《1.1.3导数的几何意义》同步练习1

1、导数的几何意义同步练习基础巩固训练一、选择题(每小题3分，共18分)1. (2014 衡水高二检测)若曲线y=f(x)在点(X。，f(xo)处的切线方程为2x+y+1=0，则( )A. fz ( xo)> 0B. f' (Xo)=OC. f' ( xo)< 0D.f' (X。)不存在【解题指南】曲线在点 x=xo处的导数，即为切线的斜率.【解析】选C.切线的方程为2x+y+1=0，即y=-2x-1，斜率为-2，故曲线在x=x。处的导数 为-2，即 f' (x0)=- 2<0.2. 设曲线y=x2在点P处的切线斜率为3,则点P的坐标为()B.(-

2、 3, 9)A.( 3, 9)【解题指南】设出点P的坐标，求出导函数，利用曲线在切点处的导数值是切线的斜率 列出方程求出点P.【解析】选C.设P(x, y),根据定义，可求得其导数y' =2x,令2x=3,得x=，所以P ',故选C.3. 曲线y=4x- x3在点(-1, -3)处的切线方程是()A. y=7x+4B.y=7x+2C. y=x-4D. y=x- 2【解析】选D.=1+3A x- ( X)2,所以切线斜率k=1,Ax切线方程为y=x-2，故选D.4. ( 2014 银川高二检测)若曲线f( x)= x2的一条切线I与直线x+4y-8=0垂直，则I的方程为( )A.

3、 4x- y-4=0B. x+4y- 5=0C. 4x- y+3=0D. x+4y+3=0【解析】选A.根据定义可求导数f' (x)=2x，则2x=4, x=2 ；切点(2, 4)，切线斜率k=4, 所以I的方程为4x-y-4=0，故选A.【误区警示】此题易把切线的斜率和垂线的斜率混淆而造成错误5. 曲线y=x3在点(1, 1)处的切线与x轴、直线x=2所围成的三角形的面积为( )4SS4A.B. C. 一D.3939【解析】选C.根据定义可求得y' =3x2, y' |x=i=3，切线方程为3x-y-2=0,与x轴的交点 坐标为八.厂：，与x=2的交点坐标为（2, 4

4、），围成三角形面积为=X： 二：i X 4*.6. （ 2014 广州高二检测）在函数y=x3-9x的图象上，满足在该点处的切线的倾斜角小于,且横、纵坐标都为整数的点的个数是（）A. 0B. 1C.2D. 3【解析】选A.根据导数定义求得，y' =3x2-9,2 10令0w y' <1 得3< x2<,显然满足该不等式的整数 x 不存在，r因此在函数y=x3-9x的图象上，满足在该点处的切线的倾斜角小于，且横、纵坐标都4为整数的点的个数是 0.故选A.、填空题（每小题4分，共12分）17. （ 2014 无锡高二检测）已知曲线y= -1上两点A当 x=1时，割

5、线AB的斜率为,B _ ,k丄求解.Ax【解题指南】本题考查直线斜率的求法，根据割线的斜率11 2-(2+Ax)2+Ak 2 2(2+Ax)2 (2+Ax).AV 一M所以一=瑚一Ax Ax2(2Av 1 即 k=_即k浊w所以当 x=1时， 1k=-¥F=_.答案：-8. 抛物线y=f（x）=2x2-x在（1 , 1）点处的切线斜率为 【解析】因为 一一一-=3+2 A x,令Ax趋于0，则3+2 A x趋于3.所以切线的斜率k=3.Ax答案：39. 已知曲线y=f(x)=2x2+1在点M处的瞬时变化率为-4,则点M的坐标为【解析】当A xt0时，-=2 A x+4x°t

6、 4xo,由 4xo=-4，得 xo=-1,所以点M的坐标是(-1, 3).答案：(-1, 3)三、解答题(每小题10分，共20分)10. (2014 安顺高二检测)已知抛物线y=f(x)=x2+3与直线y=2x+2相交，求它们交点处的 切线方程【解析】由方程组? = *严得x2-2x+1=0,y = 2x+ 2f解得x=1, y=4,所以交点坐标为(1 , 4),又十心7g = A x+2Ax当A x趋于0时A x+2趋于2.所以在点(1, 4)处的切线斜率k=2.所以切线方程为y-4=2(x-1)，即y=2x+2.【变式训练】已知曲线y=f(x)=x+一 上一点 A'，用斜率定义求

7、：(1)点A处切线的斜率.(2)点A处的切线方程.【解题指南】求曲线在A处切线的斜率kA,即求-Ax【解析】(1) A y=f( 2+Ax)- f( 2)=2+ A x+- ( / I2+Ax 2/-Ax=+ A x,2f2+Ax)心-门Y = l irlimAx0Ax0 AxL2Ax2+6k)=.L 2(2+k) J 4s a(2)切线方程为y-= (x-2),2 4即 3x-4y+4=0.11. ( 2014 贵阳高二检测)证明：过曲线xy=1上的任何一点P(xo, yo)(Xo>O)的切线与两坐标轴围成的三角形的面积是一个常数.【解题指南】先求函数 y=的导数，表示出过P(x0,

8、y。)的切线方程，再求切线的截距,从而表示出面积.【证明】由xy=1,根据导数定义可得,得 y=,八.,S= X X 2xo=2是一个常数.2则f' (XA)与f' (XB)的大小关系是(XB)A. f' (XA)>fB.f' (Xa)< f'(XB)C. f' (XA)=f'(xb)D.不能确定【解析】选B.分别作出A, B两点处的切线，由图可知2.( 2o14 荆州高二检测 xo的值为()1A.-e)已知曲线f(x)= Inx在点(xo,B. 1C. ekB>kA，即 f' (XB)> f '

9、(XA).f(X0)处的切线经过点(0, -1)，则D. 10所以k=-；.过点P(xo, yo)的切线方程为y-yo=-p(x-xo),2令x=o得 y=，令 y=o得x=2xo,所以过P(xo, yo)的切线与两坐标轴围成的三角形的面积能力提升训练、选择题(每小题4分，共16分)1.( 2014 天津高二检测)已知函数y=f(x)的图象如图,1【解析】选B.依题意得，题中的切线方程是y-lnxo= (x-xo)；又该切线经过点(o, -1),于是有-1-1nxo= (- xo)，由此得 InXo=O, xo=1，选 B.3. ( 2o14 天津高二检测)设f(x)为可导函数，且满足,7则过

10、曲线y=f(x)上点(1, f(1)处的切线斜率为()A. 2B.- 1C. 1D. - 2【解析】选D. -' =-'XrD2x2 KrOK=f | =-1?f'=-2.4. 设P为曲线C： y=x2+2x+3上的点，且曲线C在点P处切线倾斜角的取值范围为 则点P横坐标的取值范围为()A疗B卜1, 0C. 0，1D.右+8)【解题指南】根据倾斜角的取值范围可以得到曲线C在点P处斜率的取值范围，进而得到点P横坐标的取值范围【解析】选D.设点P的横坐标为X。，因为y=x2+2x+3,由定义可求其导数y' IL二心=2xo+2，利用导数的几何意义得 2xo+2=ta

11、na(a为点P处切线的倾斜角)，又因为a ，|，所以1W 2xo+2,所以xo 一宀) .故选D.二、填空题(每小题5分，共10分)35. 曲线f(x)= x +x-2在P点处的切线平行于直线 y=4x-1，则P点的坐标为 【解析】因为f(x)=x3+x-2,设xp=xo,所以 y=3 . - x+3x0 ( x) 2+( x)3+ x,所以Ax=3療+1+3心 x)+( x)2,所以 f'(x)=3冷+ 1，又 k=4,所以3卅+1=4,卅=1.所以xo=± 1,故 P ( 1, 0)或(-1, -4).答案：(1, 0)或(-1, -4)【变式训练】已知f(x)=x3,则

12、曲线y=f( x)在x=2处的切线斜率为 .【解析】设 P(2, 8) , Q ( 2+A x, (2+A x) 3)，则割线 PQ的斜率为 kpQ= 一 _ =12+6 A x+(A x)2,当 A xt 0时，kPQT 12,所以曲线y=f(x)在x=2处的切线斜率为12.答案：126. (2014 泰安高二检测)设函数f(x)在x=1处的切线斜率为1，贝U血竺士.【解析】因为f(x)在X=1处切线斜率为1 ,所以 f' (1)=1,- =-*72 心0X1 ,1=f (1)=.22答案：'2三、解答题(每小题12分，共24分)27. 已知抛物线y=ax +bx+c过点(1

13、,1)，且在(2, -1)处的切线的斜率为1，求抛物线解析式.【解析】因为y=ax2+bx+c分别过(1, 1)点和(2, -1)点，所以a+b+c=1，4a+2b+c=-1一一Ay-m=2ax+b,故由导数的几何意义得：y' |x=2=4a+b=1 ,由可得，a=3, b=-11, c=9.故抛物线解析式为y=3x2- 11x+9.8.已知直线x+2y-4=0与抛物线y2=2x相交于A, B两点，0是坐标原点，试在抛物线的曲 线AOB上求一点卩，使厶ABP的面积最大.【解题指南】求出与直线 x+2y- 4=0平行的切线，对应切点即为所求点P.【解析】由y2=2x及直线x+2y- 4=0的位置关系