流形上的散度公式和式极限证明和数值模型[附件3分析与说明]资料

1、附件3流形上的散度公式和式极限证明和数值模型分析与说明杨科中国成都610017E-mail: 以符号为首者为分析说明(红色痕迹)目录引言 证明的前提条件-单连通可定向闭合曲面坐标系的建立(参见 流形上的散度公式证明引言2)1. 流形上的散度公式和式极限证明.。12. 流形上的散度公式和式极限数值模型 15参考书籍291. 流形上的散度公式和式极限证明：散度公式 设空间闭区域Q是由光滑或分片光滑的闭曲面 S围成,函数P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)构成向量场A及其偏导数在空间闭区域 Q上连续，则iiAndSiiidivAd (1)S门其中曲面S为空间闭区域Q的整个边界曲面外侧

2、,n为曲面S的单位外法向量，divA 为 向量场A的散度/强调曲面的可定向性证明(和式极限形式):定义任意单连通、可定向闭合曲面S的参数表达式：/不是”任意曲面S”的参数表达式，而是”任意单连通、可定向闭合曲面 S”的参数表达式/详见 流形上的散度公式证明引言2说明a sin( u)cos(v),b si n(u)si n( v),c cos(u) (2)/ 在严格意义上，参数表达式a sin(u)cos(v),b sin(u)sin(v),c cos(u)是任意单连通、可定向闭合曲面 S在”直角坐标系”和"任意单连通、可定向闭合曲面 S坐标系” 之间的转换式其中a,b,c 为非零常

3、数或一阶可导连续函数表达式,单连通、可定向闭合曲面 S决定a,b,c 的取值；设定参数 u,v 的变化范围0,二,0,2 二,使曲面 S闭合.（参见 Poincare 猜想："任何与n维球面同伦的n维闭合流形必定同胚于 n维球面"）19/在散度公式涉及的三维欧氏空间，Poincare猜想对应的判断为”任何单连通、可定向2维闭合流形必定同胚于2维球面"./待定系数a,b,c均不是由”任意的一阶可导连续函数表达式”构成,a,b,c的取值必须服从于参数曲面S的”单连通、可定向闭合”的拓扑学属性；详见流形上的散度公式证明引言2说明.根据曲面参数表达式（2）,定义并计算第一

4、偏导数矩阵，获取曲面S的切平面法向量：_ 1ijkasi n(u)cos(v)bsi n( u)si n( v)ccos(u)cuducuasin(u) cos(v)bsin(u)sin( v)ccos(u)乂vdvcvi c sin( u)2bcos(v) a cos(u) cos(v )2 k b sin(u) a sin(u )2 sin(v)jc2a sin( u)s in (v) k b cos( u )从 式分别提取i,j,k项系数，获得曲面S的切平面法向量：2 2csin(u) bcos(v), sin(u) asin(v)c, sin(u)abcos(u)(4)设定曲面S的参数

5、分割单元数量为50 （可取任意自然数值）:1.曲面S的第一分割单元的微观曲面积分过程：分割参数u的取值区间0,二:du =50分割参数v的取值区间0,2二:dv =-5025分割切平面法向量（7）: 即将 带入（4）b cos 彩IsinLsin|ac,sin1acosiH、b丿150丿125丿150丿（50丿(8)的普遍性和同质性，其在第分割抽象向量场P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)(8):P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)II 由于抽象向量场P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z) 分割单元的值仍为P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x

6、,y,z)计算曲面S的第一分割单元的微观曲面积分值：(9)根据积分中值定理，抽象向量场(8)与切平面法向量(7)的空间点积再乘以参数 u,v的分割区间(6)即为第一分割单元的微观曲面积分值 (9)11250 P(x，y，Z)CSin502b cos25Q(x, y, z) sinR(x, y, z) sin50a b cos50丿丿2 JI(9)2.曲面S的所有分割单元(即50个分割单元)的微观曲面积分过程分割参数u的取值区间0,二:du =分割参数v的取值区间0,2二:dv =(其中s和t均为150的自然数)502t 二5025(10)分割切平面法向量(11)： 即将(10)带入(4)2 2

7、f 兀 s /兀 t /ns ftyf 兀 s s >.csin 両丿 b cos国丿 sin 页丿 sinJ5 Ja C, sin而戶 cos3丿)(11)式不再是单一向量值，而是有限个(即50个)向量值的集合分割抽象向量场P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)(12):P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)(12)II由于抽象向量场P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)的普遍性和同质性，其在所有分割单元(即50个分割单元)的值仍为P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)计算曲面S的所有分割单元的微观曲面积分值：根据积分中值定理，抽

8、象向量场(12)与切平面法向量(11)的空间点积再乘以参数u,v的分割区间(10)即为所有分割单元的微观曲面积分值(13)r221S 二 tS 二 t 二1250 P(x,y,z)csin 50 bcos 25 Q(x, y,z)sin 50 asin 25 c+ R(x,y,z)sin 而严边而屮(13)II上述积分值不再是单一数值，而是有限个(即50个)数值的集合构建有限个(即50个)微观曲面积分值组成的数列(14):(由于该数列表达式极长,已省略；在附件Mape程序样本中，将指令sqn :=seq(seq(stdV1*stdA+stdV2*stdB+stdV3*stdC)*du*dv,s

9、=1.dus),t=1.dus):末尾的：替换为；即可获得)数列的累加(即抽象向量场(11)与切平面法向量(10) 的空间点积在曲面 S的所有50个分割单元的积分值求和),获得流形上曲面积分值(15)(由于该累加结果表达式极长,已省略；在附件 Mape程序样本中，将指令add(k,k=sqn):xi:=evalf(%);中间的：替换为；即可获得)将累加结果表达式转化为浮点数值：0.88 10 cb P(x, y, z) - 0.434 10 9 acQ(x, y, z) - 0.630 10 9 ab R(x, y, z)/该值随参数分割区间数量的无限增大，无限趋近于零设定曲面S的参数分割单元

10、数量为n (即不确定的自然数):(16)3. 曲面S的第一分割单元的微观曲面积分过程分割参数u的取值区间0,二:du =n(17)分割参数v的取值区间0,2二:dv =n分割切平面法向量(18):csin2uf 2 兀b cosI n丿带入即将(17)a c, sin n： a cos(18)分割抽象向量场P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)(19):P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)(19)II 由于抽象向量场P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z) 分割单元的值仍为P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)的普遍性和同质性，其在第计算

11、曲面S的第一分割单元的微观曲面积分值：(20)根据积分中值定理，抽象向量场(19)与切平面法向量(18)的空间点积再乘以参数u,v的分割区间(17)即为第一分割单元的微观曲面积分值(20)f2csin n b cos 2nP( x, y, z) sinsina c Q( x, y, z)sinb R(x, y, z)J2n2(20)4. 曲面S的所有分割单元(即n个分割单元)的微观曲面积分过程分割参数u的取值区间0,二:du =分割参数v的取值区间0,2二:dv =n2t 二n(21)(其中s和t均为1n的自然数)分割切平面法向量(22): 即将(21)_csin2. f 2 H b cos

12、、n带入a c, sina cos(22)(22)式不再是单一向量值，而是有限个(即n个)向量值的集合分割抽象向量场P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)(23):P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)(23)II由于抽象向量场P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)的普遍性和同质性，其在所有分割单元(即n个分割单元)的值仍为P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)计算曲面S的所有分割单元的微观曲面积分值(24):根据积分中值定理，抽象向量场(23)与切平面法向量(22)的空间点积再乘以参数u,v.e S -f 2 兀 tRs.#2 兀 tc

13、 sinb cosP(x, y,z) +sinsin'、ln 丿I n丿I n丿I n丿的分割区间(21)即为所有分割单元的微观曲面积分值(24)/ 2 2a cQ(x, y, z)丄.r江s "s + si na cosb R(x, y,z)ln丿I n丿JII上述积分值不再是单一数值,而是有限个构造有限和式(25):(即n个)数值的集合二2 n2(24)(在参数分割单元数量n不确定的情况下，抽象向量场(23)与切平面法向量(22)的空间点积在所有分割单元的积分值求和):nZ !Zt 二 1>“S】2 csinS 二1>2f 2 兀 t )b cos nP(x,

14、 y, z) sinf 2 兀 t )sin I n丿I n丿2a cQ(x, y, z)sin: sa cos: sb R(x, y,z)22JI n7j有限和式的无限化,其极限运算值即为流形上的曲面积分值(26)(在参数分割单元数量n趋于无穷的情况下，抽象向量场(23)与切平面法向量(22)的空间点积在所有分割单元的积分值求和表达式的极限值)b cosInlim 二 二 2 Icsins =1P(x, y, z)sin s、n2sina c Q(x, y, z) sin: sI a cos nb R(x,y, z)712 n2lim - n2n _：c P(x, y, z) b cosf(

15、n +1) nf JI 1cosicosi 丿I n丿5丿nn兀ncosnn2Q(x, y,z) asin (n °(n 1)二Q(x, y, z) a sin (n 1)-P(x, y,z)bcos (n 1)：cos(n 1)n2 5 5-sin n cos ncosQ(x, y, z)a nsinn2f(n + 1)P(x, y, z) b cos-2 Q(x, y, z) a sin-cos(n 1 )二2cosn丿3n sin nr (n + 1)兀) cos IcosQ(x, y, z) a n-cos(n 1 )二sin (n M)P(x, y, z) b ncos(n

16、 1 )二sin (n M)x, y, z) b ncos+-cosn41)P(x, y,z)b 2 cos n(n 1)P(x,y, z)b-cosi ir1)sin nQ( x, y, z) a cos7(n 1) sinx, y, z) acosf ji)1) P(x, y, z) b + cos n5:| (n r)sin苗丿3Q(x, y, z) acos21) sin2b P(x, y, z) - cos6(n 1) sin2P(x, y, z) bsin n十cos4Q(x, y, z) a sin(n 1)二(n 1 ) cos f ( n + 1) H >(n + 1)

17、八r31)|coscos I n丿I n丿ln丿n-Q( x, y, z) a sin-sincosP(x, y, z) b cos (n 1) P(x, y, z) b cos (n 1)2f JI )cos ln丿n 丿4-cos 6P(x, y,z)bcos"n + 1 )；rcos6 Q(x, y,z)asi 口“"*1)厂(Ji-1 + cos * (n + 1)兀) cos I二2 c | P(x, y, z) b n cos2cosx, y, z) an(H-P(x, y, z) b cos 24P(x, y, z) b n 一 cos| | P(x, y,

18、z) b + 3 cos7n - cossin6)Q(x, y, z) a ncos2sin6P( x, y, z) b5-2嘗丿SbQ(x, y, z) a 2 cos c sin nQ(x, y, z)a8-2 cos n P( x, y, z) b 2 cos4sin5sin63Q(x, y, z) acos2b P(x, y, z)2 cossinP(x,y, z) bn2(26)将曲面S的参数表达式(2)坐标参数转化为空间有界闭区域各项通乘以向径r(设定r>0),将x,y,z 轴方向上的曲面Q坐标参数：ra sin( u)cos(v),rb sin(u) sin( v),rc

19、cos(u)(27)根据空间有界闭区域Q坐标参数(27), 定义并计算第二偏导数矩阵，获取空间有界闭区域Q微元系数的一般表达式2一rasi n(u)cos(v) crrbsi n(u)si n(v)Srrc cos(U) cr一 ras in( u)cos(v) :urbsi n(u)si n(v) .u一 rc cos(u).u5一ra sin( u)cos(v)-Vrbsi n(u)s in (v) -V一 rc cos(u) :v2(28)abcr sin(u)/在严格意义上，空间有界闭区域Q微元系数是”空间有界闭区域Q坐标微元”和”直角 坐标微元”之间的比值.计算抽象向量场P(x,y,

20、z),Q(x,y,z),R(x,y,z)的散度，并将其从直角坐标形式(29)转变为空间有界闭区域坐标形式(30):(29)©P(x,y,z) Q(x, y,z) ' R(x,y, z) .:x:y: zI:Xfd】fd(r a sin(u) cos(v)丿+ fd-(r b sin( u) sin(v) R(x, y, z):z' P(x,y, z)(r b sin( u) sin( v)J(r c cos(u)(r a sin( u ) cos( v)fd(r a sin(u ) cos( v)' Q(x, y, z)r c cos( u )T7(rbsin

21、(u)sin(v)C3222-P(x, y, z) a sin(u) cos( v) r cos( u) sin(v)+ Q( x, y, z) b sin(u) sin(v) r cos(u ) cos( v) M 丿(30)的散度为.(d/在空间直角坐标系，抽象向量场P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)c, c-, cP(x,y,z)Q(x,y,z)-R(x,y,z):x:yn在本证明的逻辑推导中，需要将其引入抽象单连通可定向闭合曲面坐标系aa抽象向量场散度的三个组成单元P(x, y, z) , 一 Q(x, y, z), 一 R(x, y, z)为抽象excycz微分函数

22、结构，而其微分变量x,y,z 皆含有子变量r,u,v.空间直角坐标系与抽象单连通可定向闭合曲面坐标系之间的转换式为x = r a sin( u)cos(v), y = r b sin(u) sin(v), z = r c cos(u)L、口a/nfg/nf与微分函数一P(x, y,z), Q(x, y,z), R(x, y,z)的三个微分变量一，一，一excyczexcy cz对应的坐标转换微分函数分别为厂,厂,L、心£(ra sin(u)cos(v) (ra sin(u)cos(v) (ra sin(u)cos(v),.r； uvL、L厂,ccc(rbsin(u)sin(v)(rb

23、sin(u)sin(v)(rb sin(u)sin(v)和.r；u；v(rc cos(u) ' (rccos(u) (rccos©).r: u: vaa'微分函数P(x, y, z) , Q(x, y, z), R(x,y,z)与坐标转换微分函数的乘积X-y_z(即两种微分函数的乘积)构成了抽象单连通可定向闭合曲面坐标系的散度/是”链式求导”还是”坐标转换” ？/ 如果是”链式求导”，根据”同链相乘，分链相加”的原则应为：(r a sin( u) cos( v) 十(r a sin(u)cos(v) + 丿lcu丿©；(r a sin(u) cos( v)&

24、amp;p(x'y'z)：r+ Q(x，y，z)r b sin(u) sin(v) +J匸仃 bsin(u) sin(v) 迦丿+ | (r b sin( u) sin(v):；zR(X，y，z)(r c cos( u)lv (r ccos(u)丿+ (r c cos(u )/不论是”链式求导”还是求”散度”或者”旋度”，解决的是抽象向量场P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)"如何求导”、”求导方式”的问题；而这里是要将抽象向量场P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)散度求导的结果从一个坐标系转化到另一个坐标系的问题；两个”问题”的性质和

25、层次都是不同的，这里是”相乘”而不是”相加”，这是由坐标的 空间属性决定的设定曲面S圈围的空间有界闭区域 Q的参数分割单元数量为20(可取任意自然数值)(31)5.空间有界闭区域Q的第一分割单元的微观三重积分过程：1分割参数r的取值区间0,1: dr =20分割参数u的取值区间0,二:du =202兀 兀分割参数v的取值区间0,2二:dv =二一(32)20 10分割体积微元系数J(33) 即将(32)带入(28):(体积微元系数(28)在空间有界闭区域Q的第一分割单元的对应值)1400分割抽象散度函数(34): 即将(32)带入(30)(抽象散度(30)在空间有界闭区域Q的第一分割单元的对应

26、值)匸 r/3 P(x, y, Z) Ja Sin 20JI1 :=400:yQ(x, y,z) |b3sincos “JO2sinU0cos cc <20>2cos 1sin “J°丿JI20COSJ0 丿(34)jx/由于抽象数量场(散度)一P(x,y,z) ' Q(x, y, z) '' R(x, y,z)的普遍性和同质性， cycz如果该抽象数量场在空间有界闭区域Q有定义，则在空间有界闭区域 Q的某一或若干分割单元，该抽象数量场仍然可以被表述为 P(x, y,z) Q(x, y,z) R(x, y,z) :x: y.:z计算空间有界闭区域Q

27、的第一分割单元的微观三重积分值(35):根据积分中值定理,抽象散度(34)与体积微元系数(33)的乘积再乘以参数r,u,v分割区间(32)即为第一分割单元的微观三重积分值(35)116000003P(x, y, z) a sin+405fiQ(x,y,z)b3sin：20丿202sinCOSl10丿2$coscos20丿20丿I JLsin 10cos = a sin - l10丿丿I20丿2b c 7：6.空间有界闭区域Q的所有分割单元(即20个分割单元)的微观三重积分过程：i 二分割参数的取值区间0,二:du =分割参数的取值区间0,2 二:dv =分割参数的取值区间0,1: dr =20

28、2j 二 j 二20 = 10 k20(36)(其中i,j,k均为120的自然数)分割体积微元系数(37): 即将(36)带入(28)(体积微元系数(28)在空间闭区域Q的所有(20个)分割单元的对应值)(37)式不再是单一数值，而是有限个(即20个)数值的集合分割抽象散度函数(38): 即将(36)带入(30)(抽象散度(30)在空间有界闭区域Q的所有(20个)分割单元的对应值)门:.i20一丽p(x，y，z) Ja sin1心+丽厉 Q(x，y，z屮sinCOSi20二 j102sink2 cos二 j10心i20102k2 cosi20cos 二 j10(38)(38)式不再是单一数值，

29、而是有限个(即20个)数值的集合/由于抽象数量场(散度)一 P(x, y, z) Q(x, y, z) R(x, y,z)的普遍性和同质性excycz如果该抽象数量场在空间有界闭区域Q有定义，则在空间有界闭区域 Q的某一或若干分割单元，该抽象数量场仍然可以被表述为一 P(x, y,z) Q(x, y,z) R(x, y,z) .x；y；z计算空间有界闭区域 Q的所有分割单元的微观三重积分值(39):根据积分中值定理,抽象散度(38)与体积微元系数(37)的乘积再乘以参数r,u,v分割区间(36)即为所有(20个)分割单元的微观三重积分值(39)116000001 "丽阪P(x,y,z

30、)戶 sin1 /a、十丽 byQ(x,y 叫b3sin二 i202 . 二 i二 j20 cos 10也.10202sin2k2 cos2k2 cos二 i20二 i20cossin门10a sin二 i20k2 b c2(39)n(39)式不再是单一数值，而是有限个(即20个)数值的集合构建有限个(即20个)微观三重积分值组成的数列(40):(由于该数列表达式极长,已省略；在附件Mape程序样本中，将指令sqn :=seq(seq(seq(ijkddiV2*ijkdJ*dr*du*dv,i=1.dus),j=1.dus),k=1.dus):末尾的：替换为；即可获得)数列的累加(即散度(38

31、)与体积微元的乘积在所有(20个)分割单元上的积分值求和), 获得流形上的三重积分值(41)(由于该累加结果表达式及其结果值极长，已省略；在附件 Mape 程序样本中，将指令 add(k,k=sqn):omega:=evalf(%):中间及末尾的：替换为；即可获得)/该值随参数分割区间数量的无限增大，无限趋近于零设定曲面S圈围的空间有界闭区域 Q的参数分割单元数量为 n(即不确定的自然数值)(42)7.空间闭区域Q的第一分割单元的微观三重积分过程分割参数r的取值区间0,1: dr =分割参数u的取值区间0,二:du =分割参数v的取值区间0,2二:dv =1n兀n2:n(43)分割体积微元系数

32、J(44) 即将(43)带入(28):(体积微元系数(28)在空间闭区域Q的第一分割单元的对应值)a si n be2n分割抽象散度函数(45): 即将(43)带入(30)(抽象散度(30)在空间闭区域Q的第一分割单元的对应值)(44)P(x,y,z)Ja3 sin6!eos'2 兀、 n J1:cosJsin'2 兀 '< n丿2 2n2i yQ(x,y,z)13 .?i/ 2 兀/ 2兀b sin sincos cos丿ln丿I n丿ln丿In丿22n2(45)/由于抽象数量场(散度)aaP(x, y, z) ' Q(x, y, z) ' R(

33、x, y,z)的普遍性和同质性L、L、cycz如果该抽象数量场在空间有界闭区域Q有定义，则在空间有界闭区域 Q的某一或若干分割单元，该抽象数量场仍然可以被表述为'P(x,y,z) Q(x,y,z) R(x,y,z):x: y: z计算空间闭区域Q的第一分割单元的微观三重积分值(46):根据积分中值定理，抽象散度(45)与体积微元系数(44)的乘积再乘以参数r,u,v 的分割区间(43)即为第一分割单元的微观三重积分值(46)(d3 f叮f2兀1 JL<2巧P(x, y, z)a sin cosCOS sin& 丿5丿1门丿In丿I n丿n2,3.(2 Tty2 J!)Q(

34、x,y, z)b sin| sincosi cosi 丿3丿ln丿5丿In丿n2a sin b c 兀 n丿n58.空间闭区域Q的所有分割单元(即n个分割单元)的微观三重积分过程分割参数u的取值区间0,二:du =分割参数v的取值区间0,2二:dv =分割参数r的取值区间0,1: dr =(其中i,j,k 均为1n的自然数)i 二n2j 二n k n(47)分割体积微元系数(48): 即将(47)带入(28)(体积微元系数(28)在空间闭区域Q的所有(n个)分割单元的对应值)"i "L 2 a sink b cln丿n2(48)(48)式不再是单一数值，而是有限个(即n个)

35、数值的集合分割抽象散度函数(49): 即将(47)带入(30)(抽象散度(30)在空间闭区域Q的所有(n个)分割单元的对应值)2(d> 3" i| 石 P(x,y,z) |a six2cosS ,2 二 i k cos.f 2 冗 j sin Jn2i yQ(x,y, z)" i I： 2 兀j ?,2" if2 jb sinsink coscos丿 I n丿I n丿I n丿I n丿、2” dn2(49)(49)式不再是单一数值，而是有限个(即n个)数值的集合/由于抽象数量场(散度)P(X, y,z)ex©'Q(x, y, z) '

36、 R(x, y,z)的普遍性和同质性: y:z如果该抽象数量场在空间有界闭区域Q有定义，则在空间有界闭区域 Q的某一或若干分割单元，该抽象数量场仍然可以被表述为P(x,y,z) Q(x,y,z) R(x,y,z)x: y: z计算空间闭区域Q的所有分割单元的微观三重积分值(50):根据积分中值定理，抽象散度(49)与体积微元系数(48)的乘积再乘以参数r,u,v 的氏P(x，y，z)F3siT2cos2f2 nj、n2k2 cossin3 3广江i 3Q(x,y,z) |b3sin2.j sin、 n2n2k2 cos -fn n r2irjcos"a sink2/上述（50）式不再

37、是单一数值,而是有限个（即n个）数值的集合(nr r2d =17< I构造有限和式（51）:nzk -：1|#P(x,y,z) )a3 sinx23 . Ci】 | nF2 兀 j、n22丨k2C i cos n(ti ia sink2二25nJ)J(51)有限和式的无限化,其极限运算值即为整个空间闭区域Q的三重积分值（52）（在参数分割单元数量nis的情况下，抽象散度（49）与体积微元的乘积在所有分割单元的积分值求和表达式的极限值 ）nlimn k =1产 P(x, y, z) (a3 sinx2兀j cos 2nL2cos 严vlAsin nb3 sin2sindk2 cosf 2

38、j cosn2l兀i a sinJk2兀2n5、 nfnfn其中,设定|im送LEn T°o k =1Q -J丿丿丿=0(52)f2 a sinri兀*2 2 " k b c jt1、n丿式05nJ)即设定体积微元本身在所有分割单元的积分值之和不能为零，也可以理解为设定空间积分区域不能为零体积fs 222 t叮a sinI n丿 n丿2McosHQ(x, y, z) sinc即在n情况下，(25)=(51):2 P(x, y, z) c sin xs =1 I Inzk =1Cd、【3 .i八2 j 2.2zi n、1广2 j兀P(x, y, z)a sincosk cos

39、sin严丿ln丿I n丿< n丿I n丿2 2 、f r :、n22匚3|b sin/ n丿gQ(x，y，z)2j 兀、I 2/2j兀sin n丿k cos'、n 丿cos、 n2sink2(sy.(s兀】冷2/2I 一a b cos 兀/ nln Jln丿”丿J.iR(x, y, z) sinc 兀2 . n5丿丿丿亦可表述为11 A -n dS 111 divA d (1),证毕S门2. 流形上的散度公式和式极限数值模型：已知：单连通、可定向闭合曲面 (不规则、不对称)的参数表达式(1)修，芍,Itsin(u) (1cos(v), sin(u) sin(v)2 u, u (1

40、cos(u)其中,u 0,二,v0,2二;以及积分向量场图1单连通、可定向闭合曲面，积分向量场(蓝箭簇)及其散度等值面解：第一部分，自由曲面积分(和式极限)实现：根据曲面参数表达式(1),定义并计算第一偏导数矩阵，获取曲面的切平面法向量ijkccd百(si n(u) (1 -cos(v) 石(si n( u ) si n(v) +2u) 亦(u (1 - cos( u)|_cv (si n(u) (1 -cos(v) 云(si n( u ) sin (v) +2 u) 云(u (1 - cos( u) f 丁cvcvsin( u ) ( -cos( v) sin( u) i u sin( u

41、) sin( v) j u cos( v) cos( u) i cos(v) cos(u ) k -cos( u) sin(v) j - cos( v) i - cos(u) k sin(v) j - 2 sin(v) k)从 式分别提取i,j,k 项系数，获得曲面S的切平面法向量(4)：sin(u ) ( -cos(v) sin(u) u cos( v) cos( u ) -cos( v), sin(u )(s in( u)s in (v)u -cos( u ) s in (v) sin (v), sin(u) (cos(v) cos(u ) -cos( u ) -2sin(v)设定曲面S的

42、参数分割单元数量为50 (可取任意自然数值1.曲面S的第一分割单元的微观曲面积分过程分割参数u的取值区间0,二:du =分割参数v的取值区间0,2二:dv =502 :5025分割切平面法向量(7): 即将 带入(4)(1 /-50 cosydsin 5025 1 sin50二 cosJI25cosJI50-cosJI25丿丿sin 50.f兀sin50ji50si50cos5025丿sin2550sin25sin25cos 二50一 cos502sin 25x2 yz zU1 ._2sin分割具体向量场匕，2，32 1,100(8): 即将(1)带入 以后，再带入(6)2(1 -cos25丿

43、丿2sin50sin25JT+ 一251 - cos5017500二21 - cos50丿丿(8)计算曲面S的第一分割单元的微观曲面积分值：(9)根据积分中值定理，积分向量场(8)与切平面法向量(7)的空间点积再乘以参数u,v的分割区间(6)即为第一分割单元的微观曲面积分值(9)3 r 1/-50 cos1 .1250 Jsinv25sin50: cos25丿汽50Icos25711兀25兀112sin100sin25sinsinsin25ji+257500 sin二2in 50 cos 25cos50一2 sin1 -cos50 JJ 丿2.曲面S的所有分割单元(即50个分割单元)的微观曲面

44、积分过程分割参数u的取值区间0,二:du =分割参数v的取值区间0,2二:dv =(其中s和t均为150的自然数)502t 二t 二50 =25(10)分割切平面法向量sinsin1_ 50 cos二 s50sin(11): 即将(10)二 t25二 ssin50sin二 s50二 t25带入二 t25二 s二 s cos二 s cos50sin ： scos 二 t25f n s cos50-cos s二 s cossin50b-2sin 煮25-cossin2；f兀t远丿丿(11)(11)式不再是单一向量值，而是有限个(即50个)向量值的集合分割具体向量场(12)： 即将(1)带入(2)以

45、后，再带入(10)isin175001sinS的所有分割单元的微观曲面积分值二2 s2"s'2 , 2，3 _sin二 t2525二 s 1 - cos计算曲面根据积分中值定理，具体向量场(12)与切平面法向量(11)的空间点积再乘以参数u,v的分割区间(10)即为所有分割单元的微观曲面积分值(13)1 .1250 运 sin1 -cos: t<251d-cos -< 50、2二 sin10025丿sin: s1 .50sin50 Ct" sin茄sin二 s50.Ct(兀t二 s cos25cos50-cos,50丿5 s二 s 一 cossin2525: s 1 - cos: s而丿丿1 .7500 sin二2MsI Icoscos"s'-cos二 s50-2 sin2；二2 s21 - cos2弋而丿丿丿构建有限个(即50个)微观曲面积分值组成的数列(14):(由于该数列表达式极长,已省略； 在附件Mape程序样本中，将指令sqn :=seq(seq(stdV1*stdA+stdV2*stdB+stdV3*stdC)*du*dv,s=1.dus),t=1.dus)