[考研类试卷]考研数学一(常微分方程)历年真题试卷汇编1.doc

1、考研类试卷考研数学一（常微分方程）历年真题试卷汇编 1一、选择题卜列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求1 （1998年）已知函数y=y（x）在任意点x处的增量 1十工且当Ax-O时, a是Ax的高阶无穷小，y（0）=兀，则y（1）等于（）(A) 2九(B)九(C)或(D) M2(2016年)若 =(1+,)'一 4十：，y =(1 +/十”十.是微分方程y' +p(x)y=q(烦两个解，则 q(x)=()2(A) 3x(1+x2)2、(B) 3x(1+x2)(C) u /JC3 （2008年）在下列微分方程中，以 y=C1ex+C2cos2x+C3sin2x（C1,

2、 C2, C3为任意常数） 为通解的是（）(A) y" ' +y"4y' 4y=0(B) y" ' +y"+4y ' +4y=0(C) y" -y" 4y' +4y=0(D) y" - y"+4y '- 4y=0 iiV >Si(工 gJ4 (2015年)设.23是二阶常系数非齐次线性微分方程y"+ay ' +by力的一个特解,则()(A) a=- 3, b=2, c= 1(B) a=3, b=2, c=1(C) a=- 3, b=2, c=1

3、(D) a=3, b=2, c=1二、填空题t >(1 - Jr)y = 5 (2006年)微分方程1 的通解是6 (2008年)微分方程xy' +y=O足条件y(1)=1的解是y=7 (2014 年)微分方程 xy ' +y(lnx lny)=0 满足 y(1)=e3 的解为 y=。y八，八、灯 ,iL y(l)& L、,8 (2005年)微分万程xy +2y=zln病足§的解为9 (2011年)微分方程y' +y=feosx满足条件y(0)=0的解为y=。10 (2000年)微分方程xy"+3y'=的通解为11 (2002年

4、)微分万程xy"+y =0满足初始条件5口 的特解是12 （1999 年）y" 4y=e2x 的通解为 y=。13 （2001年）设y=ex（Cisinx+C2Cosx）（Ci, C2为任意常数）为某二阶常系数线性齐次微 分方程的通解，则该方程为。14 （2007年）二阶常系数非齐次线性方程y" 4y' +3y=2fe的通解为y=0 15 （2009年）若二阶常系数齐次线性微分方程 y"+ay ' +by=0通解为y=（C+C2x）ex, 则非齐次方程y"+ay ' +by=x|足条件y（0）=2, y' （0）

5、=的解为y=。16 (2012 年)若函数 f(x)满足方程 f"(x)+f'2f(x)=0 及 f ' (x)+f(z)=2e 则f(x)=。17 (2016年)设函数 f(u , v)可微，z=z(x, y)由方程(x+1)zy2=x2f(xz, y)确定，则 dz|(0.1)=o 18 （2017年）微分方程y"+2y ' +3y=0通解为。19 （2013年）已知 y1=e3xxe2x, y2=ex xe2x, 丫3=xe2x是某二阶常系数非齐次线性微分方程的三个解，则该方程的通解为y=jr? + 4_r+ 2y => U）20 （20

6、04年）欧拉方程dr?的通解为。三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。21 （2010年）求微分方程y" 3y' +2y=2xe勺通解。22 （2003年）设函数 y=y（x）在（一oo, +oo内具有二阶导数，且 y'手 Ox=x（y） M y=y（x）* + + 傍 1 = 0的反函数。（I）试将x=x（y）所满足的微分方程531 变换为y=y(z)满足的微分方程；(n)求变换后的微分方程满足初始条件y(0)=0,y(0)-2的解。满足等式23 (2006年)设函数f(u)在(0, +8内具有二阶导数，且(I)验证(H)若 f(1)=0, f '

7、; (1)=1 求函数 f(u)的表达式。24 (2012年)已知曲线L:fx = fit),t y = Bsf其中函数f具有连续导数，且 f(0)=0,'2 /若曲线L的切线与x轴的交点到切点的距离包为1,求函数f的表达式，并求以曲线L及x轴和y轴为边界的区域的面 积。25 (2014年)设函数f(u)具有二阶连续导数，z=f(excosy)满足二 4-汇？°工=(4z+excosy)e2xo 若 f(0)=0, f' (0)=0求 f(u)的表达式26 (2015年)设函数f(x)在定义域I上的导数大于零，若对任意的x0 I,由线y=f(x)在点(x0, f(x0

8、)处的切线与直线x=x0及x轴所围成区域的面积包为4,且f(0)=2, 求f(x)的表达式。27 (1999年)设函数y(x)(x >R)价可导，且y' (x)0, y(0)=1。过曲线y=y(x)上任意 一点P(x, y)作该曲线白切线及x轴的垂线，上述两直线与x轴所围成的三角形的 面积记为$,区间0, x上以y=y(x)为曲边的曲边梯形面积记为 S2,并设2S1 S2 恒为1,求此曲线y=y(x)的方程。28 (1998年)从船上向海中沉放某种探测仪器，按探测要求，需确定仪器的下沉深 度y(从海平面算起)与下沉速度v之间的函数关系。设仪器在重力作用下，从海平 面由静止开始铅直下沉，在下沉过程中还受到阻力和浮力的作用。设仪器的质量为 m,体积为B,海水比重为 伍仪器所受的阻力与下沉速度成正比，比例系数为 k(k>0)。试建立y与v所满足的微分方程，并求出函数关系式 y=y(v)。答案见麦多课文库29 （2004年 ）某种飞机在机场降落时，为了减少滑行距离，在触地的瞬间，飞机尾部张开减速伞，以增大阻力，使飞机迅速减速并停下来。现有一