九年级数学专题复习观察、归纳型问题

1、中考冲刺：观察、归纳型问题【中考展望】主要通过观察、实验、归纳、类比等活动，探索事物的内在规律，考查学生的逻辑推理能力，一般 以解答题为主.归纳猜想型问题在中考中越来越被命题者所注重.这类题要求根据题目中的图形或者数字，分析归纳，直观地发现共同特征，或者发展变化的趋势， 据此去预测估计它的规律或者其他相关结论，使带有猜想性质的推断尽可能与现实情况相吻合，必要时 可以进行验证或者证明，以此体现出猜想的实际意义.【方法点拨】观察、归纳猜想型问题对考生的观察分析能力要求较高，经常以填空等形式出现，解题时要善于从 所提供的数字或图形信息中，寻找其共同之处，这个存在于个例中的共性，就是规律.其中蕴含着“

2、特 殊般一一特殊”的常用模式，体现了总结归纳的数学思想，这也正是人类认识新生事物的一般过程.相对而言，猜想结论型问题的难度较大些，具体题目往往是直观猜想与科学论证、具体应用的结合, 解题的方法也更为灵活多样：计算、验证、类比、比较、测量、绘图、移动等等，都能用到.考查知识分为两类：是数字或字母规律探索型问题；是几何图形中规律探索型问题.1 .数式归纳题型特点：通常给定一些数字、代数式、等式或不等式，然后观察猜想其中蕴含的规律，归纳出用 某一字母表示的能揭示其规律的代数式或按某些规律写出后而某一项的数或式子.解题策略：一般是先写出数或式的基本结构，然后通过横比(比较同一等式中不同部分的数量关系)

3、 或纵比(比较不同等式间相同位置的数量关系)找出各部分的特征，改写成要求的格式.2 .图形变化归纳题型特点：观察给定图形的摆放特点或变化规律，归纳出下一个图形的摆放特点或变化规律，或者 能用某一字母的代数式揭示出图形变化的个数、而积、周长等规律特点.解题策略：多方面、多角度进行观察比较得出图形个数、面积、周长等的通项，再分别取n=l, 2, 3代入验证，都符合时即为正确结论.由于猜想归纳本身就是一种重要的数学方法，也是人们探索发现新知的重要手段，非常有利于培养 创造性思维能力，所以备受命题专家的青睐，逐步成为中考的持续热点.【典型例题】例1. “数学王子”高斯从小就善于观察和思考.在他读小学时

4、就能在课堂上快速地计算出 1+2+3+98+99+100=5050,今天我们可以将高斯的做法归纳如下： 令 S=l+2+3+98+99+100S=100+99+98+3+2+1®+：有 2s=(1+100) X100 解得：S=5050 请类比以上做法，回答下列问题：若 n 为正整数，3+5+7+-+ (2n+l) =168,则"举一反三：【变式】如卜.数表是由从1开始的连续自然数组成，观察规律并完成各题的解答.1234§618910111213141516171819202122232425262728293031 .3233343536（1）表中第8行的最后一

5、个数是，它是自然数 的平方，第8行共有 个数：（2）用含A的代数式表示:第A行的第一个数是，最后一个数是，第A行共有 个数；（3）求第A行各数之和.例2.课题：两个重叠的正多边形，其中的一个绕着某一顶点旋转所形成的有关问题.实验与论证设旋转角NA盘3=（a VNAiAoA：）, %, % % 痣所表示的角如图所示.用含a的式子表示角的度数：2=， 4=，%=（2）如上图图中，连结时，在不添加其他辅助线的情况下，是否存在与直线垂直且被 它平分的线段？若存在，请选择其中的一个图给出证明：若不存在，请说明理由；归纳与猜想设正n边形AoAAAf_与正n边形AoB显Bn重合（其中,AJj重合），现将正n

6、边形AoBBs %(I go °、 0<a<I.（3）设必与上述“%，的意义一样，请直接写出a的度数：（4）试猜想在正n边形的情形下，是否存在与直线A°H垂直且被它平分的线段？若存在，请将这条线 段用相应的顶点字母表示出来（不要求证明）；若不存在，请说明理由.举一反三:【变式】长为20,宽为a的矩形纸片(10Va<20),如图那样折一下，剪下一个边长等于矩形宽度的正 方形(称为第一次操作)：再把剩下的矩形如图那样折一下，剪下一个边长等于此时矩形宽度的正方形 (称为第二次操作)；如此反复操作下去，若在第n次操作后，剩下的矩形为正方形，则操作停止.当 n=3时

7、，a的值为.【答案】解：由题意，可知当10<aV20时，第一次操作后剩下的矩形的长为a,宽为20-a,所以第二次操作时 正方形的边长为20-a,第二次操作以后剩下的矩形的两边分别为20-a, 2a-20.此时，分两种情况：如果20-a>2a-20,即aV40,那么第三次操作时正方形的边长为2a-20.则 2a-20= (20-a) - (2a-20),解得 a=12；如果20-aV2a-20,叩a>国，那么第三次操作时正方形的边长为20-a.3则 20* (2a-20) - (20-a),解得 a=15.当n=3时，a的值为12或15.故答案为：12或15.例3.用4个全等的

8、正八边形进行拼接，使相等的两个正八边形有一条公共边，围成一圈后中间形成一 个正方形，如图1，用n个全等的正六边形按这种方式进行拼接，如图2,若围成一圈后中间形成一个 正多边形，则n的值为.图1图2举一反三:【变式】观察下列砌钢管的横截而图:则第n个图的钢管数是.例4.已知在平而直角坐标系中放置了 5个如图所示的正方形（用阴影表示），点艮在y轴上且坐标是（0, 2）,点a、瓦、艮、G、E八E,、a在X轴上,a的坐标是（1, 0）, BCBq&c”以此继续下去，则 点至IJ X轴的距离是.例5.如图，从原点A开始，以AB=1为直径画半圆，记为第1个半圆；以BC=2为直径画半圆，记为第 2个

9、半圆：以CD=4为直径画半圆，记为第3个半圆：以DE=8为直径画半圆，记为第4个半圆；，按 此规律，继续画半圆，则第6个半圆的面积为 （结果保留/）.【巩固练习】一、选择题1 .如图，数轴上有一个质点从原点出发，沿数轴跳动，每次向正方向或负方向跳1个单位，经过5次跳动，质点落在表示数3的点上（允许重复过此点），则质点的不同运动方案共有（）A. 2种B. 3种C. 4种D. 5种2 .在平面坐标系中，正方形ABCD的位置如图所示，点A的坐标为（1, 0）,点D的坐标为（0, 2）,延长CB交x轴于点心 作正方形AICC, 行下去，第2012个正方形的而积为（5.201045. 4022 2延长C

10、B交x轴于点A二,作正方形A：B:C:Ci，按这样的规律进 ）3 .边长为a的等边三角形，记为第1个等边三角形，取其各边的三等分点，顺次连接得到一个正六边 形，记为第1个正六边形，取这个正六边形不相邻的三边中点，顺次连接又得到一个等边三角形，记为 第2个等边三角形，取其各边的三等分点，顺次连接又得到一个正六边形，记为第2个正六边形（如 图），按此方式依次操作，则第6个正六边形的边长为（）二、填空题4 .如图，线段AC=n+l （其中n为正整数），点B在线段AC上，在线段AC同侧作正方形ABMN及正方形 BCEF,连接AM、ME. EA得到AME.当AB=1时，AME的面积记为S,；当AB=2时

11、，ZkAME的面积记为 工；当AB=3时，ZkAME的面积记为当AB=n时，4AME的面积记为Sn.当n22时,SSh尸.5 .如图的平面直角坐标系中有一个正六边形ABCDEF,其中C、D的坐标分别为（1, 0）和（2, 0）.若 在无滑动的情况下，将这个六边形沿着X轴向右滚动，则在滚动过程中，这个六边形的顶点A、B、C、D、 E、F中，会过点（45, 2）的是点.6 .如图所示，在平面直角坐标系中，第一次将三角形OAB变换成三角形OAB,第二次将三角形OA瓜变 换成三角形0阳二.第三次将三角形OA捶变换成三角形OAB,已知A （1, 2）, A： （2, 2）, Ac （4, 2）,（1）观

12、察每次变换前后的三角形有何变化？找出规律再将三角形将OA3B3变换成三角形OA4B4,则A4的坐标是，B4的坐标是.（2）若按第（1 ）题找到的规律将三角形OAB进行n次变换,得到三角形OAnBn，推测An的坐标是, Bn的坐标是.三.解答题7 .在F图中，每个正方形由边长为1的小正方形组成:/?=1n=2二3n=4n=5n=6（1）观察图形，请填写下列表格:正方形边长1357 72 （奇数）蓝色小正方形个数 正方形边长2468 A （偶数）蓝色小正方形个数 （2）在边长为A "21）的正方形中，设蓝色小正方形的个数为R,白色小正方形的个数为巴，问 是否存在偶数m使P二5P：?若存在

13、，请写出a的值；若不存在，请说明理由.8 .定义：若某个图形可分割为若干个都与他相似的图形，则称这个图形是自相似图形.探究：一般地，“任意三角形都是自相似图形”，只要顺次连结三角形各边中点，则可将原三角形分割为 四个都与它自己相似的小三角形.我们把4DEF （图乙）第一次顺次连结各边中点所进行的分割，称为1 阶分割（如图1）;把1阶分割得出的4个三角形再分别顺次连结它的各边中点所进行的分割，称为2阶 分割（如图2）依次规则操作下去.n阶分割后得到的每一个小三角形都是全等三角形（n为正整数）, 设此时小三角形的面积为Sg若ADEF的面积为10000,当n为何值时，2<S.,<3?（请

14、用计算器进行探索，要求至少写出三次 的尝试估算过程）（2）当时，请写出一个反映S.，S, Sm,之间关系的等式（不必证明）.9 .定义：有三个内角相等的四边形叫三等角四边形.(1)三等角四边形ABCD中，ZA=ZB=ZC,求NA的取值范围：<2)如图，折卷平行四边形纸片DEBF,使顶点E, F分别落在边BE, BF上的点A, C处，折痕分别为 DG, DH.求证：四边形ABCD是三等角四边形.(3)三等角四边形ABCD中，ZA=ZB=ZC,若CB=CD=4,则当AD的长为何值时，AB的长最大，其最大 值是多少？并求此时对角线AC的长.10 .据我国古代周髀算经记载，公元前1120年商高对周公说，将一根直尺折成一个直角，两端连 结得一个直角三角形，如果勾是三、股是四，那么弦就等于五.后人概括为“勾三、股四、弦五”.观察：3, 4, 5； 5, 12, 13： 7, 24, 25：，发现这些勾股数的勾都是奇数，且从3起就没有间断过.计算,(9-1). - (9+1)与(2