函数奇偶性基本题型及求解策略

1、函数奇偶性基本题型及求解策略函数的奇偶性是函数的重要性质，也是每年的高考重要内容和热点内容之一，函数的奇偶性可以解 决下列几类问题。一.利用奇偶性定义判断例1.设f(x)是R上的任意函数，则下列叙述正确的是()A f(x).f( x)是奇函数B. f(x).|f( x)|是奇函数C f(x) f( x)是偶函数 D、f(x)+f( x)是偶函数解：由于f( x)+f ( x) f( x) f(x),所以f(x)+f( x)是偶函数，故选择 D。点评：解抽象函数问题可以通过化抽象为具体的方法，即赋予恰当的数值，利用定义经过运算与推 理，最后得出结论。例 2.已知函数 f (x) =1n (x+2

2、) +1n (x-2),则 f (x)是()A.奇函数B.偶函数C .既是奇函数又是偶函数D .非奇非偶函数【分析】根据题意，对于函数f (x),先分析其定义域可得函数f (x)的定义域为x|x 2,不关于原点对称，由函数奇偶性的性质可得答案.x 2 0解：函数 f (x) =1n (x+2) +1n (x-2),则有，解可得 x2,x 2 0即函数f (x)的定义域为x|x 2,不关于原点对称，则 f (x)是非奇非偶函数；故选： D.【点评】本题考查函数奇偶性的判定，注意要先分析函数的定义域.定义域不对称，则非奇非偶。二.利用奇偶性求参数例3设函数f(x) (x 1)(2 x 3a)为偶函

3、数，则a=.解：函数 f(x) (x 1)(2x 3a)=2x2 (3a 2)x 3a ,二.函数 f(x)为偶函数，2222x (3a 2)x 3a 2x (3a 2)x 3a, . 3a 2 =0, ,. a 一。3【点评】本题考查偶函数的定义，根据偶函数的定义，可得一次项系数为0,从而可得结论。三.利用奇偶性求值例3已知f(x)为奇函数，g(x)是偶函数，且f( 1) g(1) 2, f (1) g( 1) 4,则g(1)=.解：: f(x)为奇函数，f ( 1) g(1) 2可化为 f(1) g(1) 2， g(x)为偶函数，f (1) g( 1) 4 可化为 f(1) g(1) 4，

4、+得，2g(1)=6,解得g(1)=3,故答案为：3.【点评】本题考查函数的奇偶性及其应用，考查函数的求值，灵活运用函数的奇偶性是解题关键.利用函数f(x)、g(x)的奇偶性可把已知等式化为关于f(1), g(1)的方程组，消掉 f(1)即可求得g(1).例4.已知R上的奇函数f (x)满足：当x0时，f (x) =x2+x- 1,则ff ( - 1)二()A. - 1 B.1 C.2 D.-2【分析】由f (x)为奇函数即可得出f (- 1) =-f (1),进而得出ff (T) = -ff (1),而根 据x0时f (x)的解析式即可求出 f (1) =1,从而可求出ff (-1)的值.解

5、：根据条件，ff (-1) =f - f (1) = -ff (1) =-f (1) =T.故选 A.【点评】考查奇函数的定义，已知函数求值的方法，解决本题的关键是利用奇函数的性质把自变量 转化为x0,代入已知解析式求解即可。四.利用奇偶性的对称性解题例4.设偶函数f(x)的定义域为R,当x 0,)时，f(x)是增函数，则f( 2), f( ), f ( 3)的大 小关系是。解：: f(x)是定义域为R的偶函数，f ( 2)=f (2), f ( 3) f (3).函数f (x)在0,)上是增函数，f ( )f(3) f(2),即f( ) f( 3) f ( 2)。【点评】本题考查了偶函数的性

6、质，以及函数的单调性的应用，一般将函数值转化到同一单调区间上再比较大小.五.利用奇偶性解不等式例5若f(x) 3x x3,则满足不等式f(2m 1) f (3 m) 0的m的取值范围为 .解：: f( x) 3x x3 f (x) , f(x)为 R 上的奇函数，又f(x) 3x x3为 R上的增函数.故不等式f(2m 1) f (3 m) 0可化为：f (2m 1) f (3 m) f (m 3),故 2m 1 m 3 ,解得 m 2.【点评】本题以不等式为载体，考查函数的单调性和奇偶性，由题意可得f (x)为R上的奇函数和增函数，故脱掉f，问题转化为解一元不等式问题解决。六.利用奇偶性求解

7、析式例6.已知函数f(x)是R上的奇函数，且当x 0时，f(x)=x3 x 1 ,则当x 0时，f(x)=.解：函数函数f (x)是R上的奇函数，且当 x 0时，f(x)=x3 x 1,当 x 0 时，则 x 0, f (x) f ( x) ( x3 x 1) x3 x 1 ,故答案为：x3 x 1 .【点评】本题考查函数的奇偶性的应用，考查计算能力.一般设出所求自变量解析式所在的范围， 把所求范围转化为已知解析式的定义域，利用函数的奇偶性化简即可求出解析式。七.利用函数的性质求恒成立问题例7.已知函数y=f (x)是定义在R上的偶函数，且在(-8,0上是增函数，若不等式 f (a) f(x)

8、对任意xC1, 2恒成立，则实数 a的取值范围是()A.(一巴 1 B. -1, 1 C.(-巴 2 D. -2, 2【分析】偶函数f (x)在0, +8)上是减函数，则不等式 f (a) f (x)对任意xC1, 2恒成立， 即不等式f (|a|) f (|x|)对任意xC1, 2恒成立，即可得到答案.解：由题意，偶函数 f (x)在0, +8)上是减函数，则不等式f (a) f (x)对任意xC1, 2恒成立，即不等式f (| a| ) f (|x| )对任意xC 1, 2恒成立，.|a|4,则实数a的取值范围()A.(一巴 1) b.( 一 oo,3) c.(2, 1) D.(T,2)【分析】根据题意，构造函数 g (x) =f (x) - 2= x5 x3 5x ,分析可得g (x)的奇偶性与单调 性，则f (a2) +f (a-2) 4可以转化为g (a2) - g (a-2),结合函数g (x)的奇偶性与单调性可 得a2+a- 24,贝U有 f ( a2) 2 f (a 2) - 2,即 g ( a2) - g (a- 2)；分析可得：g (a2) - g (a - 2) ? g (a2