复变函数与积分变换课程教案讲义

《复变与积分变换教案》第一次课1教学目标：使学生重温复数概念，熟练掌握复数及共轭下的运算法，了解复平面，学会运用复数的三角表示出理问题。2讲课段落：复数产生的背景，特点；平面向量和复数的关系；共轭复数的作用；三角表示；复方根求法；复数定义与平面向量变换的内在联系。3知识要点：，，4.例：例1-1设，求。例1-2设，求，例1-3设及为两个复数，试证：并用此等式证明三角不等式推导，当,当,当,例1-4求和6（较难）设则有例1-7试求的模和主幅角见解，相当于将向量｛0，1｝逆时针旋转度角，从而得到向量，而此向量对应复数，这也可解释为的根。求复数的四次方根。单位圆内接正边形的顶点的复数表示。《复变与积分变换教案》第二次课1教学目标：使学生熟练二维平面图形的复形式，熟练掌握复变函数的分量处理法，重温二元微积分，并赋以复的外衣而导出复变量，复数列，复变函数增量和复积分等知识。2讲课段落：平面曲线（定向）和区域；复变函数的分量处理法；二维平面图形的复形式；复变量，复数列，复变函数的极限和连续性；复变函数的增量；复积分定义和计算，复积分的性质。3知识要点：无重点的按段光滑闭曲线简称为简单闭曲线。数学上可证明任一条在平面上有确定的始端和终端的简单曲线是可求长的，特别是任一条简单闭曲线总是有有限长度的。对给定点和正数，称为的一个邻域。平面上的区域为可用折线连通的开集.本课程中经常出现的多连域为有限条简单闭曲线按以下方式围成的区域：设分别为的内部区域，满足(1),(2),,(3),。称此多连域为复围线围成的区域,即。也称为的边界。而数学上称即连同一起的集合为多连域的闭包，也记为。而复围线:的正向定义为，在上取逆时针方向，而在上都取顺时针方向。经变换，，得到Ｃ的复数表示若平面曲线参数方程为，，则其复数表示为，所以一个复变函数相当于两个二元函数，即4.例：例1-11求以为心，R为半径的圆周参数方程复数形式。例1-12考察平面上的曲线具有下列复数形式：，并给出该曲线实形式的代数方程。例1-13关于的映射特征的两种描述方法。例1-14的整体处理。例1-15证明在复平面上，除去原点和负实轴，都连续。例1-17（重要的常用例子）例1-18计算，其中为中心在实轴上的连接上半平面内两点的一段圆弧。《复变与积分变换教案》第3次课教学目标：讲解习题以巩固复变函数的基本知识。才是实数。设为自然数,是实数,但不是实数,求。证明由方程确定的曲线,是以两点为直径的端点的圆周。证明方程表示的是以为中心,1为半径的圆。下列条件的点组成的点集是什么?如果是区域,指明是有界的还是无界的,闭的还是开的,单连通的还是复连通的,并作图。已知映射,求点平面上的象;区域在平面上的象。设极限存在且有限,证明在点的某一邻域内是有界的。设在点连续,且。证明:存在点的某一邻域,使得在此邻域内恒不为零。《复变与积分变换教案》第四次课1教学目标：按一元微积分的方式引入复变函数导数的定义，必然涉及二元微分学，导致C-R条件的建立。理解解析函数的概念，掌握解析函数的充要条件。2讲课段落：复变函数导数的定义;复变函数小增量公式和C-R条件；解析函数的概念；判别解析函数的充要条件；3知识要点：Cauchy-Riemann条件：，设在一个区域Ｄ内有定义，若在内处处可导，称在解析。若存在，在内处处可导，称在解析。在一点解析的判别定理和一区域上的解析函数的判别设在区域内解析，并且,则；反函数求导公式：设在区域解析，且当时，，又设为的单值连续反函数，满足，则在区域解析，且有。4.例：例2-1．若在可导，则在连续。例2-2证明。例2-3在复平面上处处不可导。例2-4当且仅当可导。例2-5在复平面不解析。例2-6判别下列函数是否解析：（1）；（2）。例2-8求的导数。《复变与积分变换教案》第五次课1教学目标：复习解析函数的充要条件，引进复变初等函数。掌握基本初等函数的特性和运算方法。2讲课段落：；指数函数的几何特性；对数函数的多值性简介和单值分支函数的解析性；幂函数的各类情形的分析和单值分支的计算；三角函数的讨论；反三角函数3知识要点：;;(1).,;(2).设两个复数满足，，则有设，且，则对每个给定的，有4.例：例2-10求，以及与它们相应的主值。例2-12求。例2-13求的值。例2-14求的值。《复变与积分变换教案》第六次课1教学目标：为导出解析函数的高阶导数和Taylor公式，引进Cauchy积分定理和Cauchy积分公式。了解Cauchy积分定理基本思想和深刻含义，学会运用Cauchy积分公式计算复积分。2讲课段落：；Cauchy积分定理的背景，基本思想及其应用；多连通域的Cauchy积分定理证明Cauchy积分公式；运用Cauchy积分公式计算复积分；3知识要点：，;Cauchy积分定理：设为单连域，在内解析，为Ｄ内一条简单闭曲线，则有。其中：定向为始于终于的含于上半平面内的任一条简单曲线。;若在单连域Ｄ解析，则在内积分与路径无关。设为复围线围成的多连域内的一点，则有。4.例：计算复积分，其中：定向为始于终于的含于上半平面内的任一条简单曲线。计算复积分，其中：为单位圆上沿逆时针方向，始于终于的含于第一象限内的一段弧。计算复积分，其中为的正向。《复变与积分变换教案》第七次课1教学目标：导出解析函数的高阶导数，学会运用高阶导数公式计算复积分。2讲课段落：Cauchy积分高阶导数定理的背景；多连通域的Cauchy积分高阶导数定理运用高阶导数公式计算复积分。3知识要点：对每个自然数，在内定义函数则对，有对每个自然数，在内处处有阶导数，且对有由于，而高阶导数定理认定，一但解析则也解析，自然更有连续，从而可知都连续。设为单连域，在内连续，若对任一内简单闭曲线有，则在解析。《复变与积分变换教案》第八次课1教学目标：导出解析函数的Taylor级数，学会解析函数的Taylor级数展开的基本方法。2讲课段落：复级数，幂级数，Abel定理；导出解析函数的Taylor级数的准备；推导解析函数的Taylor级数3知识要点：收敛收敛；如果使得幂级数在上有个收敛点，则它在内处处绝对收敛；如果使得幂级数在上有个发散点，则它在处处发散。幂级数的收敛圆；幂级数的和函数的性质；幂级数在收敛圆内可逐项求导，可逐项积分；复变函数为Taylor级数展开的基本工具；在解析，，则在任一全含于内的的邻域（）内有（2-58）其中，对有《复变与积分变换教案》第九次课1教学目标：解析函数的Taylor级数的唯一性定理，间接展开的各种方法。2讲课段落：解析函数的Taylor级数揭示解析函数的内涵；解析函数的Taylor级数的唯一性定理；解析函数的Taylor级数的间接展开方法。3知识要点：初等函数的幂级数展开；揭示初等函数的解析函数的内涵；不论用什么方法得到的在的某邻域内的幂级数，其系数必为Taylor系数。解析函数的Taylor级数的间接形成的各种方法。《复变与积分变换教案》第10次课1教学目标：孤立奇点的定义，环域内解析函数的Laurent级数,间接展开的各种方法。2讲课段落：有限点处和无穷远处的孤立奇点；环域内解析函数的Laurent级数的推导；环域内解析函数的Laurent级数的特性；环域内解析函数的Laurent级数的间接展开方法。3知识要点：空心领域内的解析函数；圆周外区域内的解析函数；由环域内解析函数的柯西积分公式导出Laurent级数；给定解析函数在给定环域内的Laurent级数的唯一性；Laurent级数的间接展开方法；《复变与积分变换教案》第11次课1教学目标：孤立奇点的分类，解析函数的极点，各类孤立奇点的判别。2讲课段落：有限点处和无穷远处的孤立奇点分类；从Laurent级数的特性判别孤立奇点的类型；解析函数的极点的判别法。3知识要点：由空心领域内的解析函数的Laurent级数给出有限点处孤立奇点分类；由圆周外区域内的解析函数的Laurent级数给出有限点处孤立奇点分类；可去奇点和本性奇点；解析函数的极点的特征；解析函数的零点和极点的关系。《复变与积分变换教案》第12次课1教学目标：留数的定义，解析函数的留数定理，各类孤立奇点的留数的计算。2讲课段落：有限点处和无穷远处的孤立奇点的留数；解析函数的留数定理；可去奇点和本性奇点处的留数解析函数的极点处的留数。3知识要点：孤立奇点处的空心领域内的解析函数的Laurent级数的逐项积分；多连域的Cauchy积分定理的留数表示形式；可去奇点和本性奇点处的留数的特性描述；解析函数的极点处的留数的几个公式；解析函数的全部留数的和谐关系。《复变与积分变换教案》第13次课1教学目标：留数方法在计算复积分中的应用。定积分的围道积分方法。2讲课段落：有限点处和无穷远处的孤立奇点的留数在计算复积分中的应用；被积函数为有理函数复合三角函数型的定积分的围道积分方法；被积函数为有理函数的广义定积分的围道积分方法。3知识要点：极点处的留数的几个公式在计算复积分中的应用；无穷远处的孤立奇点的留数公式的介绍；无穷远处的孤立奇点的留数在计算复积分中的作用；围道积分的变量替换方法；围道积分的辅助围线的构造。《复变与积分变换教案》第14次课1教学目标：解析函数与调和函数的关系。求给定调和函数的共轭调和函数的方法。2讲课段落：解析函数和共轭调和函数；单连域内求给定调和函数的共轭调和函数的方法；由一对共轭调和函数导出一族解析函数；由解析函数的导数求调和函数的稳定点。3知识要点：证明解析函数的实、虚部都是调和函数；在单连域内由给定调和函数的第二类曲线积分表示其共轭调和函数；利用解析函数的导数公式由给定调和函数得到其共轭调和函数；利用解析函数的导数公式得到给定调和函数的稳定点。围道积分的辅助围线的构造。《复变与积分变换教案》第15次课1教学目标：解析函数导数的几何特性。保形映照的基本理论和方法。分式线性映照的分解和特性。2讲课段落：光滑曲线的定向，光滑曲线的夹角；解析函数非零导数的在光滑曲线映照中的不变量；保形映照的概念；括充复平面；解析函数在导数非零处的保形性；分式线性映照的基本认识。3知识要点：光滑曲线的方向的宏观定性分析和微观定量分析；两条光滑曲线的夹角的定量表示；解析函数非零导数的辐角和模在微观映照中的作用；解析函数在导数非零处的保形性；解析函数形成区域内保形映照的条件；分式线性映照的分拆；平移，旋转，拉伸和反演在括充复平面的保形性。《复变与积分变换教案》第16次课1