15.1.1从分数到分式

1、从分数到分式一、教学目标1 了解分式概念.2 理解分式有意义的条件，分式的值为零的条件；能熟练地求出分式有意义的 条件，分式的值为零的条件.二、重点、难点1 重点：理解分式有意义的条件，分式的值为零的条件.2 难点：能熟练地求出分式有意义的条件，分式的值为零的条件.难点是能熟练地求出分式有意义的条件，分式的值为零的条件.突破难点的方法是利用分式与分数有许多类似之处，从分数入手，研究出分式的有关概念，同时还 要讲清分式与分数的联系与区别.三、课堂引入1 让学生填写P127 思考，学生自己依次填出：10，2，竺，2.7 a 33 s2 学生看问题：一艘轮船在静水中的最大航速为 20千米/时，它沿江

2、以最大航 速顺流航行100千米所用实践，与以最大航速逆流航行 60千米所用时间相等，江水 的流速为多少？可以发现，这些式子都像分数一样都是(即2 B)的形式.分数的分子A与分母B都是整数，而这些式子中的 A、B都是整式，并且B中都含有字母.注意：分式比分数更具有一般性，例如分式 A 可以表示为两个整式相除的商B(除式不能为零)，其中包括所有的分数 .思考：引发学生思考分式的分母应满足什么条件，分式才有意义？由分数的分 母不能为零，用类比的方法归纳出：分式的分母也不能为零.注意只有满足了分式的分母不能为零这个条件，分式才有意义.即当Bm0时，分式 A才有意义.B四、例题讲解P128例1.当x为何

3、值时，分式有意义.(1)(2)(3)分析已知分式有意义，就可以知道分式的分母不为零，进一步解出字母x的取值范围.设计意图：该例题是应用分式有意义的条件一分母不为零，解出字母x的值.还可以利用这道题，不改变分式，只把题目改成“分式无意义”，使学生比较全面地 理解分式及有关的概念，也为今后求函数的自变量的取值范围，打下良好的基础.(1)旦m 1(2)m (3)2m 1m 1分析分式的值为0时，必须同时满足两个条件：O1分母不能为零；C2分子为零，这样求出的m的解集中的公共部分，就是这类题目的解五、随堂练习1 判断下列各式哪些是整式，哪些是分式?9x+4,79 y ,m 48y 3x2052y2.

4、当x取何值时，下列分式有意义？(1)丄(2)X 5(3) 2x 5x 23 2xx2 43. 当x为何值时，分式的值为0?(1) x 75x(2)7 x 21 3xx2x六、小结:分式的基本性质（一）教学目标 1.理解分式的基本性质.2 会用分式的基本性质将分式约分重点：理解分式的基本性质.掌握约分。难点：灵活应用分式的基本性质将分式约分。教学过程：一、引入i .请同学们考虑：3与15相等吗？着与3相等吗？为什么？4202482. 说出它们变形的过程，并说出变形依据？3. 提问分数的基本性质，让学生类比猜想出分式的基本性质.分式的基本性质：分 式的分子、分母同乘以（或除以）同一个整式，使分式的

5、值不变.可用式子表示为：-二A?C -二巴（ Cm 0）B B?C B B C二、例题讲解例2.填空：分析应用分式的基本性质把已知的分子、分母同乘以或除以同一个整式，使分式 的值不变.例3.约分：分析约分是应用分式的基本性质把分式的分子、分母同除以同一个整式，使分式的值不变.所以要找准分子和分母的公因式，约分的结果要是最简分式.三、随堂练习1. 填空：(1)2x2(2) -6a3b2 3a32 x3xx 38b3(3)= a c2 2x yx yancn2x y2.约分：(1) 3吓6ab c(2)c 28m n(3)4x2yz3(4) 2(x yy)2mn216xyz5x四、小结：五、布置作

6、业：教学目标：1.理解分式的基本性质2 会用分式的基本性质将分式通分。重点：理解分式的基本性质掌握通分。难点：灵活应用分式的基本性质将分式变形。灵活应用分式的基本性质将分式变形 突破的方法是通过复习分数的通分类比出分式的通分。教学过程：一、复习引入(2)1121.判断下列约分是否正确：(1)2 .通分3和546二、例题讲解例4 .通分：分析通分要想确定各分式的公分母，一般的取系数的最小公倍数，以及所有因式 的最高次幕的积，作为最简公分母.三步：随堂练习1.通分：1 2帝和5?忑(2)2xyb3x2(3)虫与和2ab2a8bc2(4)丄和丄y 1 y 1四、小结 五、作业课前测评分别写出下列等式

7、中括号内的分子或分母2n ()(1)=(ABC)m+2(m+2) 2ab b2a b(2) a2b bex(3) ax bx a bx2 x 2 x2 4x 3 x 3课堂引入1 .学生活动(1) .分式的基本性质(2) .分数的约分和通分(3) 阅读课本第131页问题1什么是最简分式。2什么是约分。2. 教师点评：最简分式：分子和分母没有公因式的分式。约分：不变分式的值把分子和分母的公因式约去，叫约分 依据：分式的基本性质 约分的结果是最简分式3 .例题讲解课本第131页 例3分析：约分是利用分式的基本性质，把分式的分子、分母 同除以同一个整式，使分式的植不变。所以要找准 分子和分母的公因式

8、，约分的结果是最简分式。4. 课本第132页 练习15. 思考：课本第132页(1)分数通分(2) 如何进行分式的通分(3) 什么是通分6例题讲解课本第132页例4通分分析：通分要先确定各分式的公分母，一般的取系数的最小公倍数，以及所有因式的最高次幕的积作为最简公分母。7.练习课本第132页 第2题三. 小结：1.最简分式、最简工分母的定义2依据分式的基本性质进行分式的约分和通分四. 课后测评3a2b8m2n2(x y)21.约分(1)6ab2c(2)22mny xab572.通分(1) 2xy和3x2(2)a 3 和 a 32m 6m 93.先化简再求值m29 其中 m=-1x y zxy

9、yz zxJ2 2 24.已知345求X y z的值-有意义X的取值范围是1当X时分式是正数X2二课堂引入1学生活动(1)填空34 -1520回忆分数的基本性质2阅读P7分式的基本性质93一-(填=,>,<)为什么呢？248，猜想分式的基本性质思考为什么C不等于0 三例题讲解填空(1) 2x2xj 3x x 36a3b23a3"sb (3)b 1 a C an cn(4)2 2x y x y2x y.课前测评(1) 使分式X有意义的X的取值范是2X 4(2) 已知分式的值是0,那么XX 1-1使式子一TX例题：不改变分式的值，使卜列分式的分子和分母都不含-”号6bx2m7

10、m3x5a， 3y，n6n ，04y分析每个分式的分子、分母和分式本身都有自己的符号，其中两个符同时2mn改变，分式的值不变解：6b6b5a5a7m 7m6n ''6n，x_ x2m _3y3y'n3x 3x o4y 4y练习:不改变分式的值使下列各式分子分母不含负号1 1(l)020.4c0.01dxy一3_xy53例：将分式匚中的X,Y都扩大为原来的3倍，分式的值怎么变化？x y解：22匚 空 所以分式中的X, 丫都扩大原来的3倍，但分式的值3x 3y 3 x y x y不变四：小结：分式的基本性质五：作业：15. 2分式的运算15. 2. 1分式的乘除（一）一、教

11、学目标：理解分式乘除法的法则，会进行分式乘除运算.二、重点、难点1 重点：会用分式乘除的法则进行运算2 难点：灵活运用分式乘除的法则进行运算.教学过程：一、课堂引入1. 出示本节的引入的问题1从上面的问题可知，有时需要分式运算的乘除.本节我们就讨论数量关系需要进 行分式的乘除运算我们先从分数的乘除入手，类比出分式的乘除法法则 2. 从上面的算式可以看到分式的乘除法法则.3 类比分数的乘除法法则，你能说出分式的乘除法法则? 类似分数的乘除法法则得到分式的乘除法法则的结论 二、例题讲解例1.分析这道例题就是直接应用分式的乘除法法则进行运算应该注意的是运算结果应约分到最简，还应注意在计算时跟整式运算

12、一样，先判断运算符号，在计算 结果例2.分析这道例题的分式的分子、分母是多项式，应先把多项式分解因式，再进行约分.结果的分母如果不是单一的多项式,开而是多个多项式相乘是不必把它们展三、随堂练习 计算(1)a2b2ab(2)4 m22m 5n3(3)丄27xx(4) -8xy 2y 5xa2a2a2 2a 1a2 4a 4y2 6y 9y 2(3y)四、小结五、课后练习15. 2. 1分式的乘除（二） 教学目标：熟练地进行分式乘除法的混合运算 重点、难点1重点：熟练地进行分式乘除法的混合运算 2难点：熟练地进行分式乘除法的混合运算. 教学过程：一、课堂引入计算3x31()(4yy2x（1）y 1

13、y （2）x y x二、例题讲解 例4.计算分析是分式乘除法的混合运算.分式乘除法的混合运算先统一成为乘法运 算，再把分子、分母中能因式分解的多项式分解因式，最后进行约分，注意最后的 计算结果要是最简的.（补充）例.计算（1）罗22x(箫)3x(4b)3ab22x3y3ab22x3y16b29ax38xy9a2b)4b3x先把除法统一成乘法运算）8xy 4b29a b 3x（判断运算的符号）（约分到最简分式）2x 63）（x 2）3 x（x 3）（x 2）（先把除法统一成乘法运算）(x 24 4x 4x=2x 6124 4x 4x x 33 x(x3)空弓丄(x3)(x2)(分子、分母中的多项

14、式分解因式)(2 x)2 x 33 x2(x 3)1(x3)(x2)(x 2)2 x 3(x 3)三、随堂练习计算3b216abe2a2(2)5e42a b(6ab6c2)20e330a3b102 2(3) (xy x2)x 2xy y x yxyx四、小结五、课后练习计算(1)8x2y43x64y2(詈)a(x y)x xy 6a 93 a a22 b 3a 9y2 4y 4丄2y 6 y 312 6y9 y2xy2y xy15. 2. 1分式的乘除（三）教学目标：理解分式乘方的运算法则，熟练地进行分式乘方的运算 重点、难点1 重点：熟练地进行分式乘方的运算.2 难点：熟练地进行分式乘、除、

15、乘方的混合运算.归纳出分式乘方的法则：分式乘方要把分子、分母分别乘方分式的乘除与乘方的混合运算是学生学习中重点，也是难点，故补充例题，强 调运算顺序，不要盲目地跳步计算，提高正确率，突破这个难点.、课堂引入计算下列各题:（1）（a）2 = ab b（3）（a）4 = ab ba=( ba ab b教学过程：a 3 a a a（2）（-）3 =（ ）b b b b）提问由以上计算的结果你能推出（-）n （n为正整数）的结果吗?b、例题讲解例5.计算分析第（1）题是分式的乘方运算，它与整式的乘方一样应先判断乘方的结果的 符号，再分别把分子、分母乘方.第（2）题是分式的乘除与乘方的混合运算，应 对学

16、生强调运算顺序：先做乘方，再做乘除.三、随堂练习1 判断下列各式是否成立，并改正(1)(b3、2_ b52a)=2a24a2(3)(2)3 = 8y3x) 9x3(4) (x b23x、2 _ 9x)=2xb22.计算：(1)(区)23y/c、 3a2b 3F)(器)3四、小结五、课后练习1522 分式的加减（一）、教学目标：（1）熟练地进行同分母的分式加减法的运算 .（2）会把异分母的分式通分，转化成同分母的分式相加减、重点、难点1重点： 熟练地进行异分母的分式加减法的运算2 难点：熟练地进行异分母的分式加减法的运算.三、课堂引入1. 出示问题3、问题4,教师引导学生列出答案.引语：从上面两

17、个问题可知，在讨论实际问题的数量关系时，需要进行分式的 加减法运算.2下面我们先观察分数的加减法运算，请你说出分数的加减法运算的法则吗?3.分式的加减法的实质与分数的加减法相同，你能说出分式的加减法法则？4请同学们说出 冷可，1,的最简公分母是什么？你能说出最简公分2x y 3x y 9xy母的确定方法吗？四、例题讲解1、例 6.2、（补充）计算2x 3y22x yx 3y x 2y-22 -22x y x y1 x6 2x6x2911x 3五、随堂练习计算a b5a2bb a5a2b(2)m 2nn m2mn m15. 2. 2分式的加减（二）、教学目标：明确分式混合运算的顺序，熟练地进行分

18、式的混合运算、重点、难点1 重点：熟练地进行分式的混合运算2 难点：熟练地进行分式的混合运算. 的前面.四、课堂引入1 说出分数混合运算的顺序.2 教师指出分数的混合运算与分式的混合运算的顺序相同五、例题讲解例7分析例8.计算,最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结分析这道题是分式的混合运算，要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算 顺序：先乘方，再乘除，然后加减 果要是最简分式.（补充）计算（1）（-分析这道题先做括号里的减法，再把除法转化成乘法，把分母的“-”号提到分式本身的前边.2（2）亠亠x y x y4x y4 x2x2x分析这道题先做乘除， 六、随堂练习 计算4y再做减法,2y把

19、分子的“”号提到分式本身的前边.2(1)(七x 2(3)(亠a 2几)12a2x 22x2(a 2(2)七）(a )abba七、课后练习1 计算(1) (1)(1)x y x ya 2(a2 2aa 1a2 4a 44 a2ax11xy_)y z xy yz zx15. 2. 3整数指数幕、教学目标:11 知道负整数指数幕an二一0, n是正整数）a2 掌握整数指数幕的运算性质.3 会用科学计数法表示小于1的数.、重点、难点1. 重点：掌握整数指数幕的运算性质.2. 难点：会用科学计数法表示小于1的数.课堂引入1.回忆正整数指数幕的运算性质:（1）（2）(3)同底数的幕的乘法: 幕的乘方：（a

20、m）n 积的乘方：（ab）n同底数的幕的除法:am an amn（m,n 是正整数）； amn（m,n是正整数）; anbn （n是正整数）;am an amn（ a工0, m,n是正整数，m> n）；a3n（n是正整数）；b商的乘方：（a）nb2.回忆0指数幕的规定，即当aM0时，a01.3 .你还记得1纳米=10-9米，即1纳米=丄米吗？10331£=*=右=丄，再假设正整数指数幕的运算性质 a a a a是正整数，m> n）中的 m> n这个条件去掉，那么 a 1 2 =厶（aM0），就规定负整数指数幕的运算性质：当 a(5)4.计算当a 0时，a3m n /

21、a (a 工 0, m,na5 = a35 = a2.于是得到随堂练习1. 填空2 2 0(1) -2 = (2) (-2) = (3) (-2) =(4) 2。=(5) 2 -3=(6) (-2) -3=2. 计算(1) (x 3y-2)2( 2) x2y2 (x-2y)3(3)(3x 2y-2) 2 (x-2y)3课后练习1. 用科学计数法表示下列各数：0. 000 04，-0. 034,0.000 000 45,0. 003 00915.3 分式方程（1）、教学目标1. 使学生理解分式方程的意义.2使学生掌握可化为一元一次方程的分式方程的一般解法.3了解解分式方程解的检验方法.二、教学重

22、点和难点1 .教学重点：（1）可化为一元一次方程的分式方程的解法.（2）分式方程转化为整式方程的方法及其中的转化思想.2. 教学难点：检验分式方程解的原因三、教学过程（一）复习及引入新课1. 提问：什么叫方程？什么叫方程的解？使方程两边相等的未知数的值，叫做方程的解.2. 引例：一艘轮船在静水中的最大航速为 20千米/时，它沿江以最大航速顺流航 行100千米所用的时间，与以最大航速逆流航行 60千米所用时间相等，江水的 流速为多少？与学生分析并列出方程。这个方程和我们以前所见过的方程不同，它的主要特点是：分母中含有未知数， 这种方程就是我们今天要研究的分式方程.（二）新课板书课题：板书：分式方

23、程的定义.分母里含有未知数的方程叫分式方程.以前学过的方程都是整式方程.练习：判断下列各式哪个是分式方程.k +2 2y - z1y（1）蛊+y 二 0）二七：（3）-; S）命二山在学生回答的基础上指出（1）、（2）是整式方程，（3）是分式，（4）是分式方程.例1解方程芦空=+ -（三）总结解分式方程的一般步骤：1. 在方程的两边都乘以最简公分母，约去分母，化为整式方程.2. 解这个方程.3. 把整式方程的根代入最简公分母，看结果是不是零；使最简公分母为零的根 不是原方程的解，必须舍去.（四）随堂练习（五）作业15.3分式方程（2）教学目标：1、使学生更加深入理解分式方程的意义，会按一般步骤

24、解可化为一元一次方程的分 式方程2、使学生检验解的原因，知道解分式方程须验根并掌握验根的方法 重点难点：1. 了解分式方程必须验根的原因；2. 培养学生自主探究的意识，提高学生观察能力和分析能力 教学过程：一复习引入解方程：（1） 14 x x 4思考：上面两个分式方程中，为什么 而（2）去分母后所得整式的解却不是 学生活动：小组讨论后总结（2）16 口x 2 x24 x 2（1）去分母后所得整式方程的解就是（1）的解,2）的解呢？二. 总结（1）为什么要检验根？在将分式方程变形为整式方程时，方程两边同乘以一个含未知数的整式，并约 去了分母，有时可能产生不适合原分式方程的解 （或根）.对于原分

25、式方程的解来说， 必须要求使方程中各分式的分母的值均不为零，但变形后得到的整式方程则没有这 个要求.如果所得整式方程的某个根，使原分式方程中至少有一个分式的分母的值为 零，也就是说使变形时所乘的整式（各分式的最简公分母）的值为零，它就不适合 原方程，则不是原方程的解.（2）验根的方法将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解，否则，这个解不是原分式方程的解 .三. 应用例1解方程23x 3 x例2解方程x 13x1(x 1)(x2)四. 随堂练习五. 课时小结六. 作业15.3 分式方程（3） 、教学目标：1 .会分析题意找出等量关系.2.会列出可化

26、为一元一次方程的分式方程解决实际问题 二、重点、难点1重点： 利用分式方程组解决实际问题 .2难点： 列分式方程表示实际问题中的等量关系 . 三、教学过程( 一 ) 复习提问1解分式方程的步骤(1) 能化简的先化简； (2) 方程两边同乘以最简公分母，化分式方程为整式方程；(3) 解整式方程； (4) 验根2列方程应用题的步骤是什么？(1) 审； (2) 设；(3) 列；(4) 解； (5) 答3由学生讨论，我们现在所学过的应用题有几种类型？每种类型题的基本公式 是什么？在学生讨论的基础上，教师归纳总结基本上有五种：(1) 行程问题：基本公式：路程=速度X时间 而行程问题中又分相遇问题、追及问

27、题(2) 数字问题在数字问题中要掌握十进制数的表示法(3) 工程问题基本公式：工作量 二工时X工效.(4) 顺水逆水问题 v顺水=v静水+v水.v逆水=v静水-V水.( 二 ) 新课例 3.两个工程队共同参加一项筑路工程， 甲队单独施工 1 个月完成总工程的三 分之一，这时增加了乙队，两队又共同工作了半个月，总工程全部完成。哪个队的 施工速度快？例 4：从 2004年 5 月起某列列车平均提速 v 千米/ 时。用相同的时间，列车提速 前行驶 s 千米，提速后比提速前多行驶 50 千米，提速前列车的平均速度是多少？分析：这里的字母 v，s 表示已知数据，设提速前的平均速度为x 千米/ 时，则(

28、三 ) 课堂练习课本 P37 1.2( 四 ) 小结 对于列方程解应用题，一定要善于把生活语言转化为数学语言，从中找出等量 关系.对于我们常见的几种类型题我们要熟悉它们的基本关系式.第 15章分式复习教案( 1) 教学重点：掌握分式的约分、通分、混合运算。 教学难点：分式的混合运算。教学过程： 一、知识结构与知识点：1 分式的约分2 分式的通分3.分式的乘除4 分式的混合运算5.零指数，负整数，整数，整数指数幕的运算a）零指数 a01（a0）b）负整数指数 a p 丄（aapc）注意正整数幕的运算性质0, p为正整数).m nm na a a ,m n m na a a (a 0),(a )

29、a ,(ab)nanbn可以推广到整数指数幕，也就是上述等式中的m、 n可以是O或负整数.二、例题讲解：（一）分式的约分与通分8xy321 .约分：12X y2n 2n 10.8x y2n 1 2n 11.4x y4ts玄5b2 .通分-2ac2注意点：什么是分式的约分与通分？其关键是什么？它们的理论依据是什么（二）分式的乘除acbd(；)八 “6-5x+x2x-3化简 2 “x-164-x（三）分式的加减1a+16(1)a-3 +6+2a_a2-9a ca db d b cadbcx2+5x+44-x2x y x2 y2 2x 2y x2 y2（四）分式的混合运算(a-2x4x3a4 x48x7x8 a8（五）求代数式的值1.先化简后再求值:x-3x2-2x-31x2+2x+1 +x+1其中x=2+1三、小结：四、教学反思:第15章分式复习教案（' 教学目标1. 复习本章知识要点。2. 巩固本章知识点的应用，并综合应用知识点解决问题3. 在应用中提高数学