MN于点P,则AC12A16BB就是最短路线.在Rt A' DB中，由勾股定理求得 A' B=17kmI1 22"11. 解：根据

6、勾股定理求得水平长为.13512m,地毯的总长 为12+5=17 ( m),地毯的面积为 17X 2=34 ( m2 ),铺完这个楼道至少需要花为：34X 18=612 (元)12. 解：如图，甲从上午 8： 00到上午10: 00 一共走了 2小时，走了 12千米，即OA=12.乙从上午9： 00到上午10： 00 一共走了 1小时,6.解：如图,由题意得,AC=4000米,/ C=90° ,AB=5000米,由勾股定理得bc50002 400023000(米),所以飞机飞行的速度为540 (千米/小时)2036007.解：将曲线沿 AB展开，如图所示，过点 C作CEL AB于E.

7、在 Rt CEF, CEF 90 , ef=18-1-1=16( cm),1CE=30(cm),2. 60走了 5千米，即OB=5 . 在 Rt OAB 中，AB2=122十 5 = 169，二 AB=13,p B 因此，上午10： 00时，甲、乙两人相距 13千米./-/15> 13,甲、乙两人还能保持联系.7* '-> Jk1由勾股定理，得 cf= CE2 EF 2302 162 34(cm)解：在直角三角形 ABC中，根据勾股定理，得BC2 AC2 AB2324225- - - - EA'BC和CD边上的点，且AB=4,CE=BC, F为CD的中点，连接 AF

8、、AE ,问厶AEF是什么三角形？请说明理由.ABCD二、填空题5. ABC的三边分别是7、24、25,则三角形的最大内角的度数是.6. 三边为9、12、15的三角形，其面积为勾股定理的逆定理（2）一、选择题1. 下列各组数据中，不能作为直角三角形三边长的是（）A.9，12，15 B. 5 1 3C.0.2，0.3，0.4D.40，41，9442. 满足下列条件的三角形中，不是直角三角形的是（）A.三个内角比为1 : 2 : 1 B.三边之比为1 : 2 : . 5C.三边之比为.3 : 2 : . 5 D.三个内角比为1 : 2 : 33. 已知三角形两边长为2和6,要使这个三角形为直角三角

9、形，则第三边的长为（）A. ,2 B. 2.10 C. 4 2或 2 10 D.以上都不对4. 五根小木棒，其长度分别为7，15，20，24，25,现将他们摆成两个直角三角形，其中正确的是（）7. 已知三角形ABC的三边长为a,b,c满足a b 10,ab 18，c 8,则此三角形为 三角形.8. 在三角形 ABC中，AB=12cm，AC=5cm，BC=13cm，贝U BC边上的高为 AD=cm .三、解答题9. 如图，已知四边形 ABCD 中，/ B=90°，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，求四边形 ABCD 的面积.11. 如图，AB为一棵大树，在树上距地面10m的D

10、处有两只猴子，它们同时发现地面上的 C处有 一筐水果，一只猴子从 D处上爬到树顶 A处，利用拉在 A处的滑绳AC,滑到C处，另一只猴子 从D处滑到地面B,再由B跑到C,已知两猴子所经路程都是 15m，求树高AB.12. 如图，为修通铁路凿通隧道 AC,量出/ A=40°Z B= 50°，AB= 5公里，BC= 4公里，若每天凿 隧道0.3公里，问几天才能把隧道 AB凿通？二、5.90 °提示：根据勾股定理逆定理得三角形是直角三角形，所以最大的内角为190° .6.54，提示：先根基勾股定理逆定理得三角形是直角三角形，面积为91254.7.2直角，提示：2

11、 2 2 2 2 2 2(a b)100,得ab 2ab 100, a b 100 2 18 64 8 c8.-60，提示：先根据勾股定理逆定理判断三角形是直角三角形，再利用面积法求得131112 5 13 AD ;22三、9.解：连接AC，在Rt ABC中， AC2=AB2 + BC2=32 + 42=25，/ AC=5.在厶 ACD 中，t AC2 + CD2=25 + 122=169， 而 AB2=132=169，/ AC2 + CD2=AB2，二 / ACD=90°.1故S 四边形 ABCD=SaABC + Sa acd= AB 2X 5X 12=6 + 30=36.1BC+

12、 AC210. 解：由勾股定理得 AE2=25，EF2=5，AF2=20，t AE2= EF2 +AF2， AEF是直角三角形11. 设 AD=x 米，贝U AB 为(10+x)米，AC 为(15-x)米，BC 为 5 米，(x+10)2+52=( 15-x)2,解 得 x=2,. 10+x=12 (米)12. 解：第七组，a 27 115,b2 7(71)112,c1121113.第 n 组，a 2n 1,b2n(n1),c2n(n1)118.2勾股定理的逆定理答案:、1.C；2.c；3.c，提示：当已经给出的两边分别为直角边时，第三边为斜边=.22622 10;当6为斜边时，第三边为直角边

13、=.62224 2 ； 4. c ；勾股定理的逆定理(3)角三角形吗？为什么？、基础巩固1. 满足下列条件的三角形中，不是直角三角形的是()A.三内角之比为 1 : 2 : 3B.三边长的平方之比为 1 : 2 : 3C.三边长之比为 3 : 4 : 5D.三内角之比为 3 : 4 : 52. 如图18 -2-4所示，有一个形状为直角梯形的零件 ABCD , AD / BC ,斜腰DC的长为10 cm,/ D=120，则该零件另一腰 AB的长是cm (结果不取近似值).图 18图 18- 2-5图 18-2-63. 如图18- 2-5,以Rt ABC的三边为边向外作正方形， 其面积分别为S1、

14、S2、S3,且S1=4, S2=8 , _则AB的长为.4. 如图18- 2-6,已知正方形 ABCD的边长为4, E为AB中点，F为AD上的一点，且AF=1AD ,4试判断 EFC的形状.5. 个零件的形状如图 18-2-7,按规定这个零件中/ A与/ BDC都应为直角，工人师傅量得零件各边尺寸：AD=4 , AB=3,BD=5 , DC=12 , BC=13，这个零件符合要求吗？8. 已知：如图18-2-8,在厶ABC中，CD是AB边上的高，且 CD2=AD- BD.求证：AABC是直角三角形.图 18-2-89. 如图18-2-9所示，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为 A ( 3

15、, 1) , B (2,4), OAB 是直角三角形吗？借助于网格，证明你的结论10. 已知：在 ABC 中，/ A、/ B、/ C 的对边分别是 a、b、c,满足 a2+b2+c2+338=10a+24b+26c.试判断 ABC的形状.图 18-2-76. 已知 ABC的三边分别为k2- 1 , 2k, k2+1 (k> 1),求证： ABC是直角三角形12. 已知：如图 18 - 2- 10,四边形 ABCD , AD / BC , AB=4 , BC=6 , CD=5 , AD=3. 求：四边形ABCD的面积.二、综合应用图18 -7. 已知a、b、c是RtA ABC的三 边长，

16、A1B1C1的三边长分别是 2a、2b、2c,那么 A1B1C1是直2- 103. 如图18-2-5，以Rt ABC的三边为边向外作正方形，其面积分别为S1、S2、S3,且S仁4,S2=8，则AB的长为.$z图 18 - 2-5图 18-2 - 6思路分析：因为 ABC 是 RtA，所以 BC2+AC2=AB2，即 S1+S2=S3，所以 S3=12，因为 S3=AB 2,参考答案一、基础巩固1. 满足下列条件的三角形中，不是直角三角形的是（）A.三内角之比为 1 : 2 : 3B.三边长的平方之比为 1 : 2 : 3C.三边长之比为 3 : 4 : 5D.三内角之比为 3 : 4 : 5思

17、路分析：判断一个三角形是否是直角三角形有以下方法：有一个角是直角或两锐角互余；两边的平方和等于第三边的平方；一边的中线等于这条边的一半由A得有一个角是直角；B、C满足勾股定理的逆定理，所以应选D.答案：D2. 如图18 -2-4所示，有一个形状为直角梯形的零件ABCD , AD / BC ,斜腰DC的长为10 cm,/ D=120，则该零件另一腰 AB的长是cm （结果不取近似值）.A i）T E C图 18-2 - 4解：过D点作DE / AB交BC于E,则 DEC是直角三角形四边形ABED是矩形，AB=DE.vZ D=120，二/ CDE=30 .又丁在直角三角形中，30°所对的

18、直角边等于斜边的一半，CE=5 cm.根据勾股定理的逆定理得，DE= 102 525 3 cm./AB= v'102 525后 cm.所以 ab= s3. 12 2 3.答案：2 34. 如图18-2-6，已知正方形 ABCD的边长为4,E为AB中点，F为AD上的一点，且AF= AD ,4试判断 EFC的形状.思路分析：分别计算EF、CE、CF的长度，再利用勾股定理的逆定理判断即可.解：v E为 AB 中点，BE=2.二 CE2=be2+BC2=22+42=20.同理可求得，EF2=AE2+AF2=22+12=5,CF2=DF2+CD2=32+42=25.v ce2+ef2=cf2,

19、EFC是以Z CEF为直角的直角三角形.5. 个零件的形状如图 18- 2-7,按规定这个零件中Z A与Z BDC都应为直角，工人师傅量得零件各边尺寸：AD=4 , AB=3,BD=5 , DC=12 , BC=13，这个零件符合要求吗？图 18-2 - 7思路分析：要检验这个零件是否符合要求，只要判断厶ADB和厶DBC是否为直角三角形即可,这样勾股定理的逆定理就可派上用场了.解：在 ABD 中，AB2+AD 2=32+42=9+16=25=BD 2,所以 ABD 为直角三角形，Z A =90°. 在厶BDC中，BD2+DC 2=52+122=25+144=169=13 2=BC 2

20、.所以 BDC是直角三角形，/ CDB =90 .因此这个零件符合要求.6. 已知 ABC的三边分别为k2 1 , 2k, k2+i (k> 1),求证： ABC是直角三角形.思路分析：根据题意，只要判断三边之间的关系符合勾股定理的逆定理即可 证明：t k2+i>k2 1,k2+i 2k=(k 1)2>0,即 k2+1>2k，二 k2+1 是最长边.T(k2 1)2+(2k )2=k4 2k2+i+4k2=k4+2k2+ 1=(k2+1)2, ABC是直角三角形.二、综合应用7. 已知a、b、c是RtA ABC的三 边长， AiBiCi的三边长分别是 2a、2b、2c,

21、那么 AiBiCi是直 角三角形吗？为什么？思路分析：如果将直角三角形的三条边长同时扩大一个相同的倍数，得到的三角形还是直角 三角形(例2已证).解：略8. 已知：如图18 2 8，在厶ABC中，CD是AB边上的高，且 CD2=AD- BD.求证： ABC是直角三角形.思路分析：根据题意，只要判断三边符合勾股定理的逆定理即可证明：t AC2=AD 2+cd2，BC2=CD2+BD2，AC 2+BC2=AD 2+2CD2+BD2=AD 2+2AD - BD+BD 2=(AD+BD ) 2=AB2. ABC是直角三角形.9. 如图18 2 9所示，在平面直角坐标系中， 点A、B的坐标分别为 A (

22、 3，1)，B (2,4 )， OAB 是直角三角形吗？借助于网格，证明你的结论 .图 18 2 9思路分析：借助于网格，利用勾股定理分别计算0A、AB、OB的长度，再利用勾股定理的逆定理判断厶OAB是否是直角三角形即可.解：t OA2=OAi2+AiA2=32+12=10,OB2=OB i2+BiB2=22+42=20,AB2=AC2+BC2=12+32=10,- oa2+ab 2=O B2 OAB是以OB为斜边的等腰直角三角形 .10. 阅读下列解题过程：已知a、b、c ABC的三边，且满足a2c2 b2c?=a4 b4,试判断 ABC的形状.解：t 禺b2c2=a4 b4, (A) c2

23、(a2 b2)=(a2+b2)(a2 b2), (B) c2=a2+b2, ( C).ABC 是直 角三角形.问：上述解题”过程是从哪一步开始岀现错误的？请写岀该步的代号 ;错误的原因是”;本题的正确结论是 .思路分析：做这种类型的题目，首先要认真审题，特别是题目中隐含的条件，本题错在忽视 了a有可能等于b这一条件，从而得出的结论不全面.答案：(B)没有考虑a=b这种可能，当a=b时厶ABC是等腰三角形：厶 ABC是等腰 三角形或直角三角形.11. 已知：在 ABC 中，/ A、/ B、/ C 的对边分别是 a、b、c,满足 a2+b2+c2+338=10a+24b+26c. 试判断 ABC的

24、形状.思路分析：(1)移项，配成三个完全平方；(2)三个非负数的和为0，则都为0; (3)已知a、b、 c,利用勾股定理的逆定理判断三角形的形状为直角三角形解：由已知可得 a2 10a+25+b2 24b+144+c2 26c+169=0,配方并化简得,(a 5)2+(b 12)2+(c 13)2=0.t (a- 5)2> 0,( 12)2> 0,( 13)2> 0. a 5=0,b 12=0,c 13=0. 解得 a=5,b=12,c=13.又 t a2+b2=169=c2, ABC是直角三角形.12. 已知：如图 18 2 10,四边形 ABCD , AD / BC ,

25、AB=4 , BC=6 , CD=5 , AD=3.求：四边形ABCD的面积.思路分析：(1)作DE / AB，连结BD，则可以证明 ABD EDB (ASA );(2)DE=AB=4 , BE=AD=3 , EC=EB =3; (3)在厶 DEC 中，3、4、5 为勾股数， DEC 为直角三 角形，DE丄BC; (4)利用梯形面积公式，或利用三角形的面积可解.解：作DE / AB，连结BD，则可以证明 ABD EDB (ASA ),/ DE=AB=4，BE=AD=3./ BC=6,EC=EB=3./ DE2+ce2=32+42=25=CD 2, DEC为直角三角形.又 t EC=EB=3,/

26、 DBC为等腰三角形，DB=DC=5.在厶 BDA 中 AD2+AB2=32+42=25=BD2, BDA是直角三角形.它们的面积分别为$ bda=1 s=6;S DBC=1 >6X4=12.2 2S 四边形 abcd =Sbda +Sdbc=6+12=18.（3）结合勾股定理有关知识，说明你的结论的正确性。勾股定理的应用（4）1. 三个半圆的面积分别为S=4.5 n, S=8n, Ss=12.5 n,把三个半圆拼成如图所示的图形，则 ABC定是直角三角形吗？说明理由。6. 如图，在 RtA ABC中, Z ACB=90 , CD丄 AB , BC=6 AC=8 求 AB、CD 的长2.

27、 求知中学有一块四边形的空地 ABCD如下图所示，学校计划在空地上种植草皮，经测量/ A=90°AB=3m BC=12m CD=13m DA=4m若每平方米草皮需要 200天，问学校需要投入多少资金买草皮？7. 在数轴上画岀表示.17的点（不写作法，但要保留画图痕迹）I I I I I3. （12分）如图所示，折叠矩形的一边AD,使点D落在BC边上的点F 处，已知 AB=8cmBC=10cm求EC的长8.已知如图，四边形 ABCD中，Z B=90°, AB=4, BC=3 CD=12 AD=13求这个四边形的面积4.如图，一个牧童在小河的南4km的A处牧马，而他正位于他的小

28、屋B的西8km北7km处，他想把他的马牵到小河边去饮水，然后回家.他要完成这件事情所走的最短路程是多少?9.如图，每个小方格的边长都为1.求图中格点四边形 ABCD的面积勾股定理复习题（5）DBC5. （8分）观察下列各式，你有什么发现？32=4+5, 52=12+13, 72=24+25 9 2=40+41这到底是巧合，还是有什么规律蕴涵其中呢?（1）填空：132=（2）请写岀你发现的规律。一、填空、选择题题：3. 有一个边长为5米的正方形洞口，想用一个圆盖去盖住这个洞口，圆的直径至少为( 米4、 一旗杆离地面6米处折断，旗杆顶部落在离旗杆底部8米处，则旗杆折断之前的高度是()米。6、 在厶

29、ABC中，/ C=90° ,AB=10。 若/ A=30° ,贝U BC ，AC 。(2)若/ A=45°贝寸 BC=，AC=。8、在厶 ABC中，/ C=90°，AC=0.9cm,BC=1.2cm.则斜边上的高 CD= mC.对顶角相等D.如果a=b或a+b=0,那么a2 b2二、解答题：19、有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺。如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面。水的深度与这根芦苇的长度分别是多少？11、 三角形的三边a b c，满足(a b)2 c2 2ab，则此三角形是 三

30、角形。12、 小明向东走80米后，沿另一方向又走了60米，再沿第三个方向走100米回到原地。小明向东走80米后又向 方向走的。13、ABC 中，AB=13cm ,BC=10cm，BC边上的中线 AD=12cm则 AC 的长为cm14、 两人从同一地点同时出发，一人以3米/秒的速度向北直行，一人以4米/秒的速度向东直行,5秒钟后他们相距米.15、写出下列命题的逆命题，这些命题的逆命题成立吗？两直线平行，内错角相等。 ()如果两个实数相等，那么它们的平方相等。 ( ) 2 2若a b ，贝寸a=b ()全等三角形的对应角相等。 ()角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上。( )16、下列各组线段组成的三角形不是直角三角形的是()(A)a=15 b=8 c=17 (B) a:b:c=1:. 3 : 268(C) a=2 b= c=(D) a=13 b=14 c=155517、 若一个三角形的三边长为 6,8,x,则使此三角形是直角三角形的x的值是().A.8B.10 C.28D.10 或 2820、一根竹子高1丈，折断后竹子顶端落在离竹子底端3尺处.折断处离地面的高度是多少 ？(其中丈、尺是长度单位,1丈=10尺)21、某港口位于东西方向的海岸线上。“远航”号、“海天”