关于绝对值的几种题型及解题技巧

1、关于绝对值的几种题型及解题技巧 所谓绝对值就是只有单纯白数值而没有负号。即 a 0。但是，绝对值里面的数值可以是正数也可以是负数。怎么理解呢绝对值符号就相当于一扇门， 我们在家 里面的时候可以穿衣服也可以不穿衣服，但是，出门的时候一定要穿上衣服。所以，a 0,而a则有两种可能：a 。和a 0。如：a 5,贝Ua 5和a 5。合并写成：a 5。于是我们得到这样一个性质：很多同学无说1解，的什么a 0时，开出来的时候一定要添加一个“负号”呢a 因为此时a 0,也就是说a是一个负数，负数乘以符号就是正号了。如(2) 2 因此，当判断绝对值里面的数是一个负数的时候， 一定要在这个式子的前面添加 一个负

2、号。例如：a b 0,则 a b (a b)。绝对值的题解始终围绕绝对值的性质来展开的。我就绝对值的几种题型进行详细 讲解，希望能对你们有所帮助。绝对值的性质：(1)绝对值的非负性，可以用下式表示：|a|>0,这是绝对值非常重要的性质；a (a> 0)(2) |a|=0(a=0)(代数意义)-a(a< 0)(3) 若|a|=a,贝>a>0；若|a|=-a,则 a<0；(4)任何一个数的绝对值都不小于这个数，也不小于这个数的相反数，即 1aB a,且 |aa-a；(5)若|a|=|b则2加或2=口(几何意义)a 回(6) |ab|=|a|- |b|; |b |

3、=|b| (b*0);(7) |a|2=|a2 |=a2;(8) |a+b|<|a|+|b|a-b|> |a-|b|a|+|b|>|a+b|a|+|b|> |a-b|:比较大小典型题型：【1】已知a、b为有理数，且a 0, b 0 "a |b ,则（A: abba;B：baba;C: abba;D：bbaa这类题型的关键是画出数轴，然后将点按照题目的条件进行标记。因为是a 0, b 0, 1a |b所以我们就在原点的左边标记。如果你不知道谁在前面，你就自己找一个数字。如:。4 3,又因为它们都是负数，所以a 40 b 3当我们把条件都标记好了，并假设了一个数值

4、带入其中，我们就能准确地判 断它们的大小了。二：判断点的位置或者原点的位置经典题型【1】不相等的有理数 a、b、c在数轴上的对应点分别为 A、B、C,如果 a b b c a c ,那么，点8在（）A:在A、C点的右边；B:在A、C点的左边；C:在AC点之间；D:上述三种均可能 这个题目要求从已知条件入手，判断各自的大小关系。首先将题目进行变形：观察一下，三个式子最后的结果是“ 0”，而三个式子中刚好是2个a, 2个b, 2个c。只有它们相互抵消了才可能为0.由此得到a b 0o b c 0,ac 0所以有:0,0画出数轴： Jb一a>由此可以得出B点在AC之间。但是原点呢a b Co

5、A可以是正数也可以是负数。因此原点可以在a的左边也可以在右边。这样原点可以在 AB之间，也可以在 CB之间，还可以在 C的左边。三：已知点在数轴上的位置，简化或者计算。典型题型11实数a、b在数轴上的位置如图所示，那么，化简 a b a的结果是:b0aA: 2a-b ; B: b ; C: -b ; D: -2a+b从图中我们可以很准确地知道：a 0, b 0,而且点b到原点的距离比点 a到原点的距离还长，所以我们可以判断出a b 0。如果你不知道自己是否判断对了，就采用数值法。设 a2°b 4°ab 2( 4) 24 6 0a b 0直接开出来。于是，原式 a b a =

6、a b a b2已知 a c 0 b , 且 b |c；化简 bcbcacacab虽然条件中没有给出各点所在的位置，但是我们可以通过画数轴来确定各自的位置关 系。a cb甚a你可以标记具体的数值帮助我01分析。如b 2。c 4 , a 5从数轴上可以看出，bc0°bc0°ac0,ac0°ab0。由绝对值的性质可以得到 b c b c a c a c a b(b c) (b c) (a c) (a c) (a b)【3】若1 a 3,贝U 3 a 1 a这个题目给了 a的取值范围，因此我们要对绝对值中的式子进行判断。1 a 3,所以3a 0,而1a 0。如果你怕自己

7、判断错误，不妨设一个数 值，a 2。记住一定是在1和3之间取数值。这样你就能知道自己是否判断正 确了。如果没有给定区间，我们应该如何解答呢【4】化简3x 1 2x 1这个题型，首先要在数轴上找出它们的零值点,于“0”，由此得到:3x 1 0,解得x也就是绝对值里面的式子必须等12x 1 0,解得x 3。负正 &|正）画数轴，然后将零值点标出，并延长其线段，再将属于零值点的式亮记上去。以零值点为分界线，数轴右边为正，左边为负。这样数轴就被分割成了三个部分。1第一部分：x -3由图上箭头方向可知:3x 1 0。 2x 1 0- 二第二部分：3x2由图上箭头方向可知：3x 1 0。2x 1

8、01第三部分：x 2由图上箭头方向可知：3x 1 0。2x 1 0千万记住：取零值点！ !四：最小值或者最大值经典题型1设a, b是有理数，则|a+b|+9有最小值还是最大值其值是多少我们知道：绝对值是大于零的数，正数加正数会越来越大，所以，它会有最小值, 而这个最小值是9+0=9.所以a b 0。即|a+b|+9有最小值为9;如果是9-|a+b呢因为绝对值出来的数都是非负数，9减去一个非负数只能越来越 小，所以，它就会有最大值9-0=9。21设a, b是有理数，则-8-|ab|是有最大值还是最小值其值是多少这个题目是一个负数减去一个正数相等于加上一个数，这样所得出来的数值会越来越小。因此它会

9、有一个最大值-8。小结：这类题目关键是加法还是减法。正数 十绝对值时有最小值；正数-绝对 值时有最大值；负数-正数时有最大值。【3】求 |x-3|+|x-5|+|x-2|+|x+1|+|x+7|的最小值这里我们可以把小学奥数中的相关知识联系到一起讲解：如图，在接到上有 A、B、C、D、E五栋居民楼，现在设立一个邮筒，为使五 栋楼的居民到邮筒的就努力之和最短，邮局应立于何处分析：我们来分A以/Ca、E 商E,不论这个邮筒放在 AE之间的哪一点，A 到邮筒的距离加上E到邮筒的距离就是 AE的长度。也就是说邮筒放在 哪不会影响这两个点到邮筒的距离之和。那么我们就使其他的3个点到邮筒的距离之和最短，再

10、看为了使 B、D两个到邮筒的距离之和也是不 变的，等于BD。最后，只需要考虑 C点到邮筒的距离最近就行了。那 么当然也就是把邮筒放在 C点了。这里就体现了一个“向中心靠拢的思 想”找出零值点，3,5,2, -1,-7|x-3|+|x-5|+|x-2|+|x+1|+|x+7|这个式子有5项，以此排序-7, -1, 2, 3, 5,故取中间项：x=2 |x-3|+|x-5|+|x-2|+|x+1|+|x+7|=2 3 |2 5 |2 2 2 1 2 7 16 题后小结论：求 |x-a1|+|x-a21+|x-an | 的最小值：当n为奇数时，把a、a2、an从小到大排列，x等于最中间的数值时， 该

11、式子的值最小。当n为偶数时，把a1、a2、an从小到大排列，x取最中间两个数值之间的数（包括最中间的数）时，该式子的值最小五：求值经典题型1已知 x 3; y 4,且 x y,则 x y解：x 3所以：x 3。y 4,所以y 4x y,所以y 4这类题目注意条件。x y。只要y比x大就可以，这里y只能取4.而x可 以取3和-3.因此就会有两个答案。已知亦。0,若m2a八3b八4c解：因为abc 0,故此存在四种可能：同为正，同为负，二正一负，二负(1)同为正，则 m 1 24+1=25(2)同为负，则 m 1 -24+1=23(3)二正一负，则 m 1 -24+1=-23(4)二负一正，则 m

12、 1 24+1=252 a 3b 4c综合：m 1 25或者m 1 -23已知abc 0,若m同时口则m 1这个题目将乘法改成加法，这时，我们需要讨论的情形就要多一些(1)同为正数。m 1 102a 3b 4c可|b|网=2+3+4=9所以,(2)同为负数。2a 3b 4c同 |b| |c| =-2-3-4=-9 所以,(3) a为正,b、c为负数2a 3b 4ca b c5。所以，m 14(4) a为正,b为正、c为负数2a 3b 4ca b c(5) a为正,b为负、c为正数2a 3b7 i4cc3,所以,(6) a为负,b为正、c为负数2a 3bmb4c c c , c向2 3 4 3所

13、以,(7) a为负,b为正、c为正数2a m3b4c2 3 4 5c2 3 4 5所以,(8) a为负,b为负、c为正数2a m a3b4c -/B 2 3 41所以,这类题目一定要分别讨论。最好的办法就是逐一排除。【4】已知a、b互为相反数，c、d互为倒数，x的绝对值等于1,求x2 (a b)x cd解.a、b互为相反数，所以：a+b=0.c、d互为倒数，所以：cd=1x的绝对值等于1,所以x2 1六：0+0型0+0型有集中很典型的题型第一类：绝对值+绝对化若1x-a|+|x-b|=0，则x-a=0且x-b=0；因为绝对值出来的数都是非负数，而两个非负数相加要等于0.唯有绝对值里面的数等于0

14、.【1】已知x 4 y 2 0,求x二二 x y解.x 4 y 2 。，所以有：x-4=0.解得：x=4; y+2=0 解得：y=-2x y2 43则：x y2 4【2】若x y 3与x y 1999互为相反数，求 二/二 x y解：互为相反数的两个数之和等于 0.因此有：x y 3 + x y 1999 =0 解得：x-y=-3 ;x+y=1999一2 一，一右|x-a|+(x-b) =0,贝U x-a=0且 x-b=0；第二类：绝对值年方因为绝对值出来的数都是非负数，而平方数也是一个非负数，两个非负数相加等于0,则各自为0.21 若 |x+3|+(y-1)2=0,(- y4)nx的值120

15、001解：x+3=0所以：x=-3;y-1=0o 所以：y=1讨论:土)n(£)n( i)n 1当n为偶数时:4 c4 c(一)n(r4)n( i)n i当n为奇数时，y x 1 3第三类：平方+平方若(x-a)2 +(x-b) 2 "。，贝 x-a=0且 x-b=0； 22【3】已知(x 2) (y 4)0,求xy (x y) 解：x-2=0o 所以 x=2 ; y+4=0,所以：y=-4七：分数求和11已知ab 2与b 1互为相反数，求代数式解：ab 2 + b 1 =0 解得：ab=2,b=211=2 2 3 3 42000 20011111111= 2 2 3 3

16、42000 20012001 .200121化简1200412003112003 2002111003 1002113007=2004 10032004 1003分式求和常用解法就是裂项。裂项、裂项，就是将一个因式分裂成两个部分， 它的原理是根据异分母相加1 1减，必须通分来分裂的。如：2 3因为分母不同，所以要通分。分子分母同时 扩大相同的倍数，其值是不变的。一般来说，最简单的通分方法就是分母互相扩 大倍数。“2”要扩大“ 3”倍，而“3”要扩大“2”倍。这样一来该题就可以变成：1 1_3_ _2_ 3 22 3=2 3 2 3 = 2 3 2 3 0例题分析1111【1】2 3 3 4 4 599 100/ 1 1、 / 1 1、 / 1 1、11-（_） （_）-=2 33 44 599 1001，=2 100由此，我们得到一个结论：如果因式分母之间的差为