微分中值定理与导数的应用总结

1、1 基础知识详解结论：在开区间 (a,b) 上存在 ，使得 f '( )01、 lim f (x)xx x0先回顾一下第一章的几个重要定理A f (x) A ，这是极限值与函数值(貌似是邻域)之间的关系2、+o( ) ，这是两个等价无穷小之间的关系3、零点定理：条件：闭区间a,b 上连续、 f (a)f (b)0 (两个端点值异号 )结论：在开区间 (a,b) 上存在 ，使得 4、介值定理：B f (b)条件：闭区间 a,b 上连续、 f (a) A结论：对于任意 min( A, B) C max( A, B) ，一定在开区间 (a,b) 上存在 ，使得 f ( ) C。5、介值定理的

2、推论： 闭区间上的连续函数一定可以取得最大值 M和最小值m之间的一切值。第三章 微分中值定理和导数的应用1、罗尔定理 条件：闭区间 a,b 连续，开区间 (a,b) 可导， f(a)=f(b)2、拉格朗日中值定理条件：闭区间a,b连续，开区间(a,b)可导结论：在开区间(a,b)上存在 ，使得f (b)f(a)f'( )(b a)3、柯西中值定理条件：闭区间a,b连续，开区间(a,b)可导,g(x)0,x(a,b)f(a)结论：在开区间(a,b)上存在，使得g(a)f'()g'()拉格朗日中值定理是柯西中值定理的特殊情况，当g(x)=x时，柯西中值定理就变成了拉格 朗日

3、中值定理。4、对罗尔定理，拉格朗日定理的理解。罗尔定理的结论是导数存在 0值，一般命题人出题证明存在 0值，一般都用罗尔定理。当 然也有用第一章的零点定理的。但是两个定理有明显不同和限制，那就是，零点定理两端 点相乘小于0,则存在0值。而罗尔定理是两个端点大小相同， 则导数存在0值。如果翻来覆去变形无法弄到两端相等，那么还是别用罗尔定理了，两端相等，证明0值是采用罗尔 定理的明显特征。拉格朗日定理是两个端点相减，所以一般用它来证明一个函数的不等式：m2(x) f(Xi)-f(X2)m1(x)； 一般中间都是两个相同函数的减法，因为这样便于直接应用拉格朗日，而且根据拉格朗日的定义，一般区间就是X

4、i,X2。5、洛必达法则应用注意正常求极限是不允许使用洛必达法则的，洛必达法则必须应用在正常求不出来的不定式极 限中。不定式极限有如下7种:,00,1每次调用洛必达方法求解极限都必须遵从上述守则。6泰勒公式求极限。如果极限是XimX0 f(X)那么就在xo附近展开。如果极限是xim f (x)，那么就变形成timmf (t)，再在to附近展开。一般都是化成itimof用迈克劳林展开式展开。那么展开多少步呢？一般分子分母展开的幕应该是一样的，便于上下几次方相抵消，分子分母尾部都跟着一个皮亚诺型余项。如果展开了，发现分母是表面外观的2次方，而上面 如果展开后分子的结果为 0,则还要继续往更高阶次展

5、开。分母一定会跟着分子有同样阶 的。算吧，很大的计算量。«勒中值定理【考点】设函® /（工）在含xo,的某开区间a）内具有直到61+1）斷 的导数则当工3"）时，y(工)=KhQ + f Cc/Cr -如 +一 工。)2 + .匕!22丄"Cr几+ 和 O 一工十fl)(2)F是工。与丈之间的某个中值*或出（工）=a（工一斗尸.其中（3） 并称（1）为泰勒公式M2为其拉格朗Q型余项，而（3）称为其 Peano （皮亚诺）里余项，7、用导数判断函数曲线的单调性和单调区间。条件：闭区间a,b连续，开区间（a,b）可导，且导数f'（x）0（ 0）结论1

6、： f（x）在闭区间a,b上单增（单减）结论2： f '（x）0或不存在则此点一定是可靠而全面的对单调的分界点 8、函数曲线的凹凸性和拐点（左右凹凸变化的分界点） 方法一：条件：区间连续。结论:Xi X2 f (Xi)f (X2)若f（），则该曲线在（x1,x2）凹xi X2f (xi) f(X2)，则该曲线在（x1,x2）凸方法二：条件：闭区间 a,b 连续，开区间 (a,b) 存在一阶和二阶导数结论 1：f''(x)0 在a,b凹；f''(x)0 在a,b凸;结论 2： f ''(x) 0或不存在 则此点一定是全面的但仅是可能的拐点。

7、然后验证f '' (X)、f ''- ( X) 的符号。异号则一定为拐点。9函数在区间上的极值点，最值点。定理 1 ：极值点处的导数 f '(x0)0定理 2： 条件：f(x)在Xo点处连续，在Xo附近的去心邻域内可导结论：f'(Xo)0, f '(Xo)0则在Xo点取得极大值。f'(Xo)Of(Xo)0则在Xo点取得极小值。若左右邻域内符号不变，则该点无极值。定理 3：条件： f( x) 在 x0 点处的一阶导数 f '(x0)0结论： f ''(x0) 0 ，则在 x0 点取得极小值。 f '&

8、#39;(x0) 0 ，则在 x0 点取得极小值。 f ''(x0)=0 , 则该点可能是极值，也可能不是极值 。总结：一阶导数就能得出极值点。二阶导数也能得出，但二阶导数有限制f '(x0) 0。最值：在极值中挑出个最大的，最小的点，再跟两端的值大小比较一下，得到的就是闭区 间最大值，最小值。10、曲率曲率定义是：Kdds1，曲率半径用a表示，是曲率的导数，即a 0所谓曲率半径,K是指如果在该点出以这么半径画一个圆，那么该圆的圆弧点上处处的曲率都是K。如何推导曲率?/.无左歩A彳?殳空d勺/乩久曲孑各红血二总十肓茫 3“ -卞冋 £ X 严小三厂冲M1“ 竺

9、 _ Lk d s 十 00忌 DX 心妇心 A X2再衣恢 佃直氏A乔i 穿珈代二y 、' d & 二(A/A X二二紹时 二炸3产二 5 私製二?T T电土_乔二lK冠 I亠&"严J /2叹报cjVrd丈打3.龙曲率K龙I吆5川丨_二I出S'矗3 O写课本典型题:4一设 lun f x=k ,求+,i=*X.T-=*X解根据拉格如I中値公式、用介工七之讪 "“W 时.Jn,讥liiii/Cv+fj） = /（A）- liiiilull fl-ok1 -* rI-+E= -*£""17. i妒仏M明皿知&quo

10、t;号册2/（心=厂（心）ft -卜0fj -2h讦明 hm /（% + 丹）+/（叼）-2/（"）_讪1 /'（ +册-77* -坍 fl-O沪HtO=二血/'（hq + h、-Gq -/Q2丿Th二丄 Hm /lTo+）-/7”TQ）+|/（jro）= y¥oJn_ 2禺h打f厂（hqW /U /（心/Vo町Iff"、严r、巨一抨i】;+-/ （“卜 / （心）匸/ （临）.2 卉TflJ1HJ2扩展第一节中值定理知识要点与考点b中值定理的条件和结论【考点】i罗尔 定理罗f Lt)在(口宀)内存在 h /(c? ) = /</?)>

11、LiHUS B -LJ4BB-BIhB 亠 4 IS A3 £ 2、快得拉格wH定理1I*2* f Q)柱Gj内存在13 fe 5/)使得、f一f3 f®=右7定理I* fiFsecJ的2* f tr气hJ在Gx内存在3° FalHb xe5 EH使健/<6)-/(a> r (?) 片©一戸)1尺苗三个定理的条件都是闭区间连续，开区间可导。然后罗尔定律是f(a)=f(b),结论是导数为0。拉格朗日中值定理结论是存在导数。柯西定理形象来说是拉格朗日中值定理的变形(见物理意义)。C罗尔定玉理拉格朗日中值定理柯西疋理九中值定理的几何意义1) 罗尔定

12、理：满足定理条件时，曲线了=八刃在仏内存在 水平切线,SP/-(f) = O.2) 拉塔朗B定理：记/(*),满足定理条件 时曲线上存在看乎行于弦貝B的切线加柯西定理的几何盘义同2几只不过这时的曲线为参数方3.中值定理的推论f考点】/Cr)=C (常数人2)若 ra)-/(jr),心=微分中值定理这部分看起来特别重要。因为它涉及到几个定理。罗尔定理常用于以下几种题: 1 f'(x)在(a，b)上是否存在零点？显然，只要找到f(a) f (b)的a和b即可。找到了还能知道至少有几个零点，以及每个零点的区域。如已知 f (x) (x 1)(x 2)(x 3)，说明f'(x)0有几个

13、实根？范围是什么？等。2证明f(x)在(a，b)上是否存在零点？注意 1是f'(x)是否存在零点。故可以求出F(X) f (x)dx，这样就成了求F'(x)在(a,b)上是否存在零点。和1 一样的方法了。3证明f(x)的根不超过多少个。如证明其根不超过3个。那么，记住用反证法+罗尔定理。设根有四个，分别为x1vx2vx3vx4。则由罗尔定理，f'(x)肯定有三个不等的根，f''(x)有 两个不等的根，f(3)(x)有一个不等的根。但是算到f(X)时，结果却是无根。故假设错误, 根不超过3个。拉格朗日中值定理常用于证明不等式:1证明P(a,b) F(a,b

14、) Q(a,b)，想办法把整个式子都变变形，最重要的是把F(a,b)变成 两个同函数相减的方式，f(b) f(a)的形式，再用拉格朗日中值定理改为导数的形式与两端比较。柯西中值定理常用于证明不等式:1证明P(x) Q(x)方法：把原式转换成鵲1或1的形式。因为柯西中值定理实质是两个函数相除转换成导数相除，因此要想法给弄成除的形式。拉格朗日中值定理是弄成减的形式。然后证明一下两个导数相除大于或者小于1就行了证明函数恒等f(X) g(x)，X (a,b)证明原则：1 f'(X)g'(x)，X (a,b)【当然还有个条件就是f,g在(a,b)存在导数】2找到任意一点Xo (a,b)，

15、使得f(X0)g(X0)如果X a,b还需要验证f(x),g(x)在a, b连续第二节洛必达法则知识要点与考点r未定式其有治却° f 8 g們51”七种类型侦两种是基 本类型，可试用洛必述注则求极限，中狗两种可通过取倒数与通分 化为基本型后三种可通过取对数(或指数)化为中同类型*再进而 化为基本型最后再试用洛必达法则求极限.2洛必达法则应用有两个条件lim 4X2 g(x)lim0或者lim -lim匚凶 g'(x)，即必须存在结果，可以是无穷大，也可以是0等，但不能是诸如lim sinQ)之类的没具体的玩意。但是注意，如果用洛必达法则算出就是这类没具体的玩意，也不能证明该函

16、数除法式无极限。只能证明洛必达法则此时适用性太小。3洛必达法则应用求1的七种类型的未定式极限 确定无穷小的阶是多少K阶无穷小的定义：若limr C 0,k0，则称p是a的K阶无穷小。无穷小阶的运算法则:设f(x)是x的n阶无穷小，g(x)是x的m阶无穷小，则有:f(x)+g(x)是x的min( n , m ) 阶无穷小f(x)*g(x)是x的n+m阶无穷小f(x)/g(x)是x的abs( n - m) 阶无穷小(3) 定无穷小阶的方法&2心"一若lim/鶯)严0,可用如下方法确定/(E是*的几阶无穷小：广按定义直接计算(X - fl)片常隸4特定*使得！为非零有限实数*则/(

17、女)是玄-僅的k阶无穷小常用洛必达注则求这个利用无穷小阶的运算法则这一节内容关于应用洛必达法则讨论极限的问题我学的很差。第三节泰勒公式知识s点与考点«勒中值定理【考点】设函数y（工）在含H的某开区间a）内具有直到61+1）阶 的导数则当工时，/(工)=工0)+ F Cr© %) + '3 広+ 丄/Eg+ 和 a 一刃尸十&匕几 忍（工）=6 +打！匕F是去与工之间的某个中值*或出（工）=o（工一斗）.其中(2)（3） 并称（1）为泰勒公式.（2为其拉格朗a型余项，而（3）称为其 IeanoC皮亚诺I®余项，泰勒中值定理的来源想象:任何一个函数f（

18、x）,在0点附近都可以曲线化直的表示成f (x) b0 b1xb2x2bnxn Rn(X)用导数一算，恰好有bo 罟bl1! 2f''(0) b2! nf (n)(0)n!故在Xo点处可得泰勒展开公式:（前提：f（x）在含Xo的某个开区间（a , b ）上具有（n+1 ）阶的导数，这样才能得到拉格朗日余项)f (X) f (Xo) f'(Xo)(X Xo)f (Xo) (X Xo)22!¥(X Xo)nn!Rn(X)当 n=0时,f (X)f (Xo) f'( )(x Xo)其中f'( )(x Xo)是n=0时的拉格朗日余项拉格朗日余项为:(X

19、o, X)f (n 0()Rn(X)(XX0)nl换成表示为:Xo(x Xo),(0,1)这样表示很常见(不要求精确时)可使用佩亚诺余项:Rn(x) o(x Xo)n (注意：不是拉格朗日余项的n+1次方)最开始推导时，X在0处的仿f (X)多项式称为麦克劳林公式，是泰勒公式的简单形式。使用迈克劳林公式时，对应拉格朗日余项可以改为 Rn(x)(n 1)( x)入/ n 1/c八X ,(0,1)(n 1)!但是注意这仅是迈克劳林时用。故可以不记这个特殊形式的式子。只记基本的式子佩亚诺余项x0=0即可。2麦克劳林公武在（1）中取工片=0屮则褂Mhc】削urin公式；八乂）= /（） + f （0）

20、工 + 厂型才2!n!2、= /co> 十 /7o)x + 厂円p + +讐才+3常用的麦克劳林公式（泰勒公式涉及大量运算，而却常考这几个式子的变形）2n 1 x35C 、”、”xx(彳 n1”、Sin XX"3r"5".(1)2n1)!R2n(x)显然n 从 1 开始cosx 1 仝 乂2!4!(DW r (x)(2n)!R2n 1(x)显然n从0开始x2x3x4xnln(1 x) x T 7 T . ( 1)n=Rn(x)显然 n从 1 开始(1 X)1 x(1)x22!3(1)(2)x3!(1)(2! xn Rn(x)显然 n 从 0 开始n!ex1

21、x -2!xnn!Rn(x)麦克劳林展开式比较容易，可以现用现推导大体记一下，然后根据推出的前两个值就能想到全部的结论。一般第二个值如果是负的,就说明会有(-1) A (k+1)次方等注意。扩展:本节课的“泰勒公式(及其扩展公式)”可以做什么?1对0型的函数式，可以用泰勒公式求极限，还可以用来确定无穷小的阶。设 lim f (x)x aIim g(x) 0,并有泰勒公式:x af(x) A(x na)o(x a)n)，其中x a，A为非零常数g(x) B(x ma)o(x a)m)，其中x a，B为非零常数f(x),n m,n m,显然这个得零是因为f比g更快趋近于0而已,n m求极限的情况一

22、般都是 两个无关的函数相减。如COSX-In( 1+x)啊，cosx-ex啊，很多式子还伴随的是除法形式，因为这样能将多余的无穷小系数给约为0.举例中的x是bx，xt的变形式。若求得泰勒公式f (x) A(x a)n o(xa)n)，则 XT a 时，f(x)是 x-a的n阶无穷小2由泰勒公式求f(n)(xo)其实就是将f (x)用泰勒公式展开后得到第n阶的通项公式，显然为也n!f(n)(Xo)Xnn!,因此f(n)(xo)显然值为A导出即可。注意的是,有时候并不能得出 f(n)(xo)。而是其他形式，如/ A n 2n展开式n阶通项为(1) x n!An ，显然结果是f(2n)(0)(2n)

23、!(d。得出的结果奇形怪n!n!状的都有，有些n是从3,开始的，这时候就还得考虑f'(), f''()等。因此也要注意考虑n。3由f(x)含佩亚诺余项的泰勒公式可以得到f(bx), f(xm)的含佩亚诺余项的泰勒公式，其中b为常数，m为自然数，只需令t bx,t xm即可。显然在佩亚诺余项上f(bx)，f(xm)可以随意换项。4在求f(x)g(x)的三阶麦克劳林式时，显然分别展开3阶的结果为f(x)g(x)=( A0+Ax + A2x2 + A3X3+OX3)*( Bo + BiX + B2x2+ B3X3 +0X3)将其乘开时为取三阶麦克劳林式，只需加阶数3的式子即可

24、本节在泰勒公式的变形灵活运用上掌握的不好。本节涉及大量运算，但大部分都是前面给 出的五个基本公式的变形。因此一定要熟练背诵使用第四节 函数的单调性的判定法曲线的凹凸与拐点知识要点与考点设函数在匕上连续，在（4）内可导.（1）y>o单调增加山es6；b（2）yvo（xG<a.fc）单调碱少“ehei若y=/（T）在定义区间上连续，除了在有限个点不可导以外 /（丈）存在且连续，只要用fCr）的零点和fa）不存在的点划分 /Q）的定义区间便能确定八文）的单调区间.1.曲线凹凸性与拐点的概念定义 设/（x）ec（/）,任意的才工疋几若恒有” JT + Xg V r（4）十 /2 /<

25、>> 2则称/（小在7上的图形是（向上）巴（或fl）的.这时我们也说函数 是凹（凸）的，或说r是凹（凸）函数玉续备线y=/（丁）凸弧与凹弧 的分界点（s/S）称为这战线的拐点它在曲线上2.曲线W凸性与拐点的判别法【考点】定理 设f（；r）Cs6,它在（a）内具有一阶和二阶导数. 若在（a ”）内:（1）r（.r）>0,则/9）在",门上的图形是凹弧（2）厂Cr）VO,则/（Q在也，刃上的图形是凸弧 这仍可用记号$、个帮助记忆.设= 0的某根为孔，或3，考察工.两侧邻近 厂柑的符号：若同号侧不是拐点；若异号则该点是拐 点.寻找拐点还是划分单调区间的点，都是找f'

26、;' （x）或者f' （x）等于0,或者不存在的点。定义要求是在（开区间）可导，闭区间连续，但是得到的范围就按连续的区间来，即闭区第五节函数的极值最大值、最小值问题圧理1（必要条件）在卄可导的函数在A处取得极值=A f（工0）二a即在点处该曲线的切线是水平的这时丈。称为函的驻点（威稳定点）.在不可导点工“处*函数也可能取得极值因此，可能®值点有 两种：两数的驻点与不可导点，寻找极值点只须在这两类点中去找 就行了、其它点则不予考虑.定理2（第一充分条件）设八门在其註点口的某邻域内可 导.（1）在孔的左侧邻近而在如的右侧邻近,fQ） 0则在工罰处取极大值J（力反之在拓的左右邻近，依次有r（x） 0与尸（丁）0, 则工在“处取极小值,（3）若K取口左右邻近的®时,fQ）不变号，则fS 不是 极值定理3(第二充分条件设小在点4；。处有N Of 但广竝)工 0.1当rcjToXo时，则/(业)为极大值$ (2当广(了">0时，则/(才訂为极小值. 这可利用符号a与出帮助记忆.在/Cr的连续但不可导点去处类似定理可讨论壮左右 邻近/&)的单调性，去判别八r訂是否是极值及极大与扱小值.1根据定义，求极值总结的三种方法: 基本定义f(x)