极坐标方程与直角坐标方程的互化

1、、极坐标方程与直角坐标方程的互化1.(本小题满分10分)选修4 4 :坐标系与参数方程在极坐标系下，已知圆O： P =COS0 + sin0和直线I Psin(0 -二)=42(1)求圆0和直线I的直角坐标方程;(2)当日亡(0,兀)时，求直线I与圆0公共点的一个极坐标.2.(选修4 4:坐标系与参数方程)已知曲线 C的极坐标方程是P = 2sin日，设直线I的 3X =-t +2参数方程是5(t为参数)。-5t(1) 将曲线C的极坐标方程转化为直角坐标方程；3.(2) 设直线I与x轴的交点是M， N为曲线C上一动点，求|MN|的最大值。 (本小题满分10分)选修4 4:坐标系与参数方程已知曲

2、线C的极坐标方程为P2 =22，4cos 日 + 9sin 日(1)若以极点为原点，极轴所在的直线为 x轴，求曲线C的直角坐标方程;36(2)若P(x,y)是曲线C上的一个动点，求3x+4y的最大值。(本小题满分10分)选修4 4 :坐标系与参数方程已知直线I经过点P(1,1)，倾斜角a =-o6(1)写岀直线I的参数方程;(2)IO分)(本题满分4 4(坐标系与参数方程)lx = 2cos£设I与圆4(0是参数)相交于两点 A、B，求点P到A、B两点的距离之积。)=2si n 日在直角坐标系 xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线I的极方程rc 兀42为Psin(

3、9 +)=.圆O的参数方程为42X = +r cos 灯7,( £为参数，r > 0)血+ ry = +r Sin 廿. 2(I)求圆心的极坐标；(n)当r为何值时，圆 0上的点到直线 Z的最大距离为3.一 逅丘6.(1)圆心坐标为(一 ，)2 2设圆心的极坐标为(P,8)则卜当）2+（-¥）2 /所以圆心的极坐标为（1上兀）4（2）直线I的极坐标方程为玖Vsin 日十 Vcos&2¥/.直线I的普通方程为X +y-1=06分”x =2 +t已知直线I的参数方程为：*L、y = V3t(1)(2)求曲线求直线C的普通方程；I被曲线C截得的弦长.iJU

4、coslZrsin 二圆上的点到直线I的距离d =22|-72 + j2rsi n( 9+=)-1|即 d =4 二圆上的点到直线l的最大距离为 血 +密 +1 = 34-U210分”r =27 .（本小题满分10分）选修4 4 :坐标系与参数方程选讲（t为参数），曲线 C的极坐标方程为：P2cos2日=1.7 .( 1)由曲线 C :俨 cos29 = P2(cos2 日sin2£) =1,得P2cos28P2s in2日）=1,化成普通方程2 2X y =15分（2）方法一：把直线参数方程化为标准参数方程1x = 2+-t2«(t为参数)I E把代入得:2整理，得 t2

5、 -4t -6 =0设其两根为t1,t2 ,则 t +上2 =4,1| 上2 = -68 分从而弦长为 | I|= Jd 卄2)2 4址2 = J/ -4( -6) = J40 = 2JT0. 10 分方法二：把直线I的参数方程化为普通方程为代入 x2 - y2 =1,2得 2x -12x +13 = 0 6 分设 I 与 C交于 A(Xi,X2), B(X2,y2)13则 X1 + X2 =6, X1 认2 = 一 8 分2/.| AB |= JT刁 J(X1 +X2)2 -4为X2 = 2丁62 -26 = 2710.10 分X =1 - 2t1、（ 09广东理14）（坐标系与参数方程选做

6、题）若直线 4（t为参数）与直线 4x + ky = 1垂直,y = 2 +3t则常数k =【解析】将Jx T -2t化为普通方程为_3 X + 7，斜率匕=-34当k H0时，直线4x +ky =1的斜率k2 =,由k1k2ky=2+3t222；=I - L I "4= 1 得 k ：= 6 ；I 2八k丿3 7当5时，直线y3x+2与直线4-1不垂直.综上可知，k = 6.答案-6IX = 1 +13、（天津理13）设直线11的参数方程为b=1+3t（t为参数），直线|2的方程为y=3x+4则11与l2的距离5【解析】由题直线li的普通方程为3x-y-2= 0，故它与与|2的距离

7、为1 岂10J10答案4、（ 09安徽理12）以直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位。已知直线的极坐标方程为8 =巴（P- R），它与曲线x二 C0S4 y = 2 中 2sino（a为参数）相交于两点 a和B，则|AB|=【解析】直线的普通方程为y=x，曲线的普通方程（x-1）2+（y-2）2 =4二冋冷2 -（箱）25答案仆6、（ 09海南23）（本小题满分10分）选修4 4 :坐标系与参数方程。已知曲线C1 : L"COst，（t为参数），C2 : |J8cOs6 （日为参数）。y=3+s int,y =3si n0,（1）化C1 , C

8、 2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线;（2）若C1上的点P对应的参数为t = ，Q为2C2上的动点，求PQ中点M到直线X =3+2t,鬥y=_2+t（t为参数）距离的最小值。222x解：(I) C1 :(x +4) + (y-3) =1,C2: +64y29 1.Ci为圆心是（-4,3），半径是1的圆.C2为中心是坐标原点，焦点在x轴上，长半轴长是 8,短半轴长是 3的椭圆.兀3(n)当 t 时，P(4,4).Q(8cosT,3sin 日),故M (2 +4cos9,2 +-sin日).C3为直线X 2y 7=0,M至UC3的距离d =5|4cos 日3sin 日13|.4 3从而

9、当COS0 =,sin 0 = -一时，d取得最小值5 5C.选修4 - 4 :坐标系与参数方程jxM+已知曲线C的参数方程为讥，（t为参数,1yTt+nt>0).求曲线C的普通方程。【解析】本小题主要考查参数方程和普通方程的基本知识，考查转化问题的能力。满分10分。解因为x2十X所以宀2十匕,故曲线C的普通方程为：3x2 y + 6 = 0.10、（ 09辽宁理23）（本小题满分10分）选修4-4 :坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中，以0为极点，X正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为 P cos （ 0 -二）=1 , m,N分别为C与X轴,3y轴的交点。（1）写岀C的直

10、角坐标方程，并求 M,N的极坐标;（2）设MN的中点为P,求直线 OP的极坐标方程。解（I）由 Pcos（0 -专）=1 得从而C的直角坐标方程为（n） M点的直角坐标为（2, 0）N点的直角坐标为（。，3）3所以P点的直角坐标为0.丰），则P点的极坐标为（竽,:）,所以直线OP的极坐标方程为 0=¥，P迂 SS1.（ 2008广东理）（坐标系与参数方程选做题）已知曲线G, C2的极坐标方程分别为 PcosQ =3 , P = 4cos0"P> 0,0 < 0 <n，I2丿则曲线C1与C2交点的极坐标为答案（2j3,t）65. （ 2008宁夏理）（10分

11、）选修4 4:坐标系与参数方程选讲 x=t 722（t为参数）.汁一t已知曲线C1：为参数），曲线。:（1）指岀（2）若把G ' , C2'的参数方程.C1 '与C2'公共点的个数和 C1与C2公共点的个数是否相同？说 明你的理由.G, C2各是什么曲线，并说明 G与C公共点的个数；G, C2上各点的纵坐标都压缩为原来的一半，分别得到曲线C,'，C2'.写岀解（1） C1是圆,C2是直线.Ci的普通方程为2 2X +y =1,圆心 C1（0,0），半径 r =1 .C2的普通方程为x-y +72 =0 .因为圆心Ci到直线X y+J2 = 0的距

12、离为1,所以C2与Ci只有一个公共点.（2）压缩后的参数方程分别为tX=COS0,lx =G<1(0为参数)；C/I y = sin 6I 2邑一近,2（t为参数）.r化为普通方程为：G ： X2 +4y2=1 , C/ : y=1x +2联立消元得2x2 + 2J2x +1=0,其判别式 i =(2j2)2-4x2x1 =0 ,Ci与 C2公共点个数相同.所以压缩后的直线 C/与椭圆C/仍然只有一个公共点，和C :选修4-4 :坐标系与参数方程在平面直角坐标系 xOy中，设P（x,y）是椭圆2+ y 2 ：= 1上的一个动点,求S=x+y的最大值.2C.解：由椭圆L+y2=1的参数方程

13、为3ly伴为参数）,-sin 护故可设动点P的坐标为（J3sin W,sin®）,其中0<® <2兀.因此，S =x + y = J3cosW + sin 护=2 -/ *cos® tZsinW =2sinlW+二 .2 丿所以当申上时,S取得最大值2.61、（辽宁省抚顺一中标方程为A. （x+1 厂21（y-）2D.C.x2 +答案2009届高三数学上学期第一次月考）极坐标方程P =COS 0化为直角坐（）2 2+y1414B.x2( 1 2+ (y+ )21D. (X-)24、（ 2009广州一模）（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，直线P s

14、in( 0 + n)=2 被圆4P =4截得的弦长为7、（ 2009广东三校一模）（坐标系与参数方程选做题）极坐标方程分别为P = 2cos£ 和P = sin日的两个圆的圆心距为答案211、（ 2009东莞一模）（参数方程与极坐标选做题）在极坐标系中，点（1,0 ）到直线P（COST +sin9 ） = 2的距离为.答案 213、（ 2009 江门一模）（坐标系与参数方程选做题）P是曲线fx =si+cos6y =1 -si n2T（0引0, 2兀）是参数）上一点，P到点Q（0, 2）距离的最小值是16、（ 2009 茂名一模）（坐标系与参数方程选做题）把极坐标方程 P cos但坐

15、标方程是答案 J3x+y -2=022、（ 2009韶关一模） 在极坐标系中，圆心在（J2,兀）且过极点的圆的方程为25、（ 2009深圳一模）（坐标系与参数方程选做题）在直角坐标系中，曲线Ci的参数方程为X = COS0,I日迂0,兀，以X轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2在极坐标系中的方程为ly =sin £P=于 .若曲线C1与C2有两个不同的交点，则实数 b的取值范围是 sinH -co岁答案 1<b<J228、（ 2009 湛江一模）（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，若过点A（3,0）且与极轴垂直的直线交曲线P =4cos0 于 A、B 两点,1 AB

16、 |=答案2j341、（ 2009 厦门一中）（极坐标与参数方程已知直线I经过点P （1,1）,倾斜角兀=匚，设l与曲线6P到A,B两点的距离之积“lx = 2 cos日J（ £为参数）交于两点 A, B，求点y =2si n 日I兀jX=1+tcos解 直线的参数方程为 <6，即I兀ly=1+tsinI6曲线的直角坐标方程为X2 +y2 =4，把直线代入X2 + y2 = 4得(1 + t)2 +(1 +1t)2 =4,t2 +(a/3 + 1)t -2 =0址2 = 2，则点P到A,B两点的距离之积为 242、（ 2009厦门二中）（极坐标与参数方程）已知直线I的参数方程:

17、f x=2t( t 为参y = 1 +4t数），圆C的极坐标方程：P= 2j2sin&+-】，试判断直线I与圆V 4丿C的位置关系.解 将直线I的参数方程化为普通方程为： y = 2x +1将圆C的极坐标方程化为普通方程为：（X 1+ （y 1=243、从圆方程中可知：圆心 C （1， 1），半径r = J2，所以，圆心C到直线I的距离d -J22 +（-1）2所以直线I与圆C相交.（2009厦门集美中学）（极坐标与参数方程45=si n 日y =cos2日过点（0,2）的切线方程.y =1.X =sin日，y=1-2sin29，消去参数 日得2x2设切线为y = kx +2，代入得2

18、x2 +kx +1 = 0令 i ：= k2 8 = 0，得 k = ±2 J2，故 y = ±2 J2x 中 2 即为所求.K _ Q A _ Q 2 _ Q/ Q或y = Vx，设切点为(a,b)，则斜率为 -4a =，解得 a = ± aa2即得切线方程.44、（ 2009厦门乐安中学）（极坐标与参数方程）在极坐标系中，设圆P = 3上的点到直线cos日&3sin9 ）=2的距离为d ,求d的最大值.解 将极坐标方程 P - 3转化为普通方程：X2 + y2 = 9p（cos日+掐sin日）=2可化为x+y =22 2在x+y =9上任取一点A（3c

19、osa,3sin a ）,则点a到直线的距离为3cosa +373sina -2,它的最大值为445、（2009厦门十中）（极坐标与参数方程）已知圆若P是圆C与X轴正半轴的交点，以原点 O为极点,x 的切线为丨，求直线丨的极坐标方程.x = 1 + 2cos 日，C的参数方程为 L（日为参数），y = v3 +2s inQ轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设过点 P的圆C6sin（a +3O0）-2解由题设知，圆心c1, J3 1P（2.0）PMO 中,/ CP0=60° ,故过P点的切线飞倾斜角为 30°设M （P月）是过P点的圆C的切线上的任一点，则在/ MOP=9 NOM

20、P =30° -9 ,NOPM =150°OMOPP由正弦定理得sss-sin(300 -e )二Pcos（日+60° ）=1 （或PSin（300 -日）=1 ），即为所求切线的极坐标方程。46、（2009厦门英才学校）（极坐标与参数方程）求极坐标系中，圆P = 2上的点到直线P（coS + J3sin0 ）=6的距离的最小值.解由 P =2 即 P2 =4则易得 x2+y2=4，由 P(cosQ + J3sinQ )=6易得 x + J3y-6=0/.圆心（0,0）到直线的距离为d。0+0-6又圆的半径为2 ,53、（ 2009通州第四次调研）” 圆上的点到直

21、线的距离的最小值为d=d0-2=3-2=1.求经过极点 0（0,0）, A（6,?）, B（6j2,罟）三点的圆的极坐标方程.解 将点的极坐标化为直角坐标，点0, A,B的直角坐标分别为（0,0 ）,（0,6 ）,（6,6 ），故人OAB是以OB为斜边的等腰直角三角形，圆心为（3,3），半径为3近，圆的直角坐标方程为 （x-3）2 +（y -3$ =18，即X2 +y 2-6x-6y =0，将X = Pcos© y = Psin日代入上述方程，得P2 -6P（cos日+sin日）=0,( 兀)即P =6血cos I日V 4 )54、（ 2009盐城中学第七次月考）若两条曲线的极坐标方

22、程分别为卩=1与p = 2COS 9 +二1,它们相交于I 3丿A,B两点，求线段 AB的长.解由 P =1 得 X2 + y2 =1,又P =2cos(9 +勺=cos0in8,”.P2 = Pcos8 73Psin8 3二 X2 +y2 -X + y3y = 0,由 f/y/ p 得 A(1,0),B(1，¥),x +y -x + 屈y =02221. （ 2009番禺一模）在直角坐标系中圆 C的参数方程为"x =2coso（a为参数），若以原点 0为极点，以X轴正半轴为极轴建立极坐标系，则圆C的极y=2 +2sin ot坐标方程为.答案 P ：= 4 S i n16.

23、（2009厦门同安一中）（极坐标与参数方程）若两条曲线的极坐标方程分别为P ?=1与P ?=2cos（0n，它们相交于 A, B两点，求线段 AB的长.解由 P =1 得 x2 +y2 =1,又丁 P =2cos(Q 坨)=cos9 5/3siP2 = PcosQ -73PSin 6二 X2 +y2 -X + 咼=0 ,由F +y2 2得卜2 + y2 _x +咼=0m3AB17.（ 2009厦门北师大海沧附属实验中学） 为极点，X轴的正半轴为极轴.已知点（I）直线I的参数方程为（极坐标与参数方程）以直角坐标系的原点0P的直角坐标为（1，- 5），点M的极坐标为（4 ,错误!）.若直线I9过点

24、P，且倾斜角为 ；，圆C以M为圆心、4为半径.）求直线I的参数方程和圆 C的极坐标方程；）试判定直线I和圆C的位置关系.X十It2 y"，2圆C的极坐标方程为 P =8sin 0（n）因为 mi4,= 对应的直角坐标为 （0,4 I 2丿'丿直线I化为普通方程为苗X -y -5-花=0圆心到直线I的距离0-45 9+73>5，所以直线I与圆C相离.2（ 2007 2008泰兴市蒋华中学基础训练）若直线的参数方程为X = 1 +2t（t为参数），则直线的斜率为：y = 23t【解析】答案 D2B .3y-2-3tX 12tX = si n 2 日2 .（ 2007 200

25、8泰兴市蒋华中学基础训练）下列在曲线cousin异为参数）上的点是（do dA. e,忑)B . ( 3，二)C . (2j3)D . (1,妁24 23 1【解析 转化为普通方程：y2 = 1 + X，当X =上时，y =丄4 2答案BIX = 2 +si n2 63 . （ 2007 2008泰兴市蒋华中学基础训练）将参数方程<2（&为参数）化为普通方程为y =sin 日A. y=x2 B. y=x+2 C. y=x-2(2<x<3) D . y = x + 2(0<y<1)【解析转化为普通方程：y = X 2，但是X 迂2,3, y-0,1答案 C2

26、4 .（ 2007 2008泰兴市蒋华中学基础训练）化极坐标方程 P cos日一P = 0为直角坐标方程为（X + y = 0 或 X = 1 D . y = 1A . x + y =0或y =1 B . x =1 C .【解析P( Pcos日-1) =0, P = Jx2 + y2 =0,或Pcos日=x = 1答案C5 . （ 2007 2008泰兴市蒋华中学基础训练）点M的直角坐标是（1,J3），则点M的极坐标为（兀A. (2,3) B. (2-)C . (2,寸)D . (2,2k%+?(k-Z)2辽【解析】（2,2M+）,（kZ）都是极坐标3答案C= 2sin 29表示的曲6 . （

27、 2007 2008泰兴市蒋华中学基础训练）极坐标方程 PCOS日线为（）A .一条射线和一个圆B .两条直线C .一条直线和一个圆D. 个圆【解析】PCOS0 =4sin 0cos0,cos0 =0,或 P =4sin 0,即 P=4Psin &答案C11 .( 2007 2008 泰=4yfx=3 + 4t兴市蒋华中学基础训练）直线4_5泸为参数）的斜率为【解析】 ky4X 35=45答案 -412 .( 2007 2008泰兴市蒋华中学基础训练）参数方程lX=e t 4Ly = 2（e -e ）+ e（t为参数）的普通方程为【解析】- t 丄 丨 y tX =6 +eix + =

28、2eI 2y t_t= =e ey 。丄2X - = 2eI 2yy(x+ 丄)(x-丄)=422X2答案42y-±=1,(x>2)1613.（ 2007 2008泰兴市蒋华中学基础训练）已知直线X =1 +3tyt为参数)与直线l2:2x-4y=5相交于点B，又点A（1,2），【解析】将X -1十3代入2x-4y =5得ty =2 -4t1=，贝U2B(-5,O)，而 A(1,2)，得 I AB =5xt14.（ 2007 2008泰兴市蒋华中学基础训练）直线2才、22（t为参数）被圆X +y =4截得的弦长为L1?【解析】直线为X + y -1 = 0，圆心到直线的距离 d = 1乎，弦长的一半为店碍胃，得弦长为J14答案71415 .（ 2007 2008泰兴市蒋华中学基础训练）线 XC 0 s+ y S权W的0极坐标方程