§5.2求导法则分析

1、第五率导数和微分§2求导法则数学分析电子教案§2求导法则【教学目的】 熟悉导数的运算性质和求导法则，牢记基本初等函数的导数公式，并在熟记基本初等函数导 数公式的基础上综合运用这些法则与方法熟练准确地求出初等函数的导数。【教学重点】 导数的四则运算法则、复合函数求导法则、反函数求导法；【教学难点】复合函数求导法则及复合函数导数的计算。引言数学分析的基本运算之一就是求导运算，为了能够迅速、简便而又准确的求出一个函数的导数，只 依靠定义是远远不够的。为此，本节课我们介绍导数的四则运算，反函数、复合函数的求导法则，并由 此推出基本初等函数的导数作为公式。这样我们就可以利用这些公式以

2、及求导法则较为容易的求出复杂 函数的导数。一、导数的四则运算1 .力口、减运算定理5.5若函数“(X)、y(x)在点X可导，则函数/(x) = (x)±u(x)在点X可导，且/(X)= M (x)+v(X)即(X)±P(X) = w (x)+v(X).证明:f (x) = lim “3w(x + Ax)+v(x + Ax)-zr(x)+v(x)Ar11m (1 + 21¥)-(X)+ 时 P(X + Av)一心,) =ll (x)+v (x)推论：Wj (x) + u2(x) + ,+ ”(%) =u (x) + ll2 (x) + + ； (x).2 .乘积运算

3、定理5.6若函数(x)、p(x)在点x可导，则函数/(x) = (x)u(x)在点x可导，且f(X)= U (x)v(x) + M(X)V (x),即(K)U(X) = U(X)V(X)+ M(X)V(X).证明：/ *) = lim，心+ Z)(-(x)3) Avv u(x + Av) v(x + Ax) - u(x) v(x + Av) + u(x) v(x + Av) - u(x) - v(x)=lim soAv.+Av)-w(x) / A、 /、v(x + Ax) - v(x)=lim - v(x + At) + lim w(x) AvatAx =u (x)v(x) + u(x)v (

4、x)利用数学归纳法可将此结论推广：推论：鼠(I)% (戈)(幻=«1(X)%(为)(工)+ %(幻2(X)%(X)+ + / J)%(X) (X) 卜(刈=CU M ( C为常数)例L设函数/(x) = cosxlnx,求/(4).解 f (x) = (cosxln x) = (cosx) In x + cosx(ln x) = -sinxhi x + cosx x所以/'() = 1.万3 ,商运算定理5.7若函数(x)、Wx)在点工可导，且做幻工0,则函数/(幻="？在点不可导，且 v(x)尸/八 _ " (X)心)-(枷(X) HH“幻"C

5、T -'即(x) u (x)v(x) - u(x)v (x)v(x)2第5页共8页Y(x)r v(x + Ar) - v(x)=iim AMAv1_ u(x)v(x + zkv)v(x) v(x)2再由乘积运算法则有:f '(x) = (x) = H (x)! + u(x)-k 心)v(x)vGv)G(X)2 u (x)v(x) - u(x)v (x)例2.求以下函数的导数(1) secx： (2) cscx ；(3) tanx；(4) cotx.解：Y ( 1 O-(-sinx)secx) = = secxtan x ；COSX) COS- X八、/(1 1 O-cosx(2

6、) (CSCX)=i ； =s= -cscxcotx ：ksinx； sin' x八、/ y (sinx cos2 x-(-sin2 x) ，(3) (tanx) = i = = sec*( cosxjcos" x(4)(cotx)=cosx-sin2 x-cos2 x , = -esc- x sirr x证明：先证g(x)=一在点x可导，且有g(x) =V(x)1 1g (X); lun g-=liin 心7 一心35) zkrzkv于是我们得到：(tanx) = sec2 x ； (cotx) = "esc2 x ； (secx) = seextanx ： (e

7、sex) = -cscxcotx.上节我们还得到过结果：(。)=0： (sinx) =cosx； (cosx) =-sinx ； (lognA)=-logfl x =-. XX以上结果需要熟记！以后可直接应用。二、反函数的导数为了得到对数函数的反函数一指数函数以及三角函数的反函数一反三角函数的求导公式，我们先证明反函数求导公式：定理5.8设函数y = /(x)为函数x = °(y)的反函数，若例)，)在点y的某邻域内连续，严格单调且9Ie(y)w。，则/(x)在点x(x = 9(y)可导，且/(x) = (P ()')证明：设 Ax =(py + Ay)-(p(y), Aj

8、= /(x + Ax)- f(x),叭y)在点y的某邻域内连续且严格单调/.其反函数y = /(x)在点x的某邻域内连续且严格单调从而有 0 0 Ar - 0 , W 0 o Av H 0,于是. f (x) = Inn =Inn =a j。Axr AxInn*T)Av例3.求指数函数y = 1(。0,awl)的导数。解：指数函数y = "(xeR)为对数函数工=1。8。N)*(0,+8)的反函数，所以(aA)= yn a = a x hi a , 即)=a ' In a.(bgQ) Ilog e .-y a例4.求下列函数的导数(1) arcsinx： (2) arccos

9、x ；(3) arckirtr ；(4) arc cot x.解：(1)由于函数旷= arcsinx(xe (一11)是函数x = siny(y e (一二)的反函数，所以 2 21 1 1(arcsiiix)=-=；、=；(sm y) cosy %/l-sin2y Vl-x(2)由于函数旷= arccosx(xc(11)是函数x = cosy(y e(0,1)的反函数，所以、， 11 1 1(arccov) =- = ；一=一一，、 =一心(一1,1);(cosy) sinyJl cos2 yVl-x2(3)由于函数y = arctanx(xe R)是函数x = tan y(y e (f,彳

10、)的反函数，所以 2 2*皿)=- =-(tan y) sec y 1 +tan- y-,xe(-co,+<z>)：1 +厂(4)由于函数y = arccotx(x e R)是函数x = coty(y e (0,)的反函数，所以 2(arccotx) = =- = - = -e (y>,+oo).(coty) -esc- y 1 + cof y 1 +厂于是我们又得到公式：(arcsin x) = ,1：(arccosx)= ,1：(arctanx) = -； (arccotx) = -Vl-X2Vl-X2 1 +r 7.三、复合函数的导数最后我们再来讨论复合函数的求导法则，

11、为得到复合函数求导公式，先引入如下引理:引理/(X)在点用可导O在点/的某邻域U(Xo)内存在在点孔连续的函数"(X),使得/'(X)- /(%) = H(x)(x-X。)，从而/(Xo) = H(%).证明：必要性设/(X)在点八可导，即/ *,。)存在,/(幻一/(%) 令 "(x) = < x-x0,/'(%)xet/°(x0)贝ij lim H(x) = limXT"=f (x。) = H (x。)，所以函数”(x)在点孔连续且有/(X)- f(x() ) = H(x)(x - x0).充分性设函数"(x), x

12、e U(x()在点用连续且有/(x)-/(x() = (x)(x-Xo)所以 lim 11_' C。)= lim H(x) =-sx - x。-"定理5.9若函数 = p(x)在点/可导,函数y = /()在点0 =夕(%)可导，则复合函数y = f (.r)在点X。可导,且(/(.)=f (0)0(的).证明：因函数)，= /()在点。可导，由引理知存在在点。连续的函数/()，使得/(姓)一/()=/()(-0)且/ (0)=/(0)，11 £U(o) 第五率导数和微分§2求导法则数学分析电子教案又因函数 = 0")在点与可导，同样由引理知存在

13、在点 A-o 连续的函数 X),使得(px-夕(与)=O(x)(x - )且 / (%) = 0(X(). x e U (%)于是得：/(夕。)一/(8(%0)=尸3(x)XU(x)-。(%) = F(9(x)，(x)(x-Xo)由于9(x)在/连续，尸()在° =夕(%)连续，所以尸(例©)在点连续(复合函数连续性)，而。(X)在与连续，从而")=/(夕(X)/(K)在X。连续，于是由引理便知/(奴x)在点 与 可导，且有(/(奴X) = "(，) =尸(。(.)欢) = F(w0)x0) =(玉).说明：(1)若y = /()，U =(p(x),则复

14、合函数y = /3(x)的导数为y =f()9(x),或者写成 dy dy du , = , . , dx du dx注意/'“(x)=f()，与(/“(X)=/(奴%)。)写法与含义的区别：U-X )如丁 = /()= /，=e(x) = 2x则：/'(例 x) = (iJ)|=2w|=4x,而(/"") = / (°(x),夕(x) = 4x .(2x) =8x：l"=2x(3)多个复合函数求导法则:y = f(ii), u =(p(y) , v = %(x),则复合函数y = /(*(x)的导数虫=空也也；dx du dv dx(4

15、)对复合函数求导的结果我们一般应用最终自变量(如以上的X)表示。例5.求暮函数丁 = (2£凡工0)的导数。解：塞函数)，=，/=6加” =e"nx可看成函数), = *与=1n E复合而成，由复合函数求导法则有仔)=火也=&) .(aInA-)j Y = ax-'.v 7 du dx - ''% 工于是得到：四、基本求导法则与公式通过上面的讨论，我们得到了函数四则运算的导数，反函数与复合函数的导数以及基本初等函数 的导致，把这些结论归结如下，作为基本求导法则与求导公式，我们必须熟记，并可以直接应用它们， 求出以下比较复杂函数的导数。基本求导

16、法则和、差：(土U)= 11 ±V :积：(11V)= ll V + UV i 商：( u , ll V - MVvjV"反函数：dy _ 1 dx dx 'dy复合函数:dy dxdy du z . .r . .du dx基本求导公式（c） =。（C为常数）；Qa）=gaT （e为任意实数）(，)=4一/)="心)=xln3=J(sinx) =cosx,(cosx) =-sinx,(tan x) = sec2 x.(cotx) -esc2 X,(secx) = sec x tan x.(cscx) = "cscxcotx; (arcs in x

17、)=,1VI-x2,(arccos x) = 一 / 1,(arctanx) =(a/rcotx) =一!r 1 +厂1 +厂1.2.例6.求以下各函数的导数(1) y = 10+5x" -4x + 5 ：(2) y = sinx2 ；(3) y = tan2 ：(4) y = (arctan) ；x(5) y =(ccot匕二(6) y = ln(x+Vl + x2):(7) y = ylx + yx + yfx .l-x解： y =10(x3) +5(x-2) -4(x) +O = 3Ox2 -10x-4：(2)设)'=sinu.u = x2,贝i虫=心色=(sinn)

18、-(x2) = cosw -2x = 2xcosx2 ： dx du dx(3)设 y = u2, u = tanu, v = > 则x虫=生 也也=任)Hny) .仕=2 . sec2 v -±1 =-Atanlsec21dx du dv dx x) 厂 J 厂 x x(4)设y = = arctam>, v = x ,则dy dy du dv ( ( Y / 3、 c 1、 ，6x23 = (arctan v) - lx I = 2ur - 3厂 =arctan x ：dx du dv dx1 + + x(5)设 y = arccotu， it =-,则1 -%空=空

19、出=时.(匕a=J.(dx du dx.-x)1 + z,r ；(1-x)"1 2 一 21(1 + xY (I%): (1X) +(1+X)-1 + 厂1+I(1 X Jdu du dv= dx dv dx（6）先设辽=Jl + X2，来求，为此设 =N, y=l + /,则 dx (1 + x2) =-v 2 - 2x = , A2y/ + X2I'c，vX+li+X2 i1Jl + x2再设 y = lnw, w = x + u, w = vl + x2 ,来求，则civ dy dw /. v 八 du x1=(In w) (1 d)=dx dw dxdx w（7）当我们对复合函数运算法则熟悉以后，书写过程中的中间变量可不必写出。如此题:11 + 2yjx2八+4lxyjx + lx + 2x + 1 4xyjx + Jx + 2yx + 1+ x + 2 jc+1，求/'(0)