上海闵行区2019-2020年高一上学期期末数学试题(解析版)

1、闵行区高一上期末数学试卷、填空题1 .函数f x a冈的定义域为【答案】1,1【解析】【详解】解析过程略2 .函数f XJ_X X 0的反函数是.2【答案】y x x 0【解析】【分析】根据反函数的定义，从原函数式中解出X,再进行X, y互换，即可得反函数的解析式.【详解】 y C x 0 ,则y> 0,22xyy0"x yy。，2_，将x , y互换，得y x x 0 .2故答案为：y x x 0 .【点睛】本题考查反函数的求法，要会求一些简单函数的反函数，掌握互为反函数的函数图象间的关系，属于基础题.3 .已知全集U x|x乙|x|, 3,集合A 2,0,1,2, B 2,

2、1,3,如图中阴影部分所表示的集合为.【答案】0,2,3【解析】求出全集 U x|x Z,|x|, 33, 2, 1,0,1,2,3 ， eUA 3, 1,3 ，eU B3, 1,0,2 ，图中阴影部分所表示的集合为A 痧 U B B U A .【详解】由题意得全集U x|x Z,| x|, 33, 2, 1,0,1,2,3 ，又集合 A2,0,1,2 ， B 2,1,3 ，所以，eUA3, 1,3 ， eU B 3, 1,0,2 ，故AI eU B0,2 ， B I eU A 3 ，所以，图中阴影部分所表示的集合为AI 痧 U B U B I U A 0,2,3 .故答案为：0,2,3 .【

3、点睛】本题考查集合的求法，考查交集、补集、Venn 图等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题4 .已知奇函数f(x)的定义域为R, f( 1) 3,那么f(0) f (1) .【答案】3【解析】【分析】根据奇函数的性质可知f 00，f 1 f 1 ，代入即可求解.【详解】由题意，f x 为 R 上的奇函数，则f 00 ， f 1 f 1 ，又 f 13，故 f 1 f 13，所以 f 0 f 10 33.故答案为：3 .【点睛】本题主要考查了利用奇函数的定义及性质求解函数值，属于基础题.5 .已知函数f (x) log 5 a2 X是增函数，则实数a的取值范围是 .【答案】( 2,2)【解析

4、】【分析】结合对数函数的单调性可知，5 a2 1，解不等式即可.【详解】由题意可得，5 a21 ，解得：2 a 2.故答案为： 2,2 .【点睛】本题主要考查了对数函数的单调性的应用，属于基础题6 .已知原命题的逆命题是：“若xy 0,则x2 y2 0 "，试判断原命题的否命题的真假 .（填“真” 或“假”）【答案】假【解析】【分析】原命题的逆命题与否命题互为逆否命题，它们的真假性相同，即只需判断原命题逆命题的真假性就可得出结论.【详解】原命题的逆命题是：“若 xy 0,则x2 y2 0”与原命题的否命题互为逆否命题，它们的真假 性相同，所以，只需要判断原命题的逆命题的真假即可，若x

5、y 0,则可能x 0, y 0,此时x2 y2 0,即原命题的逆命题是假命题，所以，原命题的否命题是假命题 .故答案为：假.【点睛】本题考查命题的真假关系，属于基础题8- 1 7.令 lg2a ,则用a表木lg- 3lg -的结果为52【答案】a 1【解析】【分析】利用对数的运算性质化简即可81【详解】lg- 31g 5 lg8 lg5 3lg2 3lg2 1 lg 2 3lg 2 lg 2 1 a 1.故答案为：a 1.【点睛】本题主要考查了对数的运算性质，属于基础题8 .已知函数f(x)是偶函数，当x 0时，f(x) x2 3x,则当x 0时，f(x) 【答案】x2 3x【解析】【分析】设

6、 x 0 ，则x 0 ，代入已知函数解析式，再结合偶函数的定义即可求解.【详解】由题意，当x 0 时， f x x2 3x，2设 x 0 ，则 x 0 ，此时 f x x 3 x x 3x ，又函数 f x 是偶函数，可得f x f x ，所以， f x x2 3x .故答案为：x2 3x .【点睛】本题主要考查了利用偶函数的定义求解函数解析式，属于基础题.9 . 2019 年度，国内某电信企业甲投入科研经费115 亿美元，国外一家电信企业乙投入科研经费156 亿美元，从 2020 年开始，若企业甲的科研经费每年增加x% ，计划用3 年时间超过企业乙的年投入量(假设企业乙每年的科研经费投入量不

7、变).请写出一个不等式来表达题目中所描述的数量关系：.(所列的不等式无需化简)【答案】115(1 x%)3 156【解析】【分析】3由题意可得：115 1 x% 156 .【详解】由题意，企业甲的科研经费每年增加x% ，用 3 年时间超过企业乙的年投入量，3所以，不等式表达题目的数量关系为：115 1 x% 3 156 .3故答案为：115 1 x% 156 .【点睛】本题主要考查了函数的实际运用，属于基础题.10 .已知函数 f (x) log2x,定义 f (x) f (x 1) f(x),则函数 F(x) f(x) f(x 1)的值域为【解析】【分析】根据题意以及对数的运算性质得出F x

8、从而可得出函数F x的值域.【详解】由题意，F x 2f x 1 f一x22x 11即 F x log 2 log 2 xxx1由题意知，x0,由基本不等式得x1x.11.log2x -2 ,进而可由基本不等式可得出x 24,xxx 2log 2 x 1log2 x ,2 ,2 'x 1 2 （当且仅当x 1时取等号），11八所以x-2 4 (当且仅当x 1时取等号)，即10g2 x-2xx所以F x的值域为2,故答案为：2,基本不等式的运用，考查了计算能力，属【点睛】本题考查了函数值域的定义及求法，对数的运算性质, 于基础题.a_11.已知f(x) |x 1| |x 1|, g(x)

9、 x 一，对于任意的m R,总存在x0 R,使得f址 m或 xg x0m ,则实数a的取值范围是 .【答案】(，1【解析】【分析】通过去掉绝对值符号，得到分段函数的解析式，求出值域，然后求解g x x -的值域，结合已知条件x推出a的范围即可.【详解】由题意，对于任意的 m R,总存在x0 R ,使得f x0m或g x0m ,则f x与g x的2,x 1值域的并集为R,又fx x 1 x 12x, 1x1,2,x1结合分段函数的性质可得，f X的值域为 2,2 ,当a 0时，可知gx x a的值域为，2 .a u 2ja,x所以，此时有2.3当a 0时，g xax -的值域为R ,满足题意,综

10、上所述，实数a范围为 ,1 .故答案为:,1 .【点睛】本题考查函数恒成立条件的转化,考查转化思想的应用，注意题意的理解是解题的关键，属于基0,A,A2,A3,L9019,它们的最小值都是0,，1函数值域中的最大值为：当 1 1kk 2019k1010时，此时x -X 11010所以，值域中的最大值中的最小值为20191010所以，AI A2 I A3I L I A2019A2010c 201920,2101022 20192故答案为：0,210102【点睛】本题考查二次函数的性质，函数的最值，考查分析问题解决问题的能力，涉及集合的交集计算, 属于基础题.二、选择题13 .已知a, b都是实数

11、，那么“ 3a 3b”是“ a3 b3”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】根据题意构造指数函数与募函数，利用函数的单调性结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可.【详解】对于“3a3b”，考查函数y=3x在R上单调递增，所以“3a3b”与“ a>b”等价;同样对于“ a3 b3”，考查函数y=x3在R上单调递增，所以“ a3 b3”与“ a>b”也等价； 所以“ 3a 3b”是“ a3 b3”的充要条件，故选C.【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据指数函数及备函数的单调性是解决本题的关键.14 .如

12、果 logX1 0.5 logx2 0.5 0,那么()A. 0 x2 X1 1 B. 0 Vxi <x2<1C. 1 X1 x2D. 1 x2 X1【答案】C【解析】【分析】直接利用对数解得即可.【详解】由 10gxi 0.5 log x2 0.5 0 ,得 x2 x1 1.故选：C.【点睛】本题考查对数函数的性质，属于基础题_ 2x 1 2x 1_15 .已知集合P x|,x R，则下列集合中与 P相等的是（）3x 2 3x 2A.2x 1x |3x 20,x RB. x|(2x 1)(3x 2) 0,x RC. x|y 1g 竺3x 2D. x|y , (2x 1)(3x 2

13、) (3x 2)0【解析】【分析】利用集合相等的定义即可判断【详解】集合Px|2x 13x 22x 1,x3x 2,2x 1 八x| 0 ,3x 2所以x| 2x1 3x 20 且 3x 2,故A、B选项不正确;选项C：x| y,2x 1lg3x 2,2x 1 x |3x 2选项D:x|y,(2x 1)(3x 2) (3x2)0x| 2x 1 3x 20 且 3x 2 0 ,故D选项正确.故选：D.【点睛】本题主要考查了集合相等的定义，属于基础题r ,116 .若 f x 1 7T当 x 0，1时，f(x)x ,若在区间(1,1内，g(x) f(x) m有两个零点，则实数m的取值范围是c 1A

14、. 0,2B.c 1C. 0, 一3D. 0,1先求函数的解析式，把在区间1,1内，函数gf x m有两个零点，转化为函数y f x与y m的图象由两个不同的交点,结合图象，即可求解.【详解】由题意知，当 x 1,0 ,则x 10,1 ,又因为当x 0,1时，f x x ,所以f x 1 x 1 ,所以f x1.1.rrr 1右"所以f xx,0 x y 1,1 x 1要使得在区间1,1内，函数g x f x m有两个零点,即函数y fx与y m的图象由两个不同的交点,在同一坐标系内作出两个函数的图象，如图所示,要使得两函数的图象有两个不同的交点，则实数m的取值范围是0故选D.【点睛

15、】本题主要考查了函数的解析式的求解，以及利用函数的零点问题求解参数的取值范围，其中解答 中正确求解函数的解析式，把函数的零点问题转化为两个函数的图象的交点问题，结合图象求解是解答关 键，着重考查了数形结合思想，以及转化思想的应用，属于中档试题.解答题17.已知函数f (x)【答案】单调递减,1,x.判断f(x)在( x证明见解析.,0)上的单调性，并给予证明直接利用单调性的定义，作差比较即可判断,0上单调递减.证明如下:设 x1x2f x1fx2x1x11一x2x21 x1x2x2 x1，xx2由 X1x2 0 ,则x2x10,x1x20 , 1x1x20 ,，1 xix2所以 x2 xi 0

16、,即 f xif x2 0,xx2故f x在 ,0上单调递减.【点睛】本题主要考查了单调性的定义在判断函数单调性中的应用，属于基础题，八一，118 已知集合 A x | 1 , B x| x 3a x a 20,a 1 .1 x(1)求集合A和B ;(2)若A B B ,求实数a的取值范围.1【答案】(1) A 0,1 , B ,3a U a 2,； (2), 2 U -,13【解析】【分析】(1 )利用不等式的性质即可求出集合 A和B ;(2)由A B B ,得A B ,解不等式组，进而得出实数 a的取值范围【详解】(1 )集合Ax|廿1 xx1 x|01 x因 a 1,则 3a a 2 ,

17、所以集合 B x x 3a x a 2)0,a 1x | x 3a 或 x a 2即集合 A 0,1 , B ,3a U a 2,(2)由(1)知，集合 A 0,1 , B,3a U a 2,由 A B B ,得 A B ,2,a 1 , a 1-1所以 或，解得-3a 1 a 2 03 .1故实数a的取值范围为，2 U 1,13【点睛】本题考查集合、实数的取值范围的求法，考查交集、并集定义等基础知识，考查运算求解能力, 属于基础题.19.自2019年春季以来，在非洲猪瘟、环保禁养、上行周期等因素形成的共振条件下，猪肉价格连续暴涨某养猪企业为了抓住契机，决定扩大再生产，根据以往的养猪经验预估:

18、在近期的一个养猪周期内，每养x百头猪(5x 15),所需固定成本为20万元，其它为变动成本：每养1百头猪，需要成本14万元，根据市场预测,销售收入 F(x)(万元)与x (百头)满足如下的函数关系:F(x)30x 40,2x2 40x 40,(5 x 10)、 人一，(注：一个养猪周期内的总利润(10 x 15)R(x)(万元)=销售收入-固定成本-变动成本).(1)试把总利润 R(x)(万元)表示成变量 x (百头)的函数;(2)当x (百头)为何值时，该企业所获得的利润最大，并求出最大利润【答案】(1) R(x)16x 60,26x 60, (10(5登 K 10);(2) x 13,最大

19、利润为109万元.x, 15)(1)根据题意即可求出函数R x 解析式;(2)分段求出最大值，再比较即可求出当x13时，该企业所获得的利润最大，从而求出最大利润【详解】(1)由题意可得：F (x)30x40,10所以，总利润R x F x14x(2)当 5 x 10时，R16x当 10 x 15 时，R x2040x 40,10 x152x 26x 60,综上所述，当x 13时，该企业所获得的利润最【点睛】本题主要考查了函数的实际运用，属于基20.设A是由满足以下性质的函数f (x)构成的不等式1 f x1f x2f x1x2都2260,当2621316xx2 260,取大利润为5 x 10取

20、大值为109,109万元.义域内的任意两个不相10 x,-R x的值最大(1)已知函数g(x) 2x 1 ,求g(x)的反函数g 1(x),并指出g 1(x)的定义域;(2)试判断(1)中的函数g(x)与g 1(x)是否属于集合 A,并说明理由；(3)设h(x) A,且h x的定义域为(0,)，值域为(2,5),h(1) 7，试写出一个满足条件的函数h(x)的解析式(不用分段函数表示，不需要说明理由)【答案】(1) g 1(x) log2(x 1),x 1 (2) g 1(x) A；详见解析(3) y2,x 0.(答案不 3x 2唯一)【解析】【分析】(1)利用反函数的定义直接求出即可；(2)

21、根据题意，利用作差比较法判断即可；(3)根据题意，答案不唯一，满足条件即可.【详解】(1)由题意,g(x) 2x 1 ,即 y 2x 1,得 y 1 ,所以x log 2 y 1 , y 1 ,故g 1 x 10g 2 x 1 ,其定义域为 1,(2)对于g(x):任取x1,x2 R且x1 x2 ,则222等，1 x1 x21 xxg K g x2g 2% 12 2 12 22/ xl x221 2y 2y 0 , 21 x xo即 一 g xg x2g ,g(x) A;2 2x x22，11 v v _ 2x1 2 x22x x22 2 丁对于g 1(x)：任取x保(1,)且 x1x2 ,则

22、 x110,x2 1 0,2 1 0,2241 Xx21x1 x2 .g - 10g2 X 110g2 x2 110g2 1222210g2x1 1 x2 1x1x2210g2陷x12x1x2x2x1 x212X1X24XiX21X1X2XiX22X1X24且 X1X2X1X2XiX2(3)X1X2X1X212X1X2X1X2X11gX2X21X1X2,g1(x)A；2,x1 X1X2g -0,- 八 60；y 2,x 0.(答案不唯一)3x 2【点睛】本题考查函数与反函数的关系，判断不等式的大小关系，属于中档题21.已知函数f(X) 121，(a是常数).2X a(1)若a 1 ,求函数f

23、(x)的值域;(2)若f (x)为奇函数,求实数 a.并证明f x的图像始终在g(x) 2X1 1的图像的下方;(3)设函数h(x)f(x),若对任意 x1, x2, x30,1,以 h x1,h X2 ,h X3为边长总可以构成三角形，求a的取值范围.【答案】(1) ( 1,1) (2) a证明见解析(3) a (, 3(.2,)(1 )把a 1代入后反解可得y 12X2a,利用换元法转化为(2)直接利用奇函数的定义代入即可求解，利用作差法即可证明结论;2(3)由题意可得2h(x)min h(x)max , 结合 h( x) 1f(x) 12y t a , t 1,2 ,再结合二次函数的性质即可 421，【详解】(1)由题意，f(x) 1 一(a是常数)， 2- 0,解分式不等式即可; ar , , ,2x - 1当a 1时，此时f (x) = 212 +12x1 也 x21 ,整理可得22x1yyvy 1因 2x0 ,则0 ,即 y 1 y 10 ,y 1解得