《2.2.2反证法》导学案4

1、222反证法导学案4课前预习学案一、预习目标：使学生了解反证法的基本原理；掌握运用反证法的一般步骤；学会用反证法证明一些 典型问题.二、预习内容：提出问题：问题1桌面上有3枚正面朝上的硬币，每次用双手同时翻转 2枚硬币，那么无论怎么 翻转，都不能使硬币全部反面朝上。你能解释这种现象吗？学生尝试用直接证明的方法解释。采用反证法证明：假设经过若干次翻转可以使硬币全部反面向上，由于每枚硬币从正面朝上变为反面朝上都需要翻转奇数次，所以3枚硬币全部反面朝上时，需要翻转3个奇数之和次，即要翻转奇数次.但由于每次用双手同时翻转 2枚硬币，3枚硬币被翻转的次数 只能是2的倍数，即偶数次这个矛盾说明假设错误，原

2、结论正确，即无论怎样翻转都不 能使3枚硬币全部反面朝上.问题2: A B、C三个人，A说B撒谎，B说C撒谎，C说A B都撒谎。则C必定是在 撒谎，为什么？分析：假设C没有撒谎,则C真那么A假且B假；由A假，知B真.这与B假矛盾.那么 假设C没有撒谎不成立；则C必定是在撒谎推进新课在解决某些数学问题时，我们会不自觉地使用反证法反证法是一种间接证法，它是先提出一个与命题的结论相反的假设，然后，从这个假设出发，经过正确的推理，导致矛盾，从而否定相反的假设， 达到肯定原命题正确的一种方法。三、提出疑惑同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中疑惑点疑惑内容课内探究学案一、学习目标

3、(1) 使学生了解反证法的基本原理；(2 )掌握运用反证法的一般步骤；(3)学会用反证法证明一些典型问题 二、学习过程：例1、已知直线a, b和平面，如果a二，b =,且a | b，求证a|。解析：让学生理解反证法的严密性和合理性;证明：因为a|b,所以经过直线a , b 确定一个平面1。因为a二：，而a :, 所以:与1是两个不同的平面.因为b -:，且b ',所以Plb.下面用反证法证明直线 a与平面没有公共点.假设直线 a与平面有公共点P，则 P，小一b , 即点P是直线a与b的公共点，这与a|b矛盾所以 a|a.点评：用反证法的基本步骤：第一步 分清欲证不等式所涉及到的条件和结

4、论;第二步 作出与所证不等式相反的假定;第三步 从条件和假定出发，应用证确的推理方法，推出矛盾结果；第四步 断定产生矛盾结果的原因，在于开始所作的假定不正确，于是原证不等变式训练1.求证：圆的两条不全是直径的相交弦不能互相平分例2、求证：2不是有理数解析：直接证明一个数是无理数比较困难，我们米用反证法假设、.2不是无理数，那m*么它就是有理数我们知道，任一有理数都可以写成形如（m,n互质， mZ,nN ”n的形式下面我们看看能否由此推出矛盾.证明：假设 2不是无理数，那么它就是有理数于是，存在互质的正整数m,n，使得.2 =，从而有 m= 2n,n因此，m2 =2 n2,所以m为偶数于是可设

5、m =2k （ k 是正整数），从而有4k2 =2n2，即n2 =2k2所以n也为偶数这与 m,n 互质矛盾！由上述矛盾可知假设错误，从而2是无理数.点评：反证法是一种间接证法， 它是先提出一个与命题的结论相反的假设，然后，从这个假设出发，经过正确的推理，导致矛盾，从而否定相反的假设，达到肯定原命题正确的一种方法。变式训练2、已知a b 0 ,求证：n a n b （ n，N且n J）例3、设二次函数 f(x)=x?+px + q, 求证：f(1),|f(2), f(3) 中至少有一个不小于1.1解析：直接证明f(1), f (2), f (3)中至少有一个不小于1比较困难，我们应采用反证2证

6、明：假设f(1), f (2), f (3)都小于(1)f(1)|+2|f(2)|+|f(3)|<2.另一方面，由绝对值不等式的性质，有f(1)|+2|f(2)|+|f(3)|A|f(1)2f(2)+ f(3)|=(1 p q) -2(4 2p q) (9 3p q 2(1 )、( 2)两式的结果矛盾，所以假设不成立，原来的结论正确。点评：结论为“至少”、“至多”等时，我们应考虑用反证法解决。变式训练 3、设 0 < a, b, c < 1，求证：(1 - a)b, (1b)c, (1- c)a,不可能同1时大于一4反思总结:1. 反证法的基本步骤：(1) 假设命题结论不成立

7、，即假设结论的反面成立；(2 )从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾;_(3 )从矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确2. 归缪矛盾：(1) 与已知条件矛盾；(2) 与已有公理、定理、定义矛盾；(3) 自相矛盾。3. 应用反证法的情形：(1) 直接证明困难；(2) 需分成很多类进行讨论；(3) 结论为“至少”、“至多”、“有无穷多个”类命题；(4结论为“唯一”类命题；当堂检测：1. 证明.3, 5,. 7不可能成等差数列.2设 a3 b3 =2，求证 a 2.证明：假设a b 2，则有a 2 - b，从而a38-12b 6b2 -b3,3322a b 6b -12b 8=6(b -1)

8、2.因为6(b -1)2 2 一2，所以a3 b3 2 ,这与题设条件a3 b3 = 2矛盾，所以,原不等式a - b 一 2成立。课后练习与提高一、选择题1.用反证法证明命题：若整系数一元二次方程ax2 bx 0(=0)有有理根，那么a, b, c中至少有一个是偶数时，下列假设中正确的是()A. 假设a, b, c都是偶数E.假设a, b, c都不是偶数C. 假设a, b, c至多有一个是偶数D. 假设a, b, c至多有两个是偶数2. (1)已知p3 q3 =2，求证p q < 2，用反证法证明时，可假设 p q > 2 , (2) 已知a, b R , a b ：:1，求证方

9、程x2 ax= 0的两根的绝对值都小于1 .用反证法证明时可假设方程有一根 为的绝对值大于或等于1,即假设Xi > 1 ,以下结论正确的是()A. 与的假设都错误B. (1)与的假设都正确C. (1)的假设正确；(2)的假设错误D. (1)的假设错误；(2)的假设正确3命题“三角形中最多只有一个内角是钝角”的结论的否定是()A.有两个内角是钝角B.有三个内角是钝角C.至少有两个内角是钝角D.没有一个内角是钝角二、填空题4.三角形ABC中，/ A / B,/ C至少有1个大于或等于60，的反面为 .5. 已知A为平面BCD外的一点，则 AB CD是异面直线的反面为 .三、解答题6 .已知实数 a, b, c, d满足a，b=c，d=1 , ac亠bd 1，求证a, b, c, d中至少有一个是负数.A,Z B,Z C都小于60c, d中至少有一个是负数.参考答案：1. B 2. D 3. C 4.三角形ABC中，/5. .AB